La pente d’une droite
Tout ceci n’est valable qu’en repère orthonormé (si l’unité de longueur est la même sur les deux axes).
La pente d’une droite est un nombre qui mesure son inclinaison.
On dit aussi coefficient directeur, c’est la même chose.
Dire que la pente d’une droite est 3 signifie : si l’on part d’un point d’une droite
si l’on se déplace d’un carreau vers la droite si l’on se déplace de 3 carreaux vers le haut alors on se retrouve sur cette droite.
La pente est 3.
La pente est 2.
La pente est 1.
La pente est 1 2. Propriétés :
La pente d’une droite horizontale est 0.
Deux droites parallèles ont la même pente.
Cette droite a une pente positive.
Cette droite a une pente négative.
La pente est - 5.
La pente est - 1 3. Remarque : une droite verticale n’a pas de pente.
pente supérieure à 1 pente 1
pente comprise entre 0 et 1
pente 0
pente comprise entre -1 et 0 pente -1
pente inférieure à -1
Comment déterminer une pente par le calcul
C
B
A
Pour aller de B à C, le déplacement horizontal est 1, le déplacement vertical est 3 donc la pente est 3.
Pour aller de A à C, le déplacement horizontal est 2, le déplacement vertical est 6.
La pente est le coefficient multiplicateur qui permet de passer du déplacement horizontal au déplacement vertical :
3
2 6
Un autre exemple :
B A
Pour aller de A à B, le déplacement horizontal est 3, le déplacement vertical est 2.
Pour passer de 3 à 2, on multiplie par 2
3 donc la pente de ( AB ) est 2 3. 2
3
3 2
Il y a d’autres façons de faire. Puisque la pente est le rapport du déplacement vertical sur le déplacement horizontal, vous pouvez utiliser la formule y y
x x
B A
B A
. Dans ce cas, A ( 1 ; - 1 ) et B ( 4 ; 1 ) donc y y
x x
B A
B A
= 1 1 4 1
( )
= 2 3.
Comment tracer une droite dont on connaît un point et la pente Exercice: tracer la droite de pente 2 qui passe par A ( 1 ; - 1 ).
On part de A, on se déplace d’un carreau vers la droite puis de deux carreaux vers le haut.
On arrive point B ( 2 ; 1 ) qui appartient lui aussi à la droite qu’on veut tracer.
On connaît deux points de cette droite, on peut la tracer.
B
A
Comment déterminer une équation de droite quand on connait un point et la pente Il y a beaucoup d’autres façons de faire mais cette méthode est utilisée pour donner une équation de tangente. Il vaut mieux comprendre cette méthode dès maintenant.
Donner l’équation de la droite de pente 2 qui passe par A ( 2 ; 1 ).
On considère un point M ( x ; y ) de coordonnées inconnues qui appartient à la droite .
y M
y - 1
A 1
x - 2 2 x
Pour aller de A à M,
- le déplacement horizontal est x - 2 - le déplacement vertical est y - 1 - la pente est 2
2
x - 2 y - 1
donc y - 1 = 2 ( x - 2 ) donc y = 1 + 2 ( x - 2 ) donc y = 2 x - 3.
L’équation de la tangente est y = 2 x - 3.
Remarque importante : Pour aller de A à M,
- le déplacement horizontal est x - 2
- le déplacement vertical est le produit du déplacement horizontal par la pente : 2 ( x - 2 ) Regardons le graphique. Pour trouver y, l’ordonnée de M,
- on part de 1, l’ordonnée de A - on monte de 2 ( x - 2 )
- on arrive à l’ordonnée de M.
On peut donc lire sur le graphique que y = 1 + 2 ( x - 2 ) et en déduire que y = 2 x - 3.
Rappel : une équation de droite est une condition pour qu’un point appartienne à cette droite.
L’équation de est y = 2 x - 3.
Le point B ( 4 ; 5 ) appartient à la droite car l’égalité 5 = 2 × 4 - 3 est vraie.
Le point C ( 6 ; 13 ) n’appartient pas à la droite car l’égalité 13 = 2 × 6 - 3 est fausse.
Un autre exemple
On donne A ( 1 ; 3 ) et B ( 5 ; - 2 ).
Donner l’équation de la droite ( AB ).
On commence par chercher la pente de la droite ( AB ).
Pour aller de A à B, le déplacement horizontal est 4 et le déplacement vertical est - 5.
( - 5 4 )
4 - 5 La pente de la droite ( AB ) est donc - 5
4.
On considère un point M ( x ; y ) de coordonnées inconnues qui appartient à la droite ( AB ).
A x - 1 3
y - 3 = - 5
4 ( x - 1 ) 1 M ( x ; y )
x 5
- 2 B Pour aller de A à M,
- le déplacement horizontal est x - 1 - le déplacement vertical est y - 3 - la pente est - 5
4 ( - 5
4 )
4 - 5 donc y - 3 = - 5
4 ( x - 1 ) donc y = 3 - 5
4 ( x - 1 ) donc y = - 5
4 x + 17 4
L’équation de ( AB ) est y = - 5
4 x + 17 4 . Remarque : ici aussi on lit sur le graphique que y = 3 - 5
4 ( x - 1 )
