Etudiez la d´erivabilit´e `a l’origine de la fonction f(x) =x|x|

1. Etudiez la d´erivabilit´e `a l’origine de la fonction f(x) =x|x|.

2. Calculez le volume du solide obtenu en faisant tourner autour de l’axe desyla surface d´elimit´ee par les courbes y=x³,y= 8 etx= 0.

3. D´emontrez que sif est une fonction continue, alors Z a

0

f(x)dx= Z a

0

f(a−x)dx.

Utilisez ce r´esultat pour d´emontrer que Z ^π

2

0

sinⁿx

sinⁿx+ cosⁿxdx= π 4 pour tout nombre entier npositif.

4. Etudiez le signe sur R⁺ de la fonctionf d´efinie par f(x) =xe^−x−e⁻¹.

Examen d’admission aux ´etudes d’ing´enieur civil Universit´e catholique de Louvain Analyse – S´erie 1, juillet 2013

Pr´enom et nom: Num´ero :

Question 1 (suite)

Soit f la fonction de la variable x d´efinie surR par f(x) =e^2x−4e^x.

1. Etudiez les variations de f et tracez sa courbe repr´esentative. On pr´ecisera les ´eventuelles asymptotes, les domaines de croissance et de d´ecroissance et les extrema ´eventuels.

2. R´esoudre l’´equationf(x) =−3.

3. R´esoudre graphiquement l’in´equation f(x)>−3.

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Pr´enom et nom: Num´ero :

Question 2 (suite)

Lucky Luke se prom`ene dans la plaine du Nevada, non loin de la nouvelle ligne de chemin de fer, lorsqu’il aper¸coit au loin les fr`ere Dalton `a bord du train dont ils viennent de ligoter le conducteur.

Lucky Luke s’´elance imm´ediatement en direction de la ligne de chemin de fer pour tenter d’arrˆeter les Dalton.

Dans ce probl`eme, on repr´esente Lucky Luke et le train par des points. La ligne de chemin de fer est suppos´ee ˆetre une ligne droite, et le sol est suppos´e parfaitement plan. Afin d’am´eliorer ses chances d’intercepter le train, Lucky Luke ne se dirige pas dans la direction perpendiculaire `a la ligne de chemin de fer, mais sur une ligne de droite qui coupe la ligne de chemin de fer avec un certain angle α < 90^◦. L’objectif de ce probl`eme est de d´eterminer la direction α optimale pour Lucky Luke en fonction des param`etres suivants :

– La vitesse de d´eplacementv_D du train, suppos´ee constante – La vitesse de d´eplacementvL de Lucky Luke, suppos´ee constante

– La distance initiale dL de Lucky Luke par rapport `a la ligne de chemin de fer

– La distance initiale d_D entre le train et la projection orthogonale de Lucky Luke sur la ligne de chemin de fer

On suppose que le train va plus vite que Lucky Luke : vD > vL. 1. Repr´esentez la situation sch´ematiquement

2. D´erivez l’expression donnant le temps d’avance que Lucky Luke aura sur le train au moment o`u il atteindra la ligne de chemin de fer (un temps d’avance n´egatif correspondant `a un retard) en fonction des param`etres d´ecrits ci-dessus.

3. Trouvez l’angleα qui maximise ce temps d’avance.

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Pr´enom et nom: Num´ero :

Question 3 (suite)

1. Calculez une primitive de la fonction f d´efinie par f(x) =

√ lnx x . 2. Calculez la limite suivante

x→0lim

e−e^cosx x² .

3. On d´efinit la r´egion R comme la r´egion comprise entre les courbes y = x et y = x² pour x≥0. Cette r´egion R subit une rotation autour de l’axe Ox. Il en r´esulte un solide dont on demande de calculer le volume.

4. Soitf une fonction d´erivable surR telle que pour toutx≥0,f(x)≥x et telle quef(0) = 0.

D´emontrez quef⁰(0)≥1.

Examen d’admission aux ´etudes d’ing´enieur civil Universit´e catholique de Louvain Analyse – S´erie 2, juillet 2013

Pr´enom et nom: Num´ero :

Question 1 (suite)

On consid`ere la fonction φd´efinie pour x≥0 par φ(x) = x

x+ 1−ln(1 +x).

1. Etudiez les variations de φet en d´eduire que pour tout x >0,φ(x)<0.

2. Soit la fonction f d´efinie par f(t) = e^−tln(1 +e^t). Etudiez `a l’aide de la fonction φ les variations def et tracez sa courbe repr´esentative. On pr´ecisera les ´eventuelles asymptotes, le domaine de croissance et de d´ecroissance et les extrema ´eventuels.

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Pr´enom et nom: Num´ero :

Question 2 (suite)

Une soci´et´e cherche `a ´etablir le prix de son nouveau smartphone UCL-2013 pour le march´e Belge.

