2 x dx ( Verifier que f (x ) = 1 )

EXERCICE N°1 :

Calculer les intégrales ci-dessous : 1)



1^{3 } 12 ^ 1 )

( dx

x x

x ; 2)



0^{2  }

2 4 )

2

( x x dxf (x ) 3)



0¹ 2x_1

dx ; 4)



^1   

2 22)

1 2

( dx

x x

5)



1² _ 2

) 1 2 (

2 dx

x ; 6 )



1² 2 _ 2

) 4

( dx

x

x ; 7)



2³ _^ 2 2

) 1 (

2 dx x

x

x ( Verifier que f (x ) = ₂

) 1 ( 1 1

 

x ) 8)



^{2 xcos(x2)dx} ; 9)



0² 2_sin

 cos

dx x

x ; 10)



¹ _ ^ _

0

2 2 3

2

) 1 (

2

3 dx

x x

x x

EXERCICE N° 2 :

Soit la fonction f définie sur IR\{2} par f ( x ) = ₂

2 3

) 2 (

10 20 11

2







 x

x x

x .

1°/ Déterminer les réels a, b et c tel que f ( x ) = a x + b + ₂ ) 2 (x

c , pour x ≠ 2.

2°/ Calculer



0^{1 } _^ 2 ^ 2

3

) 2 (

10 20 11

2 dx

x

x x

x .

EXERCICE N° 3:

Soit la fonction f définie sur IR\ {2} par f (x) = ₃ ) 2 (

1 2



 x

x .

On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (0,i, j^).

1°/ Déterminer les réels a et b tel que pour tout x de IR \ {2}, f (x) = _{2 3} ) 2 ( ) 2

(  

 x

b x

a pour x ≠ 2.

2°/ Calculer



 



1

1 2

) 2 (

1

2 dx

x

x .

EXERCICE N° 4:

On considère la fonction f définie par f (x) = ₂

2

1 1

x x

x





 .

On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( 0 , i , j ^{) .} 1°/ a) Etudier les variations de f et construire sa courbe Cf . ( Préciser sa tangente en 0 ).

b) En déduire que pour tout réel t de [0, +[, 3

2 ≤ f ( t ) ≤ 1.

2°/ a) En utilisant l’inégalité de la moyenne, montrer que pour tout réel x de [0, + [, on a

3

2 x ≤ F ( x ) ≤ x . En déduire la limite de F en +. b) Dresser le tableau de variation de F.

EXERCICE N° 5 : 1°/ Soit n  IN, In =



²

0

cos



tdt

n . Calculer I0; I1 et I2. 2°/ Démontrer la propriété suivante :  n  IN, In+2 =

2

1 n

n _I

n (1).

(Utiliser une intégration par partie déduite du calcul de la dérivée de : t cosⁿt sint).

3°/ En déduire que l’on a :  n  IN, I2n = _{2 2 1} 2 )

! (

)!

2 (



x n

n

n  _.

4°/ Démontrer à laide de (1) que le réel Un = (n + 1) In. In+1 est indépendant de n. Calculer ce nombre.

En déduire l’expression de I2n+1 en fonction de n.

Série d’exercices : Intégrales 1 Dhahbi . A 4^éme Année * Section : Mathématiques Série d’exercices

Prof : Dhahbi . A * Por : 97441893 Intégrales

Série d’exercices 4^éme Maths EXERCICE N° 6 :

Soit la fonction f définie sur IR par : f (x) = 1 2

2 2



 x x .

1°/ a) Dresser le tableau de variation de la fonction f et tracer sa courbe représentative ( C ) dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O,i, j).

b) Montrer que l’équation f ( x ) = x admet dans IR une solution unique α telle que : 1    2 3 _. 2°/ On appelle g la restriction de f à IR+.

a) Montrer que g admet une fonction réciproque g ^-1 définie dans ]1,2]

b) Ecrire l’expression de g^-1(x) pour x appartient à ]1,2].

c) Tracer la courbe (C’) de g^-1 dans le repère orthonormé (O,i, j^).

