Dépôt Institutionnel de l Université libre de Bruxelles / Université libre de Bruxelles Institutional Repository Thèse de doctorat/ PhD Thesis

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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Lemaire, L. (1975). Applications harmoniques de surfaces (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES

Faculté des Sciences

Applications harmoniques de surfaces

Thèse présentée en vue de l’obtention du grade de Docteur en Sciences

(Grade légal)

1975

Luc LEMAIRE

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BiBUOTHECUE DE MATHEMATIQUES ET DE PHYSIQUE

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES

Faculté des Sciences

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Applications harmoniques de surfaces

Thèse présentée en vue de l’obtention du grade de Docteur en Sciences

(Grade légal)

1975

Luc LEMAIRE

L’influence de Monsieur James Eells a été prépondérante dans l'élaboration de ce travail, et c’est avec grand plaisir que je le remercie pour son accueil chaleureux et pour les nombreuses conversa­

tions mathématiques que nous avons euesc

Je tiens également à remercier Monsieur Michel Cahen pour l’intérêt qu’il a porté â cette recherche»

Durant toute la préparation de cette thèse, j’ai bénéficié de l’appui financier du FoN»R»S» et, à différents moments, du British Council et de la Royal Society]

417374

TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION i

CHAPITRE 1 ; APPLICATIONS HARMONIQUES.

§ a : Définitions et notations » o , ^ « o

§ b : Régularité et quasi-analytieitéo = • « , » o S O • X^ox oom^osxtxon «oedocaocoooo

1 4 4

CHAPITRE 2 ; APPLICATIONS HARMONIQUES ET CONFORMES DE SURFACES»

§ a : Applications conformes .e»ooo«»ooo 6

§ b î Composxtions aooooo»*o»o»ooooo

§ c : Structure complexe sur une surface

r xeiüannxenne ooooaaoaoooooooo 11

§ d ; Espace des structures complexes sur une

surface» ooocoooooc’ooeoooeo

S e î Applications harmoniques de la sphère et

du tore» oeooocaoooooooooeo

13

15

CHAPITRE 3 ; APPLICATIONS HARMONIQUES DE VARIETES A BORD,

§ a ; Problème de Dirichlet» ». » » » » » » » » » 20

§ b : Problème de Neumann» o»»»»»»»»»»»

27

§ c : Surfaces non simplement conneixes »»»»»» 28

§ d ; Dépendance en les données de Diricnlet » » » 2S

§ e ; Problème, de Neumann et fonctions convexes» » 30

CHAPITRE 4 ; APPLICATIONS HARMONIQUES DE ÜURFACi3 SANS BORD.

g a ; Espaces 2,

O O O O O O O O O , 33

§ b : Espace » 0«»00000000900 3S Etude du problème d^existence en fonction des genres P et p’o

S c : P ^ 1, p' “ 1 g d : P " 0

ooooooooooao O 42

ooc-oooeeoeoooeoooooo 44 ge;p^l5,p*§0î non-existence o o » <> o o c . Sf;p^lïp'*0: applications holomorphes, „ 4S

§ g ; P ^ 2, P® s 0 : surfaces symétriques » » o <> o 49

§ h : Différentiabilité ocooooooooo.>co57

§ i : Constructions explicites» » » » « » <> » ,> » » 87 S j s Applications pouvant être rendues harmoniques 70

CHAPITRE 8 ; APPLICATIONS HARMONIQUES DE CERTAINES VARIETES PRODUITS,

g a • Exxstence ooooeoo«oooo,ooooo72

§ b s Applications harmoniques, , ,,,,,, ..o, 75 8 c 5 Equation de la chaleiir, ,,,,,,,, o,, 77

§ d ; Applications harmoniques de densité d'énergie constante oocooocoo,oooo,o,oS4

BIBLIOGRAPHIE^oooeoooc O O e ooeooooooo 85

IHTI.ODüCTIONo

Soient Mgg et M*,g* des variétés riemanniennes orientalb3.es et oompaotes o On définit la fonction énergie E sur

par

ECf) ^ij^jdfl^ Vgo

Une application f é G*CM,M*) est dite harmonique si et saulem€:nt si elle est point critique de E „ Elle vérifie alors les

équations d * Euler--Lagrange tCf) s Oo

Une question classique du calcul global des variations €St la suivante : toute classe d’homotopie d’applications de M dans M’ contient-elle un représentant harmonique ? C'-eet cette

question que nous allons étudier dans ce travailo

Pour les variétés sans bord, elle s’est posée naturel- leœent quand J» Eells et Sampson ont montré qu’il en est

^ainsi lorsque la courbure sestionnelle de M’ est négative o?î

nulle [123,

Ce résultat a été étendu au cas des variétés à bord par Ro Hamil.ton fî?j . En faisant la meme hypothèse sur la c.ourbus‘0 de M*, et en supposant le bord de M’ convexe ou vide, il a établi l’existence, d’un représentant harmonique dans toute classe d’hoffiotopi® relative â un problème de Dirichlet ou à uî» problème de Neumanno

Le principe de la démonstration de ces résultats est le

■suivant s partant d’une application dans la classe d’horaoto- pie donnée, on considère la solution de l'équation de la chaleur fCf) s -Il ©îi f ; M X [0,w>——-^M’ et ®

