Universit´e Catholique de Louvain MECA1855 - Thermodynamique et Energetique
Professeur : Miltiadis Papalexandris.
Entropie de l’op´eration de m´elange
Entropie d’un gaz parfait
Le differentiel total de l’en´ergie interne d’un gaz parfait est donn´e par la relation
dU = CvdT . (1)
Dans cette ´equation, Cv est la chaleur massique totaledu syt`eme, elle est mesur´ee en kJ/K.
Par ailleurs, l’´equation d’´etat d’un gaz parfait est
pV = η RuT , (2)
η´etant le nombre de moles de gaz et Ru ´etant la constante universelle des gaz. Maintenant, introduissons ces relations dans l’´equation de Gibbs,
T dS = dU +pdV ⇒ T dS = CvdT +p d(ηRuT
p ). (3)
Pour un syst`eme ferm´e,η est constant. Par consequent, la relation pr´ec´edente donne, T dS = (Cv +η Ru)dT −ηRu
T
p dp . (4)
Etant donn´e que Cv+η Ru =Cp et apr`es division des deux membres de l’´equation (4) par T, on arrive `a
dS = Cp
dT
T −ηRu
dp
p . (5)
Cette expression constitue un differentiel total. (En math´ematiques on dirait que cette ex- pression constitue une 1-forme differentielle ferm´ee et exacte). Ceci implique qu’on peut int´egrer cette relation entre deux ´etats arbitraires,i.e., entre deux points arbitraires dans le plan p−T. Soit “0” l’indice pour l’´etat initial. Le r´esultat de l’integration est
S−S0 = Cp log T
T0 −ηRulog p
p0 . (6)
En utilisant l’´equation d’´etat, r´elation (2), on peut r´e-ecrire la derni`ere ´equation sous la forme
S−S0 = Cp log T
T0 −ηRulog(T T0
V0
V ). (7)
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Entropie de l’op´eration de m´elange
Consid´erons un espace ferm´e qui est separ´e en deux domains diff´erents, A et B, separ´es par un diaphragme. Les volumes de ces deux domaines sont VA et VB. Dans le domaine A il y a ηα moles du gaz α et dans le domaine B il y a ηβ moles du gaz β. Ce syst`eme est
`a l’equilibre et en equilibre avec l’exterieur ; sa pression `a cet ´etat d’equilibre est p0 et sa temp´erature est T0. Les entropies des deux gaz sont S0,α et S0,β. De plus, on les consid`ere comme les entropies de r´ef´erence pour les gaz. Evidement, l’entropie totale du syst`eme est
S0 = S0,α+S0,β. (8)
A un instant on enleve le diaphragme. Les deux gaz vont se m´elanger. A la fin de ce processur on aura un m´elange homog`ene `a l’´equilibre et en ´equilibre avec l’exterieur. Ceci signifie que la pression et la temp´erature `a la fin de l’operation de m´elange sont identiques : T =T0,p=p0. N´eanmoins, le volume occup´e par chaque gaz est modifi´e. L’entropie du gaz α au nouvel ´etat d’´equilibre est donn´e par relation (7),
Sα−S0,α = Cp,α logT0
T0−ηαRulog(T0 T0
Vα
Vα+Vβ
) ⇒ Sα−S0,α = −ηαRulog Vα
Vα+Vβ
. (9) Mais le volume Vα est donn´e par l’´equation d’´etat du gaz parfait,
Vα = ηαRuT0
p0 . (10)
D’ailleurs, le nouveau m´elange homog`ene est aussi un gaz parfait dont le volume est donn´e aussi par l’´equation d’´etat du gaz parfait, i.e.,
Vα+Vβ = (ηα+ηβ)RuT0
p0 . (11)
Si on substitue les r´elations (10) et (11) `a (9) on arrive `a
Sα−S0,α = −ηαRu log[α], (12)
ou [α] est la fraction molaire du gaz α. De mˆeme, l’entropie du gas β au nouveau ´etat d’´equilibre est
Sβ−S0,β = −ηβRulog[β]. (13)
L’entropie totale du syst`eme est
S = Sα+Sβ. (14)
On combine les ´equations (8), (12), (13) et (14) et on arrive `a la relation de production d’entropie de l’op´eration de m´elange,
S−S0 = −Ru(ηα log[α] +ηβ log[β]). (15) 2
Pour d´eriver l’expression de la production d’entropie sp´ecifique (production d’entropie par mole) il suffit de diviser la derni`ere relation par le nombre des moles du m´elange. Le r´esultat est, cf (3.12) du syllabus,
s−s0 = −Ru([α] log[α] + [β] log[β]). (16)
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