3°/ Soit φ la fonction définie sur [0, 4

 ] par : φ (x) = ^tan



^{xf t dt}

0

) ( . a) Montrer que φ est dérivable sur [0,

4

 ] et que φ’ ( x ) = tan²x + 2 .En déduire alors φ (x).

c) En déduire l’aire A du domaine limité par la courbe (C) et les droites d’équations respectives : x = 0 , x = 1 et y = 1 .

EXERCICE N° 7 :

1°/ Pour tout entier naturel n , on considère la suite In =



¹ _

01 dx

x xⁿ

.

a) Montrer que pour tout x  [0, 1] et tout entier naturel n : 0  x xⁿ



1  xⁿ. b) En déduire 0  In 

1 1



n . Que peut on en conclure pour In ? 2°/ Justifier, pour tout entier naturel, l’existence de l’intégrale Un =



¹ _ ^

0 2 1 2

1 dx

x x ⁿ

. a) Démontrer que, pour tout entier naturel, on a : 0  Un et Un+1 + Un =

) 1 ( 2

1

 n ^. b) Etudier les variations de la suite Un.

c) Démontrer que, pour tout entier naturel, on a : 0 Un

) 1 ( 2

1



n .Que peut-on déduire pour Un ? EXERCICE N° 8:

1°/ Soit la fonction f définie sur]0, + [par f(x) = - 1 +

x x

x 2 1

2 

 .

Etudier les variations de f. En déduire que pour tout x de]0, + [, on a : f(x) > 0.

2°/ Soit g la fonction définie sur [0, + [par g(x) = x²2x - x +1.

Montrer que g est strictement croissante sur [0, + [ 3°/ Soit G la fonction g définie sur [0, + [par G(x) =



^{xtg t dt}

0

) (

. .

a) Montrer que G est dérivable sur [0, + [ et calculer G’(x) pour tout x de [0, + [.

b) Montrer que, pour tout x de [0, + [, on a : G(x) ≥ 2 x2

. c) En déduire





xlim G(x) et



 xlim

x x G( )

.

d) Dresser le tableau de variation de la fonction G et donner l allure de la courbe de G représentative (C) dans un repère orthonormé (O, i, j).

Série d’exercices : Intégrales 2 Dhahbi . A

Série d’exercices 4^éme Maths EXERCICE N° 9 :

Soit n  IN, Un =



¹

0

2 ) cos( x dx

xⁿ  _.

1°/ Prouver que pour tout n  IN: Un 0.

2°/ a) Prouver que U_n est une suite décroissante.

b) Montrer que U_n est convergente.

3°/ a) Prouver que  x  [0,1], 0  xⁿ cos( ) 2x

  xⁿ . b) En déduire que  n  IN, on a : 0  Un 

1 1 n . c) Déterminer:



 nlim Un

EXERCICE N°10:

L’objet de cette exercice est d’étudier la suite In définie par : I₀ =



^{1 }

0

1 tdt et I_n =



^{1 }

0

1 tdt

tⁿ , n  IN.

1°/ Calculer I0 et intégrer par partie pour calculer I1.

2°/ Comparer tⁿ et t ⁿ⁺¹ lorsque 0  t  1; en déduire que : I_n+1  I_n. 3°/ Grâce à un encadrement de 1t établir que :

1 1

n  In  1

2 n . 4°/ Montrer que , pour tout t de [ 0 , 1 ] ; 0  2- 1t  (1 )

2 1 t . En déduire que :

1

2

n - ₂

) 1 (

1

n  In  1

2

n . En déduire la limite de nIn. EXERCICE N° 11:

Soit la fonction f définie sur IR par : f (x) =



^x _ ^dt

t

0 2

4 1

2 .

1°/ a) Justifier que f est dérivable sur IR.

b) Calculer f ’( x ) et en déduire le sens de variation de f.

c) Montrer que f est impaire.

2°/ a) Prouver que pour tout réel t ≥ 0:

4 2

1 1

 t ≥ t 2 1

1

 . b) En déduire que





xlim f (x) = +.

3°/ a) Montrer que f est une bijection de IR sur IR.

b) Soit g la fonction réciproque de f.

Montrer que g est dérivable sur IR et que pour tout réel x, on a : g’(x) = 1 4( ( ))² 2

1  g x

EXERCICE N° 12 :

Soient les fonctions f : x  f(x) =

2 2 3

) 1 (

5







 x

x x

x et g(x) = x +

2 1 x

x

1°/ Tracer les courbes (C_f) et (C_g) dans un repère orthonormé (0 ,i, j^{). ( pour} (C_g) préciser sa tangente en 0 et montrer que O est un point d’inflexion).

