I. Transformation de Zhukowskii

Énoncé

Soit P un plan euclidien muni d'un repère orthonormé (O,−→ i ,−→

j). On note x et y les fonctions coordonnées dans ce repère. On pourra dans tout le problème identier un point deP avec son axe complexe.

Ainsix(z), y(z)désignent aussi bien les coordonnées du point d'axezque les parties réelle et imaginaire dez

Préliminaire

Montrer que l'image d'une conique d'excentricité e par une similitude directe est une conique. Préciser un foyer et l'excentricité de la conique image.

I. Transformation de Zhukowskii

On considère l'applicationZ dénie par : C^∗−→C z→z+1

z

1. a. Soitr et θ deux nombres réels avec r > 0. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de

Z(re^iθ) b. Pour quels nombres complexesu, l'équation

z+1 z =u admet-elle une solution réelle strictement positive ?

2. a. SoitCr le cercle de centreO et de rayonr6= 1. Former l'équation cartésienne de l'imageEr par la transformationZ de ce cercle.

b. Quelle est la nature deEr? Préciser les foyers et l'excentricité.

c. DessinerE₂

3. a. SoitDθ la demi-droite d'extrémitéO et dirigée par−→eθ (vecteur de coordonnées (cosθ,sinθ) avecθ 6≡0 (^π₂). Former l'équation cartésienne de l'imageHθ par la transformationZ de cette demi-droite.

b. Quelle est la nature deHθ? Préciser les foyers, l'excentricité et un vecteur direc- teur pour chaque asymptote.

c. DessinerH^π

3

4. Déterminer les images des demi-droitesD₀,D^π

2, D_π,D₋^π

2.

II. Coniques de Hooke

SoitK un nombre réel non nul,kest un nombre complexe tel quek²=K on considère l'équation dierentielle

z⁰⁰−Kz= 0 (1)

Une solution de cette équation est une application dénie dans R et à valeurs dans C, c'est donc une courbe paramétrée. On se propose de donner quelques propriétés du support d'une telle courbe.

1. Préciser l'ensemble des solutions de (1).

2. Soit A, B, g des nombres complexes non nuls, α est un argument de A, β est un argument deB.

a. Déterminer lesg complexes tels queg²=AB. b. Montrer que

(A

g)²∈R⇔α≡β (π)⇔AB∈R Montrer que

|A

g|= 1⇔ |A|=|B|

c. SoitS la similitude dénie par :

w→S(w) =gw Calculer

S◦Z(A ge^kt) 3. Soitzune solution de (1) de la forme

z(t) =Ae^kt+Be^−kt

avecAetB complexes non nuls. Attention iciz désigne une fonction.

En distinguant des conditions surA,B, K, montrer que le support de z est soit une ellipse, soit un segment, soit une branche d'hyperbole, soit une demi-droite, soit une droite. Pour une ellipse, on précisera les foyers, le demi grand axe, le demi petit axe.

Pour un cercle on précisera le centre et le rayon.

Pour une branche d'hyperbole, on précisera les foyers, les vecteurs directeurs des asymptotes, la distance du centre au sommet.

Pour une demi-droite on précisera l'extrémité et le vecteur directeur.

4. Soit z0 et z₀⁰ deux nombres complexes, on adopte ici les notations de la question précédente.

a. CalculerAetB pour quez soit la solution de (1) vériantz(0) =z0,z⁰(0) =z₀⁰. b. CalculerABetAB.

c. PourK <0, que doit-on imposer àz0 etz₀⁰ pour queA6= 0,B6= 0,|A| 6=|B|? d. PourK >0, que doit-on imposer àz0 etz₀⁰ pour queA6= 0,B6= 0,AB6∈R?

III. Transformation de Bohlin

Dans cette partie, on reprend les notations de I. On introduit aussi deux nouvelles trans- formations. La transformation de Bohlin est l'applicationB dénie par

C−→C z→z² On considère aussi la translationT dénie par :

C−→C z→z+ 2 1. a. PréciserB(Cr)etB(Dθ).

b. Préciser l'image parBd'une droite d'équationy=cavecc6= 0puis d'une droite quelconque (ne passant pas par l'origine)

2. Montrer que

B◦Z=T◦Z◦B 3. PréciserB(Er)etB(Hr).

