Consid´ erons les vecteurs et les matrices suivants :

(1)

UNIVERSIT ´ E PIERRE ET MARIE CURIE Ann´ ee 2008/2009

MIME 13 LM 120

Feuille d’exercices 4

Exercice 1.

Consid´ erons les vecteurs et les matrices suivants :

−

→ u = −1

−1

, − → v =



 5 0 3



 , − → w =





−1 0 1





A =

1 4 −1

0 1 2

, B =





1 1

−5 3

−2 0



 , C =

2 −4

−3 1

Dire quels produits matrice-vecteur sont possibles et les effectuer.

Exercice 2. Pour chacune des familles de vecteurs de R

³

ci-dessous, dire s’il s’agit d’une famille libre ou non, et s’il s’agit d’une famille g´ en´ eratrice ou non.

(a) (1, 0, 2) et (−2, 3, 1).

(b) (1, −2, 3), (4, 1, 2) et (−3, 2, 2).

(c) (4, 2, 3), (0, 2, 1), (2, 2, −1) et (3, 1, 2)

Exercice 3. Dire si chacune des affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant soigneusement les r´ eponses.

(a) Une famille libre de R

³

est toujours une famille g´ en´ eratrice.

(b) Une famille g´ en´ eratrice de R

³

est compos´ ee d’au moins 3 vecteurs.

(c) Une famille de 3 vecteurs de R

³

est toujours une famille g´ en´ eratrice.

(d) Une famille de 2 vecteurs de R

³

est toujours une famille libre.

Exercice 4. On consid` ere les trois vecteurs de R

⁴

suivants :

~ u = (1, −1, 1, −1), ~ v = (1, 1, −1, −1), ~ w = (1, −1, −1, 1).

(a) La famille {~ u, ~ v, ~ w} est-elle libre ? Est-elle g´ en´ eratrice de R

⁴

?

(b) Soit ~t = (−1, −1, −1, 3). La famille {~ u, ~ v, ~ w, ~t} est-elle libre ? Est-elle g´ en´ eratrice de R

⁴

?

Exercice 5. Soient dans R

³

les vecteurs v ~

1

= (1, 1, 0), v ~

2

= (4, 1, 4) et v ~

3

= (2, −1, 4).

(a) Montrer que v ~

1

et v ~

2

ne sont pas colin´ eaires. Faire de mˆ eme avec v ~

1

et v ~

3

, puis avec v ~

2

et v ~

3

. (b) La famille ( v ~

1

, ~ v

2

, ~ v

3

) est-elle libre ?

Exercice 6. On consid` ere dans R

ⁿ

une famille de 4 vecteurs lin´ eairement ind´ ependants : ( e ~

1

, ~ e

2

, ~ e

3

, ~ e

4

). Les familles suivantes sont-elles libres ?

(a) ( e ~

1

, 2 e ~

2

, ~ e

3

).

(b) ( e ~

1

, ~ e

3

).

(c) ( e ~

1

, 2 e ~

1

+ e ~

4

, ~ e

4

).

(d) (3 e ~

₁

+ e ~

₃

, ~ e

₃

, ~ e

₂

+ e ~

₃

).

(e) (2~ e

₁

+ e ~

₂

, ~ e

₁

− 3 e ~

₂

, ~ e

₄

, ~ e

₂

− e ~

₁

).

1

(2)

Exercice 7. On note

u =



 1

−1 2



 , v =





−m 3 2



 et w =



 1 2m

−5



 .

A quelle condition sur m ∈ R la famille {u, v, w} est-elle libre ? g´ en´ eratrice de R

³

?

2