En utilisant l’hypothèse sur la courbure de M*, on montre que la solution existe poux= tout t fini et converge pour t

'tfers une appl.i SAt ion hsaninoniqueQ

Divers autres travaux ont été consacras à ce problème o Dans le sas où la courbure de M’ est négative ou nulle, d’autres démonstrations de l’existence ont été proposées ^14] , £39^ et

[îS] et des pipopriétés des solutions ont été établies s

théorème ”d*unieité” £l3j et de stabilité des solutions pour yne déformation des métriques sur H et M’ [33] «

Lorsque l’on ne fait pas d’hypothèse sur la courbuT*?, les résultats obtenus sont beaucoup plus fragmentaires c Par

exemple, Ro Te Smith a montré que toute classe d’homotopie d’ap”

plications de la sphère s” dans elle^mêine contient un représen­

tant harmonique si n ^ 7 [36] * Ce Mitteau a montré l’existen­

ce d’un réel e 0 tel que si jdf^f e, la solution de l’équa­

tion d® la chaleur vérifiant ® existe et converge vers une application harmonique [28] .

D’autres aspects de l'étude des applications harmorsiques ont été envisagés s étude de la variation seconde de l'énergie [2Sj , [si] , des .applications harmoniques de variétés kahlériari'- nés [243 8 des singularités des applications harmonique;s en

dimension 2 [40] <,

Dans ce travail* nous étudions le pr*oblème d’existence, essentiellement dans le cas des surfaces » Les résultats

principaux que nous obtenons sont les suivants «

Pour les variétés à bord Cproblèrae de Dirichletî', nous donnons une x^éponse négative è la question générale d’existence*

«n exhibardt une classe d’homotopie relative ne contenant pas de représentant harmonique (chapitre 3)o

Pour les variétés sans bord, nous étudions le cas des

ili„

surfaces, et nous obtenons divers thêorèEies d®e>.istenue., notamment des résultats complets lorsque le genre de M* est positif ou lorsque celui de M est nul {chapitre 4)»

Certains de ces résultats ont été annoncés dans [2l]3, [22] et [23] O

Signalons que pendant la rédaction de cette thèse»

Jo Eells et Je Wood ont démontré qu'il n®y a pas d'application harmonique de degré 1 d'une surface d© genre 1 dans une

surface de genre 0» ce qui donne une réponse négative à la question générale d'existence dans le cas des variétés sans bord O

Les méthodes que nous utilisons sont basées sur deux types de propriétés liées à la dimension 2 ; les liens entre applications! harmoniques et conformes (chapitre 2) et les pro- priétés des applications de classe c Ces applications ne sont pas continues Cle théorème de plongement de Sobolev ne.

s'appliquant I qu'en dimension 1) mais elles vérifient des conditions proches de la continuité, suffisantes pour établir la régularité des minima de l'énergie»

Nous détaillons maintenant le contenu de ce travail»

L® chapitre 1 est consacré au rappel de la définition et de quelques propriétés des applications harmoniques»

Dans 1© chapitre 2, nous étudions les rapports entre

applications harmoniques et applications conformes en dimension- 2 O En utilisant des applications conformes ”au sens faible”, nous précisons les résultats de [J2] , affirmant notaiament que toute application conforme entre surfaces est harmonique C§ a#

et que les applications harmoniques d'une surface M dans M'

1

iv<, sont préservées par les difféumorphis.’aes conforr es de H CS o Mous vérifions par un contrexemple qu'il n'en est pas de meme pour les difféomorphismes conformes de «

Au S c, nous introduisons une structure complexe sur la surface M» afin de pouvoir utiliser la théorie des fonctions holomorphesj et au § d nous rappelons certains résultats concerraant l'espace des structures complexes sur une surface»

Ceci nous permet, au § e, de généraliser une proposition de [6]

en montrant que toute application harmonique d'une surface de genre 0 dans une variété est conforme » Dans le cas d'une surface de genre 1, la même méthode montre que toute applica­

tion harmonique vérifie un système d'équations ressemblant â la condition de conformité»

Dans le chap»itre 3, nous considérons le cas des variétés à bord c Pour le problème de Dirichlet, nous donnons lane réponse négative à la question de l'existence en exhibant une classe

d'homotopie i”*elative ne contenant pas de représentant haxmioniqae»

Plus précisément, nous montrons que si M est une surface

contractile i\ bord, toute application harmonique constante sur 3M est constante sur M (§ a)»

Au § b, nous établissons un analogue à ce dernier résultat pour le problème de Neumann»

Nous vérifions au § c que ces résultats ns s'étendent pas au cas où M est non simplement connexe»

Au § d, nous montrons par un exemple qu’une application harmonique de variétés à bord ne dépend pas nécessairement continûment de ses données de Dirichlet.