4. Question facultative et culturelle. Hors barême.

Soitzune solution de l'équation diérentielle (1). On admet qu'il existe une fonction ϕcontinue et dérivable telle que pour tout réelt:

ϕ⁰(t) =|z(t)|²

On dénit une courbe paramétréewen posant pour tout réelt : w(ϕ(t)) =z(t)²

Quel est le support dew? Calculerw⁰⁰(ϕ(t)). Interpréter physiquement.

Corrigé Préliminaire

SoitCune conique de foyerF, de directriceDet d'excentricitée. Un pointM appartient àE si et seulement si

d(M,D d(M, F)=e

Soit M⁰, F⁰, D⁰ les transformés respectifs de M, F, D par une similitude donnée. Les distances sont multipliées par le rapport de la similitude donc le quotient des distances est conservé. On en déduit que l'image deC est donc une coniqueC⁰ de foyerF⁰, de directrice D⁰ et de même excentricitée.

I. Transformation de Zhukowskii

1. a.

Z(re^iθ) =re^iθ+1 re^−iθ⇒







Re(Z(re^iθ)) =(r+1 r) cosθ Im(Z(re^iθ)) =(r−1

r) sinθ b. L'équation proposée est du second degré enz. Elle s'écrit encore

z²−uz+ 1 = 0

Son discriminant estu²−4, cette équation admet donc des racines réelles si et seulement si |u| ≥2. Le produit des racines est 1 donc lorsque les racines sont réelles, elles sont de même signe. La somme des racines est u, l'équation admet donc au moins une racine réelle positive si et seulement siu≥2.

Dans ce cas, elle admet en fait deux racines réelles positives inverses l'une de l'autre. Les deux racines sont confondues en1pour u= 2.

2. a. D'après la question précédente, un pointM de coordonnées(x, y)appartient àE_r si et seulement si il existe un réelθtel que

x=(r+1 r) cosθ y=(r−1

r) sinθ

D'après les propriétés deC, il existe un tel réelθ si et seulement si x

r+¹_r ²

+ y

r−¹_r ²

= 1

Fig. 1: EllipseE2

b. L'équation cartésienne de Er obtenue à la question précédente est une équation de conique sous forme réduite.

Il s'agit d'une ellipse dont l'axe focal est l'axeOx, le centre est l'origineO, le demi grand-axe esta=r+¹_r, le demi petit-axe est =

r−¹_r

, la distance centre-foyer estc =√

a²−b²= 2, l'excentricité est e= _a^c = 1

r+¹_r, les foyers sont les points de coordonnées(−2,0)et(2,0).

c. Pour l'ellipseE2, le demi grand-axea= 2+¹₂ =⁵₂, le demi petit axeb= 2−¹₂= ³₂. 3. a. Un pointM de coordonnées(x, y)est dans l'image parZ de la demi-droiteD_θ si

et seulement si il existe un réelrstrictement positif tel que x

cosθ =r+1 r

y

sinθ =r−1 r Il est clair que l'existence de ce réelrentraine





 x

cosθ ²

− y sinθ

²

=4 x cosθ >0

Pourtant, la condition _cos^x_θ >0n'est pas très bien choisie. Elle ne caractérise pas l'existence d'unr >0tel que _cos^x_θ =r+¹_r.

D'après la question 1.b., la bonne condition est _cos^x_θ ≥2. Montrons que





 x

2 cosθ 2

− y 2 sinθ

2

=1 x cosθ ≥2 entraine l'existence d'un réelr >0tel que

x

cosθ =r+1 r

y

sinθ =r−1 r

D'après la question 1.b.,_cos^x_θ ≥2entraine l'existence d'unr >0tel que_cos^x_θ =r+

1

r. On a vu qu'en fait il existe deux réelsrinverses l'un de l'autre. En remplaçant dans l'autre équation, on obtient

y sinθ

²

= x cosθ

²

−4 =r²+ 1 r²−2 =

r−1

r ²

Si on remplacerpar son inverse,r−¹_r est remplacé par son opposé. Il existe donc un réelrtel que l'on ait à la fois _cos^x_θ =r+¹_r et _sin^y_θ =r−¹_r.

