RANG EN ALGEBRE LINEAIRE
(ON SE LIMITERA A DES E.V. DE DIMENSION FINIE)
Soient E et F deux K espaces vectoriels de dimension finie.
1) Rang d'une famille de vecteurs, rang d'une application linéaire
définition (rang d'une famille de vecteurs)
Soit x=(xi)i∈I une famille d'éléments de E. La dimension du sous espace engendré par x est appelée rang de x, noté rg(x).
définition (rang d'une application linéaire)
Soit u une application linéaire de E dans F. F étant de dimension finie, Im(u) l'est également. On appelle rang de u, noté rg(u), le nombre dim(Im(u)).
théorème du rang
Soit u une application linéaire de E dans F. Alors dim(Ker(u))+dim(Im(u))=dim(E). démonstration
Soit n=dim(E). Ker(u) est de dimension finie p (p≤n). Notons (ei)1≤i≤p une base de Ker(u). Alors (ei)1≤i≤p est une famille libre de E. D'après le théorème de la base incomplète, il existe
n
p e
e +1,..., éléments de E tel que (ei)1≤i≤n soit une base de E.
montrons que
(
u(ei))
p+1≤i≤n est une base de Im(u)• C'est une famille libre :
Soit (αi)p+1≤i≤n des éléments de K tels que ( ) 0
1
=
∑
α+
= n
p i
i
iu e .
Alors ( ) 0
1
=
∑
α+
= n
p i
i ie u
Donc ( )
1
u Ker e
n
p i
i
i ∈
∑
α+
=
donc
∑ ∑
= +
=
≤
≤ ∈ α = α
α
∃ p
i i i n
p i
i i p p i
i K e e
1 1
1 ,
) (
donc 0
1 1
= α
−
α
∑
∑
= = + np i
i i p
i i
ie e
donc tous les αi sont nuls (car (ei)1≤i≤n est une base de E).
donc
(
u(ei))
p+1≤i≤n est libre.• C'est une famille génératrice :
Soit y∈F. Il existe x∈E tel que y=u(x).
∑
=≤
≤ ∈ = α
α
∃ n
i i i n
n i
i K x e
1
1 ,
)
( . Alors ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ α
=
∑
= n
i i ie u
y
1
.
Donc
∑
=
α
= n
i
i iu e y
1
)
( (linéarité de u)
donc
∑ ∑
+
=
=
α + α
= n
p i
i i p
i
i
iu e u e
y
1 1
) ( )
(
donc
∑
+
=
α
= n
p i
i iu e y
1
)
( car pour 1≤i≤ p,ei∈Ker(u) donc
(
u(ei))
p+1≤i≤n est une famille génératrice.
proposition
E, F et G sont des K espaces vectoriels. u est une application linéaire de E dans F. v est une application linéaire de F dans G. Alors rg(u)=rg(vDu)−dim(Ker(v)∩Im(u)).
démonstration
Soit f la restriction de v à Im(u).
f est linéaire de Im(u) dans G donc, d'après le théorème du rang, ))
(Im(
)) (Im(
)) (
(Ker f dim f dim u
dim + = .
Or, )dim(Im(f))=rg(vDu car Im(vDu)=v(Im(u)). Donc :
)) Im(
) ( ( ) (
)) ( ( ) ( ) (
u v
Ker dim u v rg
f Ker dim u v rg u rg
∩
−
=
−
= D
D
car Ker(f)=Ker(v)∩Im(u).
proposition
E, F et G désignent des K espaces vectoriels, u une application linéaire de E dans F, v une application linéaire de F dans G. Alors :
(i) rg(vDu)≤min(rg(u),rg(v))
(ii) Si u est bijective, alors rg(vDu)=rg(v) (iii) Si v est bijective, alors rg(vDu)=rg(u) démonstration
(i)
) Im(
)
Im(vDu ⊂ v donc rg(vDu)≤rg(v).
D'après la proposition précédente, rg(vDu)≤rg(u). Par conséquent, rg(vDu)≤min(rg(u),rg(v)). (ii)
Si u est bijective, Im(u)=F donc Im(vDu)=v(F)=Im(v) donc rg(vDu)=rg(v). (iii)
Si v est bijective, alors Ker(v)=
{ }
0 donc dim(Ker(v)∩Im(u))=0 donc rg(vDu)=rg(u) d'après la proposition précédente.proposition
Soit u une application linéaire de E dans F.