A propos du 8 b, nous montrons que si l'Image d'une solution d'un problème de Neumann est contenue dans un domaine

supportant 'un® fonction convexe, cette solutioîi doit être constante Cl eK

Le chapitra 4 est consaoré à l’étude des applications harmoniques entre surfaces sans bord » Après avoir rappelé la définition des espaces de Sobolev (§ a), nous citons au § b les propriétés de qui permettent l’usage des méthodes directes du calcul des vardations pour l’étude des minima de l’énergie en dimension 2 » Les théorèmes d’existence que nous pouvons obtenir varient avec les genres p et p’ des surfaces M et M’^

Pour p’ - î, nous montrons que toute classe d’homatopie d’applications de K dans M® contient un représentant hair>morf.ique réalisant le minimum de l’énergie C§ e) = Il en est de même pour P s 0» et dans ce cas nous obtenons au § d une classifica­

tion complète des applications harmoniques (obtenue indépendaiD”

ment dans [4î])«

Lorsque letp’ § Û, la situation «et différente « Pour P s Is le résultat de J« Eells et Jo Wood affirme qu’il n’y a pas d’application harmonique de degré 1 c D’auti's part, pour P ^ Ij, le minimum de l’énergie dans une classe d’homotopie ne peut être réalisé que par une application holomorphe CS e)o Dans certaines classes, de telles applications existent Ci f), mais dans d’autres, et notainment dans la classe des applicaticîjs de degré 1, l’énergie n’atteint pas son infismm o Dans le i g, nous supposons que M et M’ possèdent certaines propriétés de

symétrie d Cela nous permet de démontrer l’existence d’appli- cationi' harmoniques dans certaines eltsses d’homotopie, mime si l’énergie n’y atteint pas son infimuiEo

I-es applications harmoniques des S c et g sont obtenues

•j-oante liüBite® de suites airiiraisantes |>©ur <, W

î^gulayité de eee limites est démontrée dans le § h en suivant un® méthode de Co M©rr*ey £29je

Indépendamment des théorèmes d®existence, nous présentons au S i 5me construction "explicite” d'applications harmoniques entre surfaces de révolution»

Un exemple de R» T» Smith £3S] montre que le problème de l'existence des applications harmoniques peut dépendre des métriques sur K et M* » Nous posons la question suivant® : étant données deux variétés M et M® et une classe d'horaotopie d'applications de M dans M*, existe-t-il sur M et M" des

métriques par rapport auxquelles il existe un® application harmonique dans cette classe î La réponse â cette question est en général négative » Pour les surfaces sans bord» nous

donnons une réponse complète, négative pour la classe des ap- î?>lications de degré 1 du tore dans la sphère et affirmative dans tous les autres cas»

Dans le chapitre 5, à propos de "variétés de révolution”

d® dimension ^ 3,, nous étudions la possibilité d'établir des théorêiaes d'existence pour des applications harmoniques entre

certaines variétés produits » Nous supposons ees applications données sur un des facteurs, c® qui permet un.e réduction du problème » Mous établissons ainsi urs théorème d'existence p4>ur des applications harmoniques et nous montrons que les salutioiui de l'équation de la chaleur existent pour tout t » Le premier de ces résultats contraste avec un théorème de non-existence de R» To Smith concernant les ellipsoïdes de révolution (^3S]| »

Ces constructions font intervenir des applications

harmoniques de densité d'énergie constante, et nous en donrons quelques exemples au § d«

CHAPITRE 1,

APPLICATIONS HARMONIQUES.

f a : DEFINITIONS ET NOTATIONS^

Dans tout ce travail, M,g et M',g’ désignent des variétés riemanniennes connexes, orientables, de classe C , de dimensions n et n’, éventuellement à bord <, Les bords sont notés âM et SM’o

■î n.

Nous supposons toujours ces variétés compactes . {x } et |u | désignent des systèmes de coordonnées locales auteur des points m et m® de M et M' « Si n ® n® s 2, nous notons ces systèmes

Cx,y) et {u,v} O r et r® désignent les coefficients des con­

nexions riemanniennes sur M et M*o

Soit f ; M ——» M* une application c"* . Nous notons comme suit les dérivées eovariantes de f :

S

3x^3x^

O

Nous définissons les applications harimaniques en suivant [12| .

Définition Id : La densité d'énergie de f en un point m de M est définie par

@(fHm) “ J |dfCm) P ^ j g^^Cm) fjCm) 1*

2c Définition le2 : L’énergie de f set l’intégrale, étendue à M, de sa densité d’énergie :

E(f) e(f) V M S

(v désigne l'élément de volume associé à g).

8

Par définition, la fonction énergie E : est positive ou nulle.

R

Définition lc3 : Une application f € est harmonique ssi elle est point critique de l'énergie*

marque : Si est non vide, nous considérons par exemple uin problème de Dirichlet, c'est-à-dire que nous donnons l’applica tion f sur 3M . Les variations admissibles dans la définition des points critiques sont alors celles préservant ces données au bord.

Proposition 1.4 £l2;il,2”| : Une application f est harmonique ssi elle vérifie les équations d'Euler - Lagrange

T(f) s 0

qui s'écrivent en coordonnées locales

T(f)“ ® ^ f| fj) “ 0.

Définition 1.5 : tCf) est appelée la tension de f.

Définition 1.8 : Le laplacien d'une fonction b est défini par Ah “ g ' ^ h^ j .

Nous avons donc :

f(f>“ “ âf® + f| fY.

