TD4

Université Pierre & Marie Curie Licence de mathématiques 3

UE LM365 Intégration 2 Année 2014–15

TD4. Espaces de Lebesgue

Exercice 1. Soit(X,A, µ) un espace mesuré.

a) Soient f etg deux fonctions mesurables positives deX dansR+ telles quef g≥1. Montrer que R

Xf dµR

Xg dµ≥µ(X)².

b) On suppose qu’il existe une fonction intégrable f :X → R^∗+ telle que 1/f soit intégrable. Que peut-on dire de la mesure µ?

Exercice 2.

a) Soit (X,A, µ) un espace mesuré,f ∈L¹(µ) et(fn)n≥1 une suite de fonctions positives de L¹(µ) convergeant presque partout vers f, et telle que limn→∞R

Xf_ndµ = R

Xf dµ. Montrer que (f_n) converge versf dansL¹(µ). (Indication : on pourra considérergn= min(f, fn).)

b) Soitf_n∈L¹(R,B(R), λ)définie parf_n=n1]0,1/n[−n1]−1/n,0[. Montrer que(f_n)n≥1converge p.p.

vers 0 et quelimn→∞R

f_ndλ= 0. La suite (f_n)n≥1 converge-t-elle vers 0dansL^p(λ)(p≥1) ? Exercice 3. Soientp, q∈[1,+∞]tels que p≤q. Soit(X,A, µ) un espace mesuré de masse finie.

a) Montrer que l’injection canonique i:L^q(µ)→L^p(µ)est une application linéaire continue.

b) Calculer sa norme.

Exercice 4. Soit(X,A, µ) un espace mesuré.

a) Soient 1≤p≤q ≤+∞. Montrer que sif ∈L^p(µ)∩L^q(µ), alorsf ∈L^r(µ) pour tout r ∈[p, q]

et que

kfk_L^r ≤ kfk^α_Lpkfk^1−α_Lq . où α∈[0,1]est défini par ¹_r = ^α_p +^1−α_q .

b) Montrer que sif ∈L¹(µ)∩L^∞(µ), alors

p→∞lim kfk_L^p=kfk_L^∞.

c) Soit f ∈ L^p(µ) pour tout p ∈ [1,+∞) et telle que kfk_L^p → ∞ quand p → ∞. Montrer que f /∈L^∞(µ).

d) Soit f ∈ L^p(µ) pour tout p ∈[1,+∞) et telle que f /∈L^∞(µ). Montrer que kfk_L^p → ∞ quand p→ ∞.

Exercice 5. Soit p≥1et(f_n)n≥0 une suite de fonctions de L¹(µ) qui converge presque partout vers f ∈L¹(µ).

a) Soit g_n= 2^p−1(|f_n|^p+|f|^p)− |f_n−f|^p. Montrer que pour tout n≥0,g_n≥0.

b) Montrer quefn converge vers f dansL^p(µ)si et seulement si limn→∞kf_nk_L^p =kfk_L^p. (Indica- tion : appliquer le lemme de Fatou à la fonctiong_n.)

Exercice 6. Soit (X,A, µ) un espace mesuré, p ∈[1,+∞[, q = _p−1^p . On dit que la suite(f_n)n≥0 de L^p(µ) converge faiblement versf ∈L^p(µ)si, pour tout g∈L^q(µ),limn→∞

R

Xfng dµ=R

Xf g dµ.

a) Montrer que la convergence dansL^p(µ)entraîne la convergence faible.

b) Par la suite, on se place dans([0,1],B[0,1], λ) et on suppose1 < p <+∞. Soient f_n(x) =e^inx etϕ∈C_c^∞(0,1); montrer quelimn→∞R1

0 f_nϕ dµ= 0.

1

c) Soient g ∈ L^q(0,1), ϕ ∈ C_c^∞(0,1) arbitraires. Montrer que lim sup_n→∞

R1

0 g(x)e^inxdx ≤ R1

0 |g(x)−ϕ(x)|dx. En déduire que la suite (f_n)n≥0 converge faiblement vers zéro dansL^p(0,1).

d) La suite(f_n)n≥0 converge-t-elle aussi faiblement dans L¹(0,1)?

Exercice 7. Soit p∈]1,+∞[. À toute fonctionf ∈L^p(R+), on associe la fonction F définie sur R^∗+

parF(x) = ¹_xRx

0 f(t)dt.

a) Montrer que F est bien définie.

b) On suppose que f ∈Cc(R^∗₊;R+). Montrer queR+∞

0 F(x)^pdx=−pR+∞

0 xF(x)^p−1F⁰(x)dx, puis que R+∞

0 F(x)^pdx= _p−1^p R+∞

0 f(x)F(x)^p−1dx.

c) En déduire l’inégalité de Hardy pour f ∈C_c(R^∗₊;R+) : kFk_L^p≤ p

p−1kfk_L^p. d) Démontrer l’inégalité de Hardy pour les fonctions de L^p(R+).

e) Montrer que _p−1^p ne peut être remplacé par une constante plus petite. (Indication : on pourra considérerfA(x) =1[1,A](x)x^−1/p.)

Exercice 8. On considère l’espace mesuré(Rⁿ,B(Rⁿ), λ_n) et un exposant1≤p <∞. Sif :Rⁿ→R est une fonction, on définit la translation def de vecteurh∈Rⁿpar

τhf(x) :=f(x+h) ∀x∈Rⁿ. a) Sif ∈C_c(Rⁿ), montrer queτ_hf →f dansL^p(Rⁿ) quandkhk →0.

b) En déduire que ce résultat reste vrai si f ∈L^p(Rⁿ).

Exercice 9. Soient(X,A, µ) un espace de probabilité etf :X→R⁺ une fonction dans L¹(µ).

a) En utilisant l’inégalité de Hölder, montrer que si µ({f >0})<1, alors kfk_p →0 quandp→0.

b) Etablir que

p→0lim Z

X

f^pdµ=µ({f >0}).

c) Montrer que pour tout p∈]0,1[ et pour touty∈]0,+∞[, alors

|y^p−1|

p ≤y+|logy|.

d) A partir de maintenant, on suppose quef >0 surX et quelogf ∈L¹(µ). Montrer que

p→0lim Z

X

f^p−1 p dµ=

Z

X

logf dµ.

e) En déduire que

p→0limkfk_L^p = exp Z

X

logf dµ

.

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