Compléments sur la dérivation

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Compléments sur la dérivation

I. Un problème d’optimisation pour bien démarrer.

On souhaite construire une boîte parallélépipédique, sans couvercle, à l’aide d’une plaque de carton de 1 mètre sur 3 mètre. Pour en construire le patron on en découpe dans chaque coin un carré de côté x.

1. Représenter le patron de la boite.

2. Quelles sont les valeurs possibles pour x (en mètre).

3. a. Déterminer, en fonction de x le volume de la boîte. On note la fonction obtenue V(x)

3. b. Dériver V(x), étudier le signe de V’(x) et dresser le tableau de variations de la fonction V.

3. c. En déduire la valeur de x à choisir pour que le volume de la boîte soit maximal.

II. Dérivation de fonctions composées.

II.1. Les fonctions composées.

Pour étudier une fonction plus complexe qu’une fonction usuelle, on peut parfois la considérer comme la composition (c’est à dire l’enchaînement) de deux fonctions usuelles.

Par exemple la fonction f définie sur [-2;+∞[ par f(x)=

√

²^x+⁴ peut être vue comme l’enchaînement d’une fonction affine et de la fonction racine carré :

√

²^x⁺⁴

Si on note g la fonction affine et h la fonction racine carrée on écrira alors f(x)=h(g(x)) ou aussi f=h∘g

Exercice 1 : Identifier les fonctions f et g telles que dans chacun des cas suivants on puisse écrire : h(x)=f(g(x))

a) h(x)=

√

²^x^²⁺⁴^x

b) h(x)=(3x²+8x)⁴ Fonction affine

x

2x+4

Fonction racine carré

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d) h(x)=sin(2x) e) h(x)=(5x⁴+1

x)³ f) h(x)=

√

^cos^x

Exercice 2 : Pour chaque situation de l ‘exercice précédent, proposer une fonction t telle que t(x)=g(f(x)) .

II.2. Dérivation des fonctions composées

Si f est définie et dérivable sur I et à valeurs dans J et que g est dérivable sur J alors f∘g est dérivable sur I et sa dérivée est telle que :

(f(g(x)))’=g ’(x)∗f ’(g(x))

Avec l’autre notation on écrira : (f∘g)'=g ’∗f ’∘g .

Exercice 3 : Reprendre les fonctions de l’exercice 1, étudier la dérivabilité et dériver lorsque c’est possible.

II.3. Conséquences

Soit u une fonction définie et dérivable sur I un intervalle réel, on a alors : 1. (e^u)^'=u ’ e^u

2. ∀n>0 , (uⁿ)^’=nu’ uⁿ⁻¹

3. Si u ne s’annule pas sur I alors (1

u)^’=−u ’ u²

4. Si u est strictement positive sur I alors (

√

^u)^’⁼ ^{u ’}

2

√

^u

Exercice 4 : Calculer les dérivées des fonctions composées suivantes a) f définie sur ℝ par f(x)=e^x³⁺⁵^x²⁺⁷^x

b) g définie sur ℝ par g(x)=(x²+6x+8)⁵ c) h définie sur ℝ par h(x)=

√

^x²⁺¹

d) k définie sur ℝ par k(x)=(x−4 x²+2)⁴

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III. Convexité

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal. On dit que f est convexe sur I lorsque sa courbe représentative est en dessous de chacune de ses cordes.

On admettra que les 4 propositions suivantes sont équivalentes :

Le point d’inflexion :

On peut avoir un point de la courbe pour lequel la tangente traverse la courbe, ce point est un point d’inflexion. En ce point la fonction convexe devient concave ou inversement, on dit qu’il y a changement de convexité. On repère un tel point

d’abscisse a grâce à l’étude de la dérivée seconde, il faut observer que f’’(a) s’annule en changeant de signe.