D'autre part, nous notons f?. • les composantes de la deoixième

» J-J

forme fondamentale de f, définie pax

* «’ij * 'i

3o La tansion de f est donc la trace de sa deuxième ,fo-:riae fonda”

mentale »

L’opépateur f est un opérateiir elliptique quasi-linéaire du 2® ordre»

Si la dimension de M vaut 1, une apx>lication harmonique est une géodésique » Si M’ est égal â E * nous avons la

définition habituelle d’une fonction harmonique»

Ces différentes définitions admettent une interprétation globale en termes de fibx'és C [12] [l3l et [l?] ) . Notons TM et TM* le» fibrés tangents à M et M’, et f^TM* le fibré image 2»écipîx>que de TM’ par f, c'est-à-dire le fibré sur M dont la fibre en m est métrique g* sur H* induit sur f'^H'

?jine structure riemannienne » La connexion associée à sette structure est représentée en coordonnées locales par

% == ÿ-

La différentielle de f en ai est une application linéaire de T^M dans apparaît donc comme une section dans le fibré des applications linéaires de TM dans f^M* j que nous notons LC TM » f^TM*) » Ce fibré peut étire mujii d'une coTmexicîi égale à la connexion sur f^M* moins la connexion sur TM » En coordonnées locales, la dérivée covariante d'une section

df ë

M-

écrit donc :

“ ;rîr3 " 'u ^ Sx Sx-* •* Sx 73 73Sx Sx^

l*a proposition sv^ivante découle immédiatement de cette formulé».

Pt-oposition 1,1 i La tension de f est égale à la trace de la dérivée eovariante de df ;

tCf) s tr V dfo

ji b ; RESULARTTE ET QUASI - ANALYTICITE o

Proposition 1.8 ; Toute application i : M -—P M* de classe C telle que t<f) ° 0 est de classe C » Si .M et M* sont analytiques, alors toute application harmonique est analytique=

Mênie dans le cas où M et M® ne sont pas analytiques, les applications harmoniques possèdent des propriétés de '*quasi ” analyticité” » En se basant sur un théorème de Nr Aronszajn [2j ,

«ît. Sampson a établi la proposition suivante ;

Proposition 1»9 : Soient f et h des applications harmoniques.

Si en un point intérieur de M,f et h coîlncident ainsi que toutes leurs dérivées, f et h coïncident sur tout

J c : LOI DE COMPOSITION,

Nous exposons les résultats de concernant la composition des applications harmoniques , Soient M,M' et M*®

trois variétés.

Proposition 1,10 :

<haf)f.. ^ f?

»

et 'f(h®f)^ s

Soient f : M J.

ij ^ ^îoB T(f>“ h^ + g

_—et h j,-t»

H ^3 h® f®

---O Aiort

Corollaire 1,11 ; Si f est harmonique et h totalement géodésique Cc'est-à-dire que h vérifie hf^g ® 0>, alors h®f est harmonique.

Par oontre ^ nous ne pouvons pas affirmer composé'!

de deux applications hanaioniques est harmonique » Un contreKem];*i'f est donné dans ^1?] et nous en présenterons un autre au chapitre

2, 5b, dans le cas où M, M’ et M" sont des surfacest

CHAPITKE 2

APPLICATIONS HARMONIQUES ET CONFORMES DE SURFACESc

Dans ce chapitre, nous étudions les rapports entre

applications harmoniques et applications conformes en dimension 2 ^

S a ; APPLICATIO^a^S CONFORMES c

Notons h l'application induite par l'application h sur les champs de tenseurs covariantSo

Définition 2ol ; Nous dirons qu'une application h : M ——M*

est conforme s'il existe sur M une fonction y de classe C , positive ou nulle tells que

g’ “ V g-

Dans des systèmes de coordonnées locales, cette condition s'écrit

‘’f sia'*'-’ = î' «ij-

P.em&rque ; Cette définition n'est pas tout-à'-fait usuelle.

En effet, nous admettons ici la possibilité que y s'annulée

Une application conforme en ce sens n'est donc pas nécessairesiient un difféomorphisme.

En utilisant cette définition, nous allons préciser les

6o

propositions da paragraphe 4CB) de » Rappelons que n et n*

désignent les dimensions de M et M'»

Proposition 2»2 :Sinsn' s 2, toute application conforme h : M---JS’M’ est harmonique o

7c

DémonstrationO

Dans uji ouvert où u ^ 0, l’équation t(h) s o se déduit d’un calcul en coordonnées locales [12^ « On ne peut donc avoir îCh) ^ 0 et ij(h)

i

Supposons maintenant que t n’est pas identiquement nulle sur M O II existe donc un point P tel que ^'(h)(P) ^ 0 <. t étant continue, la condition t(h) ^ 0 est vérifiée dans un voisinage V de P,

Dans V, JJ ne peut être identiquement nulle, sinon h serait constante et t nulle . Donc y est non nulle dans un voisinage U d’un point de V <, Dans UHV, nous avons donc y ^ 0 et t Oj ce qui est impossible.

Définition 2.3 : Le volume d'une application h : M---est défini par

V(h)

M

det h g

"dit g

* *l2 g

Proposition 2.4 ; Soit n s 2 . Pour tout h 6 C**CM,M’), VCh) ^ E(hî,

Il y a égalité ssi h est conforme.

Démonstration [l2j.

L'inégalité découle des inégalités de Newton [12 ;§I ,l(B)]j <•

Supposons h conf<?rme . Alors, comme n « 2,

î i

VCh) s

1

Jk ’-J

Réciproqueineiït J si V(h) s E(h), nous avons en tout point ce M 1 1

2[dét ^ [dét (1)

Dans un© carte locale* considérons des coordonnées isothermes, c'est-à-dire supposons que “ 0 js] » En

développant Cl> dans ces coordonnées et en l'élevant au carré*

il vient

Donc ^ 0 ° En posant

P " avons donc g' s y g„

Remarquons que par définition, p pourrait atteindre: la valeur 2;éro, l'égalité ECh) § ¥Ch) n'implique dons pas que h est un diffiomorphis-ffieo

g b î COMPOSITIONS.