Finalement, l'équation cartésienne deHθ est bien





 x

2 cosθ ²

− y 2 sinθ

²

=1 x cosθ ≥2 b. La forme réduite d'une équation d'hyberbole apparait.

La courbeHθest donc une branche d'hyperbole contenue dans le demi-plan_cos^x_θ ≥ 2. Le centre estO, l'axe focalOx, la distance centre-foyer est

p(2 cosθ)²+ (2 sinθ)²= 2

, les foyers sont les points de coordonnées(−2,0) et(2,0), l'excentricité este=

c

a =_cos¹_θ.

Les asymptotes sont les droites d'équation x

2 cosθ− y

2 sinθ = 0et x

2 cosθ+ y 2 sinθ = 0 Leurs vecteurs directeurs sont−→e_θ et−→e_−θ.

Cette branche n'est pas dansH^π

3

Fig. 2: Branche d'hyperboleHπ 3

c. L'équation cartésienne deH^π

3 est

x²−y² 3 = 1 avecx≥1.

4. D'après la question 1.b., l'image deD0est la demi-droite[2,+∞[. En multipliant par−1, il est clair que l'image deDπ est]− ∞,−2].

Pour toutt >0,

it+ 1 it =i

t−1

t

De plus t−¹_t décrit R tout entier comme le montre l'étude des limites en 0+ et en +∞. On en déduit que l'image deD^π

2 et de D−^π₂ est la droiteiR.

II. Coniques de Hooke

1. L'ensemble des solutions de l'équation diérentielle(1)est constitué par les fonctions z→Ae^kt+be^−kt

avecAetB complexes.

2. a. Avec les notations de l'énoncé :

A=|A|e^iα B=|B|e^iβ AB=|AB|e^i(α+β) On en déduit :

g=AB⇔g∈np

|AB|e^iα+β2 ,−p

|AB|e^iα+β2 o

b. Avec les dénitions de l'énoncé : A

g ²

= A B = |A|

|B|e^i(α−β) donc

A g

²

∈R⇔ A

B ∈R⇔α−β≡0 modπ⇔α≡β modπ Comme de plus ^A_B = _|B|^AB2, on a aussi

A

B ∈R⇔AB∈R De même :

A g

= 1⇔

A g

2

= 1⇔

A B

= 1⇔ |A|=|B|

c. Avec les notations de l'énoncé, S◦Z(A

ge^ikt) =g A

ge^ikt+ g Ae^−ikt

=Ae^ikt+Be^−ikt

3. Les résultats de la question II.2 et de la partie I montrent que la trajectoire d'une solution de l'équation diérentielle(1)considérée comme une courbe paramétrée sont en général des coniques.

En eet, une solution quelconque est de la forme

z(t) =Ae^kt+Be^−kt=S◦Z A

ge^kt

avec A ge^kt=

s

A B

e^iα−β2 e^kt

La trajectoire de z est donc l'image par les transformations Z puis S (qui est une similitude) de la trajectoire de

t→ A ge^kt LorsqueK >0, kest réel, A

ge^kt décrit la demi-droiteDα−β 2 . LorsqueK <0, kest imaginaire pur, A

ge^ktdécrit le cercleC^q

|^A_B|. De plus,

α−β

2 ≡0 mod π

2 ⇔α≡β modπ⇔AB∈R s

A B

= 1⇔|A|=|B|

On en déduit les résultats suivants.

PourK >0et AB6∈R. La trajectoire est une branche d'hyperbole S◦Z

Dα−β 2

=S Hα−β

2

Les foyers sont les points d'axe−2g et2g. Les vecteurs directeurs des asymptotes ont pour axe

ge^iα−β2 =p

|AB|e^iα ge^−iα−β2 =p

|AB|e^iβ

L'axe focal est la droite (Og) bissectrice intérieure de (OA),(OB). La distance centre-sommets est

|g| 1 2 cos^α−β₂ =

p|AB|

2 cos^α−β₂

Pour K >0 et AB ∈R, le carré du nombre complexe ^A_g est réel. Par conséquent

A

g décrit une des quatre demi-droitesD₀, D^π

2,D_π,D₋^π

2. La trajectoire est soit une demi-droite soit une droite image par la similitudeSde[2 +∞[ou]− ∞,−2]ou de iR. Il est à noter que lorsque la trajectoire est une demi-droite, celle-ci est parcourue deux fois : de l'inni vers le sommet puis du sommet vers l'inni.