Exercice 5 :

a) Pour chacune des fonctions représentées ci-contre conjecturer la convexité

b) On donne :

• Courbe verte f (x)=x²−2x−3

• Courbe rouge g(x)=x³

• Courbe bleue h(x)=

√

^x

Démontrer alors les conjectures du a)

Exercice 6 : soit f une fonction définie sur ℝ par f (x)=2x³−3x²−12x+4 . a) Après avoir précisé la dérivabilité, déterminer f ’(x) et f ’’(x) ∀x∈ℝ b) En déduire la convexité de la fonction f .

f est convexe sur I

C_f est au dessus de ses tangentes

f’ est croissante sur I

f’’ est positive sur I

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Compléments sur la dérivation

Les démos

(f∘g)'=g ’∗f ’∘g

Par définition de la dérivée f∘g est dérivable en x₀ si la quantité (f∘g)(x)–(f∘g)(x₀)

x−x0

admet une limite finie l quand x tend vers x₀ et alors (f∘g)^'(x₀)=l .

On peut écrire (f∘g)(x)–(f∘g)(x₀)

x−x₀ =g(x)−g(x₀)

x−x₀ ∗(f∘g)(x)–(f∘g)(x₀) g(x)−g(x₀) et on étudie alors d’un côté lim

x0

g(x)−g(x₀)

x−x₀ =g '(x₀) et de l’autre côté lim

x0

(f∘g)(x)–(f∘g)(x₀)

g(x)−g(x₀) =(f '∘g)(x₀)

ces deux quantités sont finies et leur produit l’est aussi alors : (f∘g)^'(x0)=g '(x0)∗(f '∘g)(x0)

On suppose donc f^{’ ’}(x)≥0∀x∈I

• Cf est la courbe représentative de la fonction f d’équation y=f(x)

• Τ est la tangente à Cf au point d’abscisse a, d’équation y=f ’(a)(x−a)+f(a)

• Δ est la fonction différence, définie sur I par Δ(x)=f(x)−[f ’(a)(x−a)+f(a)]

Remarque : Lorsque Δ(x)>0 , Cf est au dessus de Τ Δ(x)=f(x)−f ’(a)x+f ’(a)a−f(a)

Δ’(x)=f ’(x)−f ’(a) Δ’’(x)=f ’’(x)

D’après notre hypothèse de départ : f ’’(x)≥0 et donc Δ’’(x)≥0 , Δ’ est une fonction croissante.

On procède alors par disjonction des cas :

• Si x>a , alors Δ’(x)>Δ’(a) or Δ’(a)=0 c’est à dire que Δ’(x)>0 et donc Δ est croissante. On peut alors écrire Δ(x)>Δ (a) et comme Δ(a)=0 on en déduis que Δ(x)>0

• Si x<a , alors Δ’(x)<Δ’(a) alors Δ’(x)<0 et donc la fonction Δ est décroissante.On peut alors écrire Δ(x)>Δ (a) et comme Δ(a)=0 on en déduis que Δ(x)>0

Dans les deux cas on conclut bien que si f ’’(x)>0 alors Cf est au dessus de Τ . Si f’’ est positive alors C_fest au dessous de ses tangentes

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Compléments sur la dérivation

Le DS

Exercice 1

Exercice 2 :

Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x)=

√

^x . On note C la courbe représentative de f. Soit M un point de C et A le point de coordonnées (2;0).

1. A l’aide du graphique proposé, déterminer graphiquement les coordonnées de M pour que la distance AM soit minimale.

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2. On note x l’abscisse de M et on pose g(x)=AM 2.a) Montrer que pour tout x≥0 , g(x)=

√

^x^²−3^x⁺⁴

2.b) Justifier que g est définie et dérivable sur [0 ; +∞[ et déterminer g’(x) 2.c) En déduire les variations de g

2.d) Refaire la question 1 par le calculer

3. On suppose maintenant que le point M a pour abscisse 3 2

3.a)On appelle T la tangente à C en M. Déterminer le coefficient directeur de T 3.b)Tracer T sur le graphique où est tracé C

3.c) Quelle conjecture peut-on faire concernant T et la droite (AM) ? 3.d) Démontrer cette conjecture.