Une des motivations de l'étude des applications he;pmoni.que:s en dimension 2 est la proposition suivante, que nous emploieron-H de ma.nière essentielle à diverses l’éprises t

Proposition 2«5 £12^ ; Soient n § 2 et h s ->5» M un

difféomorphisme conforme o Pour tout f ® C 09 noue avons

ECfe»h) s E(f)„ C2)

lie plus, f®h est harmonique ssi f est harmoniqueo

Sc PéiLonstyationo

L'égalité (2) s'obtient par un calcul direct en coordon­

nées locales . La deuxième partie de la proposition en découleo On peut aussi utiliser la loi de composition (proposition le 105 :

if(foh)® s hK

Comme h est conforma, donc harmonique i

«fCh) s 0 et

^Jkl ^ ^ g^^(h) n P ï(f}«

Comme p>0, T(foh) ® 0 ssi tCf) s Oo

Nous pouvons formuler cette proposition de la manière suivante : si M est une surface, l'énergie et les applications harmoniques sont invariantes par tout difféomorphisme conforme de Mo

Lorsque M et M* sont des surfaces, on pourrait se cemander si un difféomorphisme conforme de M’ préserverait également les applications harmoniques de M dans M' o Nous vérifions qu'il n'en est rien par le contrexemple suivant s

Exemple 2o6 : Soit M ? (r / aZ)x(R / 2ir'/?)<a > 0) un tore plat et M® une sphère » Nous allons construire une application

haimonique f : M---M® et un difféomorphisme conforme

h ; M® —---> M® tels que hof ne soit paf? harmonique o L'appli­

cation f a été obtenue dans fSSj o

Considérons sur le tore des coordonnées euclidiennes (x,y),x s (p,a), y <g [0,2'#) et sur la nphère des coordonnéen polaires Cr,0), r ë ® ® [0,2») o Nous cherchons une application harmonique de M dans M* de la forme

fCx,y5 s (F(x),y)o

30 ün calcul direct montre que y Cf) ^ o ssi F vérifie l'équation

2

s sin F.cos Fe dx^

Posons H s 2F « Cette équation devient

H » n

—K- ” sin H s 0

dx^

C’est l’équation d'un pendule simple, la variable H mesurant l'angle du pendule avec la verticale, compté à partir du haut»

Lorsqiie a > 2îî, on peut choisir l’énergie du pendule de telle sorte qu’il ait un mouvement oscillant de période a=

L’application harmonique induite envoie alors le toî'e sur une bande symétrique par rapport à l’équateur de la sphère, qui représente le point le plus bas du mouvement du pendule ^

Nous considérons alors sur la sphère l’application h : Cr,9)---ÿ(2 arc tg(cotgj) ,0) c > Oq

Cette application est conforme et harmonique , si nous considérons S comme la sphère de Riemann munie de coordonnées2 complexes {a}, elle s’écrit simplement : z ---5» CoZo

Pour c ^ 1, la fonction h«f envoie le tore sur une bande de S non symétrique par rapport à l’équateur « Comme la

trajectoire d'un pendule est symétrique par rapport à la verticale, hof ne peut être harmonique.

Remarquons que nous avons vérifié également que la composée de deux applications hamioniques n’est pas toujours harmonique.

Hc

s

Dans (pe paragï*aphe, M,g et M‘,g* désignent des suz»faces riemanniennes compactes, orientables et sans bord « Nous allo-m introduire sur ces surfaces une structure complexe, pour

pouvoir utiliser la théorie des fonctions holomorpheso

Proposition ; Ji existe sur M une structure complexe J pour laquelle g est une métrique hermitienne»

Démons t rat ion Ccf» par exemple [3j , p»299)»

Le choix d®mie orientation sur M définit dans chaque plan tangent un sens positif » En un point m, l^opératewir de

multiplication par i t m ut ->V

est, par définition, la rotation d’un quaï*t de tour d.ms le sens positif, par rapport à la méti'ique g » Il vérifie donc

2 s îd» Le champ de tenseurs J déf init donc une structure presque complexe sur K»

Soient X et Y des champs de vecteurs tangents à M » La torsion de J i

NCX,Y) g 2C[JX,JYj - [X,Y] ~ JpCjJY] » J[JX,ŸJ)

est nulle, puisque N est bilinéaire et s’annule sur le couple Xj«ÎX O J définit donc une structure complexe » Comme

gCJXsJY) s gCXpY), g est une métrique hermitienne, ce qui établit la proposition»

Toute autre métrique hermitienne g sur (M,J5 est alors?

conformément équivalente à g, c’est-à-dire que g § yg, y > 0»

Pour tout mi M, on peut construire dans un voisinage

12-

U de ffi un systènie de coordonnées ir.othermeE p c’est-d-di.re vérifiant ds^ s pfdx^ + dy^), où p s C*’CU> |^I0 « Dans un tel système» et pour tout f € C*(U,€) nous adoptons les notations

compleaces z s ^ iy* ” T ” ^^y^ ^

La fonction f est holoroorphe si f- 0 et anti-holomorpîie si f_ ë 0 O Four la structure complexe définie en 2o?» les appli-