2°/ Soit un nombre réel strictement supérieur à 1

a) On désigne par A_ l’aire de la partie du plan limité par les courbes (Cf) et (Cg) et les droites d’équations respectives x = 3, x = .( on pourra vérifier que f(x) = x + 1 + ₂

) 1 (

4



x )

b) Calculer



lim A_et _ lim1

 A^

Pour une bonne réussite

Série d’exercices : intégrales 3 Dhahbi .A

EXERCICE N°2 :

1°/ déterminer les réels a , b et c tels que , pour tout réel u différent de 2 1 :

1 2

1

2



 u

u = au + b + 1 2u

c . 2°/ Calculer :



 



0

1 2

1 2

1dx x

x .

3°/ Calculer :



 

0

6 3

sin 2 1

cos



xdx x . EXERCICE N° 4 :

Dans cette exercice , on se propose d’encadrer l’intégrale : K =



_

 1

0 1

2

dx x e ^x

. 1°/ En utilisant les variations de g ( x ) = e^-x+ x + 1 et h ( x ) = 1 – x +

2 x2

+ e^-x sur l’intervalle [ 0 , 1 ] . Démontrer que pour tout x [ 0 , 1 ] , 1 – x  e^-x  1 – x +

2 x2

(1)

2°/ Déduire de 1°/ , un encadrement de e^-x2 pour x [ 0 , 1 ] puis montrer que , pour tout x [ 0 , 1 ] - x 

x e ^x





1

2

 1 – x +

) 1 ( 2

4

x x

 (2) 3°/ a) Montrer que pour tout x [ 0 , 1 ] :

x x

 1

4

= x³ – x² + x – 1 +

x 1

1 . b) Déduire alors de (2) que :

2

1  K  24

5 + 2

2 Log . EXERCICE N° 5 :

1°/ Soit l’intégrale K =



^

0

) 2 cos( x dx

e^x à l’aide de deux intégrations par parties successives , montrer que : K =

5

1 e

. 2°/ Soit I =



^

0

cos2xdx

e^x et J =



^

0

sin2xdx e^x .

Calculer I + J et I – J. En déduire les valeurs de I et J.

3°/ Linéariser cos²x et sin²x .Retrouver directement les valeurs de I et J à l’aide de ce résultat et de la première question .

EXERCICE N°4 :

On considère les intégrales suivantes : I =



⁴

0

cos2



x

dx ; J =



⁴

0

cos4



x dx _. 1°/ Quelle est la dérivée de la fonction x  tan (x). En déduire I.

2°/ Soit la fonction f : [0, 4

 _{] IR ; x}  x x cos3

sin _. a) Démontrer que f est dérivable sur [0,

4

 ] et que pour tout x  [0, 4

 ], f ’( x ) = x cos4

3 _-

x cos2

2 b) Déduire du calcul précédent une relation entre I et J, puis calculer J.

EXERCICE N°13 :

Soit la fonction f définie sur IR par : h( x ) = x² e^-x . 1°/ On pose K =



¹

0

) (x dx

h . Montrer que K = 2 - e 5 .

( Ind : on pourra utiliser une méthode d’intégration par partie ou chercher une primitive H de h sous la forme H ( x ) = ( ax² + bx + c ) e^-x , ou a , b ,c sont des réels à déterminer ).

2)/ Soit f la fonction définie par f ( x ) = _x e x ^

 ² 1

1 . On pose I =



¹

0

) (x dx

f ( on ne cherchera pas à calculer I ) .

a) ♠ Montrer que pour tout x de l’intervalle [ 0 , 1 ] , 0  x² e^-x  1 . ♠ Vérifier que pour tout u de l’intervalle [ 0 , 1 ] ; 1 – u 

u 1

1  1 - 2 u . b) ♠ En déduire que : 1 – k  I  1 -

2 k .

♠ Donner un encadrement de I d’amplitude égal à 0,01 . Pour une bonne réussite

Signature : Dhahbi . A Série d’exercices :calculs d’intégrals 5 Dhahbi .A