(i) u est injective si et seulement si rg(u)=dim(E). (ii) u est surjective si et seulement si rg(u)=dim(F). démonstration
(i) Rappelons que u est injective si et seulement si Ker(u)=
{ }
0 .Supposons u injective. Alors Ker(u)=
{ }
0 donc dim(Ker(u))=0. D'après le théorème du rang, )( ))
(Im(u dim E
dim = .
Supposons que rg(u)=dim(E). D'après le théorème du rang, dim(Ker(u))=0 donc Ker(u)=
{ }
0 donc u est injective.(ii) Rappelons que u est surjective si et seulement si Im(u)=F. Si u est surjective, alors Im(u)=F et donc rg(u)=dim(F).
Si )rg(u)=dim(F : Im(u)⊂F et dim(Im(u))=dim(F) donc Im(u)=F, c'est-à-dire u est surjective.
2) Rang d'une matrice
définition (rang d'une matrice)
On appelle rang d'une matrice M, noté rg(M), le rang du système de ses vecteurs colonnes.
théorème
Soit ( ) ( )
1
1 M K
m
M np
p j
n i j
i ∈
=
≤
≤≤
≤ . Soit F un K espace vectoriel de dimension n, (f1,...,fn) une base de F. Alors rg(M)=rg(v1,...,vp) où
∑
=
= n
i
i k i
k m f
v
1
, 1≤k≤ p. démonstration
Notons )(e1,...,en la base canonique de Kn.
k k
n
f e
F K
6
→
φ: est un isomorphisme donc rg(v1,...,vn)=rg(φ(v1),...,φ(vn))=rg(u1,...,un) où
∑
== n
i i k i
k m e
u
1
.
théorème
Soient E et F deux K espaces vectoriels de dimensions finies non nulles p et n, u une application linéaire de E dans F. Pour tout couple (e,f) de bases de E et F, si M désigne la matrice de u relativement à ces bases, on a rg(u)=rg(M).
démonstration
Notons )e=(e,...,e , f =(f ,...,f ), M =(m )≤≤ .
On a
∑
=
= n
i
i k i
k m f
e u
1
)
( , 1≤k≤ p.
D'après le théorème précédent, rg(M)=rg(u(e1),...,u(ep)) donc rg(M)=rg(u) car )
Im(
)) ( ),..., (
(u e1 u e u
vect p = par conséquent, rg(u(e1),...,u(ep))=rg(u).
proposition
Une matrice et sa transposée sont de rangs égaux.
démonstration
Soit M∈Mnp(K). Soit e la base canonique de Kn, f celle de Kp. Notons e* la base duale de e, f* celle de f.
Soit u l'application linéaire canoniquement associée à M, u:Kp →Kn. D'après ce qui précède, rg(M)=rg(u).
Soit tu:(Kn)*→(Kp)*. )
( )
( u rg u
rg t = (voir chapitre concernant la dualité)
Or ))rg(tu)=rg(mat(tu;f*,e* et mat(tu;f*,e*)=tM (voir dualité) Donc )rg(tu)=rg(tM et donc rg(tM)=rg(tu)=rg(u)=rg(M).
conséquence : Le rang d'une matrice est égal à celui de ses vecteurs lignes.
proposition
Soient )A∈Mnp(K),B∈Mmn(K . (i) ))rg(BA)≤min(rg(A),rg(B
(ii) Si A est inversible, rg(BA)=rg(B) (iii) Si B est inversible, rg(BA)=rg(A) démonstration
Soient u et v les applications linéaires canoniquement associées à A et B,
m n
n
p K v K K
K
u: → , : → .
(i) BA est la matrice canoniquement associée à vDu. )rg(BA)=rg(vDu .
Or, ))rg(vDu)≤min(rg(u),rg(v et rg(u)=rg(A),rg(v)=rg(B), d'où le résultat.
(ii)
) ( )
(BA rg v u
rg = D
=rg(v) (car u est inversible car A l'est) =rg(B)
(iii)
) ( )
(BA rg v u
rg = D
=rg(u) (car v est inversible car B l'est) =rg(A)
3) Méthode pratique pour calculer le rang
voir chapitre sur les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice.