£

cations conformss définies en 2»1 s'interprètent simplement»

lorsque M et M' sont des surfaces s

Proposition 2»8 : Soit n § n* s 2 <, Tomate apfPÎication confornsR non constante f : M ——> M' est soit holomorphe, soit

anti-holomorphe o

Déiiîion strat ion o

Soit f conforme et non coï»stante » En tout point où df ^ Oj un théorème tout-à-fait classique de la théorie dee fonctions complexes affirme que f est holomorphe ou anti- holoffiorphe

o

s o,

f s f- g 0 . Pour établir la proposition» il reste à montrer- que f ne peut pas être holomorphe sur un ensemble non vide de M et anti-holomorphe sur son complément» également supposé non vide . S'il en était ainsi» ces deux ensembles seraient sépa.rés par des points en lesquels f vérifierait simultanément les

équations f^ s

o,

lo9, la fonction f (conforme donc harmonique) serait constante sur M, ce qui contredit l'hypothèse.

s d ; ESPACE DES STRUCTURES COMPLEXES SUR UNE SURFACE.

Nous doruions, sans auçun détail, quelques résultats eonoernant la structure de l^espaee des structures complexes sur une surface compacte <> Des traitements ae sujet peu'^fent par exemple être trou¥és dan® » W] ■=

Soit M uîae surface compacte orientable sans bord . Son type topologique est représenté par son genre ; p , Soit HHCp) l^ensemble des structures complexes que l’on peut placer sur H 9 Une telle structure est par exemple donnée par le champ de tenseurs J »

Pour classifier ces structures, nous devons tenir compte du fait que deux champs de tenseurs J et J® peuvent engendrer des structures complexes équivalentes o En prenant le quotient d® TRCp) par gi'’©upe (DCp) des difféoaorphismes de M conservant l’orientation, on définit l’espace des modules OiCpli ^ l7Kp)/^Cp^ 9 qui classifie les classes d’équivalence de structures complexesd

Un espace plus simple, l’espace de Teichmulier est obtenu comme quotient de 1îi<p> par (D^Cp), la coœpos.ante connexe par arc de l’identité dans CKp> <. (p]> se présente alors comme quotient de 1?{pî par le groupe discret 05<p)/<DgCp) o La structure de

est compliquée par le fait que Cp)/0iQCpJ' n’agit pas libre®ent sur 'Î^Cpîo

Les résultats qui nous intéressent ici sont les suivants î

Définition 2o9 ? Une ferme quadratique auî’ une surface de.

Fdeæiann M,J est holomorphe si elle s’écrit localement sous la forme hdæ , ©ü h est une fonction holomorphec

Vi.

Théorème 2«10 : L’espace 'î»(p) admet vkne structure de variétés.

L’espace tangent à "^Cp) en un point K'eprésenté par une surface M,J est isomox'phe à l’espace des formes quadratiques sur M

holomorphes par rapport à la structure complexe J . Par le théorème de Rleniarm - Roch» la dimension réelle de cet espace est 0 si P s 0, 2 si p s 1 et 6p - 6 si P ^ 2.

En termes de structures riemanniemies, nous pouvons préciser ces résultats comme suit :

Proposition 2.11 : Toute surface de genre 0 est conformément équivalente â la sphère S munie de sa métrique canonique»

Il n’y a pas de forme quadratique holomorphe non nulle sur uae telle surface»

Proposition 2»12 : Toute surface de genre 1 est conformément équivalente à un tors plat T « La classe conforme de T dépend2 2 de deux paramètres réels » Toute forme quadratique holomorphe sur T est constante»2

Cette dernière remarque se démontre aisément » En effet, un tore plat est le quotient de fl par un réseau » Dans cette représentation, une forme quadratique est induite par une forme hdz sur R , où h est holomorphe et bipériodique <, Par le

théorème de Liouville, h doit être constante <>

Proposition 2»13 ; Toute surface de genre » 2 est conformément équivalente à une surface de courbure constamts et égale à -4»

Rappelons que ces propriétés ont des analopjues dans

l’étude des domaines bornés du plan . Par exemple, tout domaine borné et simplement connexe est conformémant équivalent I un disque, et tout domaine borné doublement connexe, à une

15o co'aronnf î «

Dans le cas du disque ou de la r.phêï*e, nous avons donc unicité de la struetui?® conforiEe o C«s fait, joint à 1 * invariance des applications harmoniques par une transformation conforme 3 sera à la base de tous les théorèmes de ”non - existence’' que nous démontrerons.