PourK <0et |A| 6=|B|. La trajectoire dez est une ellipse¹.

S◦Z

C^q

|^AB|

=S

E^q

|^AB|

Les foyers sont les points d'axe−2get2g. L'axe focal est la droite(Og)bissectrice intérieure de(OA),(OB). La distance centre-sommets (demi grand-axe) est

|g|

q|A|

|B|+ q|B|

|A|

=

p|AB|

q|A|

|B|+ q|B|

|A|

= |A||B|

|A|+|B|

(en multipliant parp

|AB|)

PourK <0 et|A|=|B|, commek est imaginaire pur, le complexes ^A_ge^kt est de la formee^iθ et décrit un cercle de centre l'origine et de rayon 1. Or

e^iθ+ 1

e^iθ = 2 cosθ

donc la trajectoire est un segment image par la similitudeS de[−2,2]. 4. a. Les conditions initiales conduisent aux équations

( A+B=z0

kA−kB=z₀⁰ ⇔









 A=1

2

z0+1 kz₀⁰

B=1 2

z0−1

kz₀⁰

b. En utilisant les résultats de la question précédente, on obtient

AB=1 4

z02− 1 Kz₀⁰²

1En France ces ellipses sont dites de Lissajoux

et

AB= 1 4

z₀+ 1

kz₀⁰ z₀−1 kz₀⁰

=1

4 |z0|²−|z⁰₀|²

|k|² +z₀⁰z0

k −z0z⁰₀ k

!

=1 4

|z0|²−|z₀⁰|²

|K| + 2iImz⁰₀z0

k

c. PourK <0, le nombrekest imaginaire pur. En comparant les carrés des expres- sions trouvées ena, on obtient

|A|=|B| ⇔Re z₀z₀⁰ k

!

= 0⇔z₀z₀⁰ ∈R

On peut interpréter physiquement en considérant un point mobile attiré élasti- quement par un point xé. Les trajectoires sont en général des ellipses (dites de Lissajoux). Dans le cas particulier où à un instant donné la vitesse est portée par la droite passant par le point et le centre, la trajectoire est un segment.

d. Dans le cas oùK >0, le nombrekest réel et AB∈R⇔Imz₀⁰z0

k ⇔z0z₀⁰ ∈R

Cette fois, le point mobile est repoussé élastiquement par un point xé. Les tra- jectoires sont des hyperboles sauf si à un instant donné la vitesse est portée par la droite contenant le centre et le point. Dans ce cas la trajectoire est une demi-droite ou une droite.

III. Transformation de Bohlin

1. a. Avec les propriétés usuelles des nombres complexes, il est bien clair que B(Cr) =Cr² B(Dθ) =D2θ

b. L'axe d'un point situé sur une droite d'équationy =c est z =t+ic. L'axe de son image parB est

z²=t²−c²+ 2itc

La partie réellexet la partie imaginaire yvérient donc x=y

2c 2

−c²

L'image parB d'une droite d'équationy=c est donc une parabole notéeP_c. Une droite ∆ quelconque ne passant pas par l'origine est l'image d'une droite d'équation y = c par une certaine similitude s dont le point xe est l'origine.

Pour une telle similitude,B◦s=s²◦B. On en déduit que B(δ) =r²(√c)

Cette image est donc encore une parabole.

2. Il s'agit d'un calcul élémentaire :

B◦Z(z) =

z+1 z

²

= (z²+ 1

z²) + 2 =T◦Z◦B(z) 3. D'après la partie I,

Er=Z(Cr)⇒B(Er) =B◦Z(Cr) =T◦Z◦B(Cr) =T ◦Z(Cr²) =T(Er²) On en déduit queB(E_r)est encore une ellipse. De même,B(H_r)est encore une hyper- bole

4.