Universit´e Catholique de Louvain MECA1855 - Thermodynamique et Energetique
Professeur : Miltiadis Papalexandris.
Notes supplementaires en transfert de chaleur
Il y a trois modes de transfert de chaleur.
La conduction se r´ealise `a l’´echelle microscopique, sans d´eplacement macroscopique de mati`ere. Elle r´esulte des interactions entres des particules voisines. Pour les fluides, ces inter- actions sont les collisions entre particules. Pour les solides ces interactions sont les vibrations du reseau atomique. De plus, dans les m´etaux et les semi-conducteurs la conduction de chaleur peut aussi se r´ealiser par les ´electrons libres du corps.
La convectionse r´ealise par le combinaison des interactions entres particules `a l’´echelle miscroscopique et le mouvement macroscopique d’un fluide en pr´esence de gradients de temp´erature. La convection de chaleur le long d’une interface solide-fluide ou fluide-fluide est particuli`erement importante pour des applications technologiques.
Le rayonnement est la transmisison d’´en´ergie ´el´ectromagnetique par un corps dont la temp´erature est sup´erieure du z´ero.
La loi du Fourier est une loi ph´enom´enologique pour la conduction de chaleur. Selon cette loi, le flux de chaleurq (chaleur transfer´ee par unit´e de surface et par unit´e de temps) en un point est une fonction lin´eaire du gradient de temp´erature en ce point :
q = −k∇T . (1)
Dans cette ´equation, k est le coefficient de conduction de chaleur, i.e., la conductibilit´e du milieu.
Consid´erons un corps non-d´eformable au r´epos en absence de r´eactions chimiques, de changement de phase et d’´echange de masse entre le corps et son ext´erieur. Appelons V le volume du corps et A sa fronti`ere. Evidement, V = cte. et A = cte. De plus, appelons e l’´energie interne sp´ecifique du corps. On suppose que e ne depend qu’`a la temp´erature. Par cons´equant, son differentiel total est donn´e par
de =c dT , (2)
c´etant la chaleur massique du corps. De plus, ´etant donn´e que le corps est non-d´eformable et qu’il est au r´epos, la vitesse de chaque point materiel du corps est ´egale `a z´ero :
u= 0. (3)
1
Ceci implique que l’´en´ergie cin´etique du corps est ´egale `a z´ero. Par cons´equant, le corps ne peut ´echanger que de la chaleur avec son ext´erieur. Ceci signifie que le bilan d’´energie du corps prend la forme suivante,
∂
∂t Z
V
ρ e dV = − Z
A
q·ndA + Z
V
qrdV . (4)
Dans cette ´equation,ρ est la masse volumique du corps, n est le vecteur unitaire et perpen- diculaire `a la surface A. Finalement, qr est la chaleurajout´e au corps par des sources ou des fuites d’´en´ergie : par exemple, par une resistance ´electrique.
Etant donn´e que le volume du corps est constant, nous constatons que la deriv´ee tem- porelle du cˆot´e gauche de l’´equation peut ˆetre mise `a l’int´erieur de l’int´egrale. De plus, pour l’int´egrale du flux de chaleur, on peut utiliser le th´eor`eme de divergence. On arrive alors `a
Z
V
∂
∂t(ρ e)dV = − Z
V
∇ ·qdV + Z
V
qrdV . (5)
Cette ´equation doit ˆetre valable pour un volume arbitraire, ce qui implique que
∂
∂t(ρ e) = ∇ ·q + qr. (6)
Si nous introduison la loi de Fourier, ´equation (1), en ´equation (6) nous arrivons `a
∂
∂t(ρ e) = ∇ ·(k∇T) + qr. (7)
De plus, si nous tenons compte de l’´equation de continuit´e (conservation de la masse) et de l’´equation (3), nous arrivons `a
∂ρ
∂t + ∇ ·(ρu) = 0 =⇒ ∂ρ
∂t = 0. (8)
De plus, le combinaison des ´equations (2) et (3) r´esulte `a de =c dT =⇒ de
dt =cdT
dt =⇒ ∂e
∂t =c∂T
∂t . (9)
(La deriv´ee materielleda/dt d’une quantit´ea est defini par la r´elation : da/dt=∂a/∂t+u·
∇a).
Finalement, le combinaison des ´equations (7)–(9) r´esulte `a ρ c∂T
∂t = ∇ ·(k∇T) + qr. (10)
Pour le cas special, k =cte., la derni`ere r´elation r´esulte `a ρ c∂T
∂t = k∇2T + qr. (11)
Cette ´equation s’appelle ´equation de diffusion thermique. Elle est une ´equation aux d´eriv´ees partielles parabolique.
2