Apr`es une ´etude de march´e, elle a pu obtenir un mod`ele (que l’on suppose parfaitement pr´ecis) du nombre Nv de smartphone UCL-2013 vendus par jour en fonction du prix de vente p choisi. Ce mod`ele est donn´e par

N_v =f(p) = A² (K+p)² o`u A= 4000 etK = 150.

L’ensemble des coˆuts de la soci´et´e par jour (li´es au march´e Belge) peuvent ˆetre mod´elis´es par une fonction d´ependant du nombreNp d’´el´ements produits comme

g(Np) =C+Bp Np .

On suppose que la soci´et´e produit exactement le nombre de smartphones vendus par jour :N_p =N_v. 1. Identifiez les param`etres B et C de la fonction du total des coˆuts g(N<sub>p</sub>) `a l’aide de la table

ci-dessous donn´ee pour certaines valeurs deNp : N_p g(N_p) 100 12 000 400 22 000 900 32 000

2. Ecrivez l’expression du profit journalier de la soci´et´e Pr(p) en fonction seulement du prix choisip. Le profit est calcul´e comme la diff´erence entre les recettes des ventes et le total des coˆuts.

3. Calculez la valeur du prixp maximisant le profit de la soci´et´e.

Note 1 : Pour simplifier la r´esolution, on fait l’hypoth`ese que les nombres d’´el´ements vendus et produits (Nv etNp) peuvent ˆetre des nombres r´eels quelconques, pas n´ecessairement entiers.

Note 2 : Le mod`ele a ´et´e choisi pour les besoins de l’exercice et n’est pas particuli`erement r´ealiste.

Note 3 : On ne tient pas compte d’´eventuelles taxes ou coˆuts suppl´ementaires que ceux donn´es dans l’´enonc´e.

Examen d’admission aux ´etudes d’ing´enieur civil Universit´e catholique de Louvain Analyse – S´erie 2, juillet 2013

Pr´enom et nom: Num´ero :

Question 3 (suite)

1. Calculer les limites suivantes :

x→0limxsin 1

x

et lim

x→∞

sinx x

2. Calculer une primitive de la fonction f d´efinie par : f(x) = 2 + 3x+x²

x(x²+ 1) 3. D´emontrer que l’´equation

x²= 2^x admet une solution dans l’intervalle [−1,0].

4. Calculer l’aire de la surface comprise entre la droite y=x−1 et la parabole y² = 2x+ 6.

Examen d’admission aux ´etudes d’ing´enieur civil Universit´e catholique de Louvain Analyse – Septembre 2013

Pr´enom et nom: Num´ero :

Question 1 (suite)

Soit la fonctionf d´efinie par

f(x) =x(lnx)² 1. Calculer la d´eriv´eef⁰ de f.

2. D´eterminer les solutions de l’´equation f⁰(x) = 0.

3. Etudier le signe de f⁰. 4. D´eterminer limu→+∞ln√u

u puis limu→+∞(lnu)² u .

5. En d´eduire lim_x→0⁺x(lnx)² et conclure sur la continuit´e def en 0.

6. Etudier la d´erivabilit´e de f en 0 `a droite et donner les conclusions graphiques.

7. Donner le tableau des variations de f. 8. Dessiner le graphe de la fonction f.

Examen d’admission aux ´etudes d’ing´enieur civil Universit´e catholique de Louvain Analyse – Septembre 2013

Pr´enom et nom: Num´ero :

Question 2 (suite)

Un cycliste effectue une ´epreuve en solitaire sur un parcours tout-`a-fait plat mais soumis `a un vent tournoyant. La vitesse du vent dans la direction du cycliste peut ˆetre mod´elis´ee par une fonction du temps donn´ee par

f(t) = 40 cos(at) [km/h]

o`u aest un param`etre constant. On suppose que le cycliste d´emarre son parcours au tempst= 0.

Pour simplifier l’effet du vent sur le cycliste, on mod´elise la vitesse de celui-ci par une constante v0 (correspondant `a sa vitesse en l’absence de vent) plus un quart de la vitesse du vent dans sa direction. On s’int´eresse au temps que mettra le cycliste pour terminer son parcours d’une longueur de K = 40 km. On supopse quev₀ >20 km/h.

1. Calculer l’expression de la vitesse v(t) du cycliste en fonction du temps, puis de la distance d(t) parcourue par le cycliste en fonction du temps.

2. Ecrire l’´equation que satisfait la dur´ee totale t_T mise par le cycliste pour terminer son par- cours. D´emontrer que cette ´equation admet une et une seule solution.

La solution exacte de cette ´equation n’est pas facile `a trouver, on cherche donc une approxi- mation raisonnable du temps de parcourst_T du cycliste

3. Pour a = 120π et v₀ = 40 km/h, donner un intervalle de largeur maximum 2 minutes

`

a l’int´erieur duquel se trouve la solution t_T. (D´emontrer que la solution se trouve bien `a l’int´erieur de cet intervalle).

Examen d’admission aux ´etudes d’ing´enieur civil Universit´e catholique de Louvain Analyse – Septembre 2013

Pr´enom et nom: Num´ero :

Question 3 (suite)