§ e ; APPLICATIONS tlARMOHIQUES DE LA SPHERE ET DU TOREc

La proposition 2,2 affirme que toute appl5,cation conforre entre surfaces est hamonique , La réciproque n'est en général pas vraie, et nous allons voir que cette question est liée à

la dimension de l'espace de Teichmüller des surfaces consîidéréej; >

Le théorème suivant généralise un résultât de S, S, Chern et Se Goldberg [sJ ,

Théorème 2,14 ; Soit M une surface de genre O et M” une

variété quelconque » Toute application harmonique f ; M——

est conformée

Démonstration,

Considérons localement sur M et M' dee champs de vecteurs et tels que

dsf^ ^ et ds^, ® I

où /(X.) ^ ^ ^

Rappelons la définition des formes de connexion :

16

3, «3. k s

0*. s F . U , ou J •■‘-J

On a alors W. s ”W.' 0^{1 1}

•r

Le prennisr groupe dee équations de structure de Cartan dftj- Ui *'S wV O^{3. T}

Définissons les fonctions a® par les relations

,1® =,® , ^ X ùü) S.^ ^

et la différentielle covariante de a® par rfO jC ai. B tü

Va> “ da« •“ a* + a» i*i*a

X X J X X P

«.a 1

Sa., (ü-'o

* J

Avec ces notations» la condition t(f) * 0 s'écrit 0

,

T

ï. IX

Posons

(4) s'écrit

(5)

C6)

n)

A » F r i A J 2..2

a

Sous l'action d'iine rotation d'angle 9, le preiaier facteur est

w» 01 a ^

multiplié par e et le deuxième par e , La forme est donc invariante pour un changement de carte holomorphe » et est globalement définie.

Zn coordonnées isothermes, nous avons

ùî^ + iuj^ s X dz et (8)

* " ^ (a® - ia®)^ dz^

£ h dz^.

En dérivant la relation (8) et en utilisant les équations (4) et (5), nous obtenons

dX A dz s A dz

En utilisant les équations <6), (7) et (4) et l'antisymétrie de , nous obtenons

d(a® - iap A dz * ~(i(a® - ia®)wj + Ca^ - ia|)w'®) A dx

et

17 =

dC|(a5 - ia“)^ï a dz » ~2i f(a® - ia®)^ w^Adz . CIO)

Qi GL

(9) et CIO) impliquent que dh A dz s 0.

Comme dh s dz + h- dz, cette relation implique que h- s o»

f est donc une forme quadratique holomorphe»

Par la proposition 2«.11, nous avons f s 0, puisque M est de genre 0 . Donc

I (a® - ia®)2 g 0 a

c’e8t”à“dire ^Ca®)^ s ^(a®)^ et ^ a® a® 0»

a a a,

î est donc xme application conforme.

Le corollaire suivant a été obtenu directement et indé­

pendamment par J. Wood []4Ô] et jj4fj :

Corollaire 2.IS : Soient M et M' des surfaces de Riemarm, M de genre 0 . Toute application harmonique de M dans M’ est soi^

holomorphe, soit anti - holomorphe.

Ce corollaire découle immédiatement du théorème 2.14 et de la proposition 2.8.

Lorsque M est un tore, nous avons vu que toute forme quadratique holomorphe sur M est constante (proposition 2.12).

La démonstration du théorème 2.14, appliquée à ce cas, conduit au résultat suivant.

Proposition 2.16 : Soit M un tore plat I deux dimensions muni de coordonnées euclidiennes, soit M' une variété . Toute ap­

plication harmonique de M dans M' vérifie les équations :

e f®f&gg8 f®f®+b

1 1 2 2

OÙ bj c € Bo

Cil)

Remarque : Nous avons vu que la réciproque du corollaire 2 «15 est vraie » Il n^en est évidemment pas de même du théorème 2ol4

2 S

par exemple, le plongement usuel de S dans B est conforme et non har’monique « Pour la proposition 2 = 16, nous avons une réciproque partielle :

Proposition 2 <■ 17 î Soient M et M' des surfaces , Supposons N plate et munie de coordonnées euclidiennes o Une application vérifiant Clî) dont l'image n'est pas contenue dans une courbe est harmonique.

Démonstration.

Soit f vérificUït Cil) . En dérivant ces équations, on voit

aisément que le produit du jacobien de f par sa tension est mil.

Ri fCM) n'est pas contenu dans une courbe, son rang maximum est deux dans un ouvert, ce qui implique qu'il est deux dans tout ouvert fSSj et |4ü;S3,^ . Le jacobien ne peut donc être nul dans un ouvert . tCf) étant continue doit donc être nulle.

Remarque ; Considérons à nouveau les applications harmoniques du tore dans la sphère considérées dans l'exemple 2.6 . La proposition 2.16 nous indique que pour une telle application, l’application F définie par (3) vérifie

[f j’ . sin*F ♦ b e § 0

Somme on suppose que s'annule, b est négatif . L’applieatioït F s'exprime sous la forme

L’apparition (avec des notations inhabituelles) d’une intégrale elliptique n’est pas surprenante puisque la variable 2F repré­

sente la position d’un pendule»

CHAPITRE 3O

APPLICATIONS HARMONIQUES DE VARIETES A BORD,

Dans tout ce chapitres M et M* sont des variétés riemaîri niennes compactes et le bord de M est non vide=

§ a : PROBLEME DE DIRICHLETo

Nous donnons une réponse négative à la question de l'existence, dans le cas du problème de Dirichlet»

Si deux applications et vérifient “ ^l|3M "

nous disons que f et sont dans la même classe d'nomctopie O 1

SD

relative s'il existe une déformation C f. de en f^ telle toi

que V t, f^|3^ ^ h.

Théorème 3.1 : Il existe deux variétés, un problème de Diriohlet et une classe d'homotopie relative ne contenant pas de repré­

sentant harmonique O

Ce théorème découle du résultat suivant :

Théorème 3 » 2 t Soient M une surface compacte contractile à bord et Q un point de M' <> Si f : M j M’ est solution du problème de Dirichlet :

20.

2K

xCf) “ 0 sur M

f s Q sur âMc

Alors f est constante et de valeur Q«

L*exemple suivant montre que 3.2 implique 3.1 . Notons la sphère de dimension n . Soient M’ ^ x <n ^ 2),

Q g X s” ^ et la classe d'homotopie

relative des applications f : M ——telles que fOM) s q, contenant une application de la forme

f ; M ^ X

où est une bijection de l’intérieur de M sur

"3^ est non vide et ne contient pas de représentant harmonique.

Démonstration de 3.2.

Soit f une solution du problème de Dirichlet donné . Noue

allons montrer successivement que f est conformes qu’elle a un zéro d’ordre infini en tout point de SM et qu’elle est constan-^e.

1> f est conforme.

Nous utilisons une méthode de R. Courant ff] i

La surface M est conformément équivalente à un disque du plans et une transformation conforme préserve les applications harmoniques (Proposition 2.5) . Nous pouvons donc supp'iser que M est un disque de rayon 1 . Soient (x,y) des coordonnées euclidiennes sur ce disque.

Nous allons définir une variation de l’application f ne portant quejsur sa représentation paramétrique, et non sur la surface qu’elle représente . Pour cela, considérons une

variation du domaine M de la forme

^Ce) ï (x,y) ^(x',y’)

22c où X® s X eA<Xsy)

y* s y ~ ey(x*y)c

X et {i sont des fonctions à dérivées bornées, et e est Buffisani' ment petit pour que ^ soit une bijection c Nous notons

A_9 îi„ et P les dérivées de X et p»

.X y X J

La dérivée de calcule immédiatement :

On ©n déduit

'' 1 - £ X.

'-EU,

- S X.

y

1 ” £ U.

1 t eX -s- O(e^)

I SU^ * 0(£*)

Considérons la fonction variée h s f O P ■1

Ce)

Ci)

e X + OCe^ ) ^ y |.(.2) 1 4- epy 4 0Ce®)|

L®énergie de h vaut

E<h) « I j'g^g (Mx',y')Hh“,h®, < h“,h®,> dx' dy',

• ï j„ «is O* •

Toutes les expressions figurant dans cett® intégrale peuvent être calculées explicitement en utilisant (1) et C2), et l^énergi© de h peut s'écrire sous la forme

ECh) ^ ECf) + I V OCe®),

où (3) 23«

^ • 8^8 ^x 4 - *;e ^y

9 • sis ^x ^y •

Pour montrer que f est conforme, il suffit de montrer que

(P . q » 0.

Comme f est point critique de l'énergie pour un problème de Dirichlet, nous savons que V s 0 pour toute variation fixant le bord, mais cela ne suffit pas pour démontrer que (? et

sont nuis . Nous sommes donc amenés à considérer des variations P(gj ne fixant pas le bord, et c'est l'unicité de la structure complexe sur le disque qui va entraîner la relation V s o dans ce cas «

Soit n ^ 0 « Si e est suffisamment petit, P^gj sst vme bijection, le bord de est situé dans la couronne délimi­

tée par les cercles de rayon 1 - n et 1 ri et sa longueur est compris® entre 2ir<l - n) et 2x(l + n) » Notons z § x -f iy la variable complexe sur M <> Soit l'homéomorphisme conforme de M sur vérifiant « 0 et CO) » 0 » f, .

cei Kt) i€}z Kt)

existe par le théorème de représentation de Riemann ® Par un théorème de Bieberbach et Landau ([4] pol36), *(g) vérifie sur M l’inégalité

l^^gjCz) - z| < 4wi/5Tr O

Lorsque e tend vers 0, converge donc uniformément vers l'identité « Les étant holomorphes, cette convergence est

09 •» i

C c La famille d'applications ® donc une variation C**c

Cette variation fixe globalement le bord de M et préserve donc le problème de Dirichlet défini par fOMÎ « Q o ( Reraarquone:

que le bord n’est pas fixé point par point et qu’un problème

24 d« Dif*i'Shlet mm cortstant ne serait pa^ respecté) » La

vaipiation praroiès^ de E le long de est donc nulle en g s 0 O Comme l’énergie est préservés par la tr-ansfomatioa conforme ü découle que V § 0 pour la variation ^.

Par le leaame fondamental du calcul des vat-iations» pour

montrer que ^ & 0, il suffit de montrer que pour tout H é C^CM),, f(PoH àx dy æ Oe

H

Par la forme de ¥ donnée en

(3)

V

o,

X * H

X y

A s 0 CS>

^ y

admet une solution sur M«

Pour cela, considérons la forme F s Xd3c ■” ydyc

En vertu de CS)»

dF g "Â éxAÛy * P dx^dy ® 0»

y A

Par le lesæme de Poincaré» la forsne F est exacte» et F s dwo

Donc A " w , P - et par < 4)»

3C y

" «*x *■ “y, *

Cette dernière équation admet une solution» par sx©mple>. pour des données de Diriehlet nulles Cef. par exc |]8,pe36S]) o Le couple w et -”W fournit la solution cherchée au svstêm® C4)CS)<,

X y

On démontre de même que ^ s 0»

Remarque ; Pour démontrer que f est conforme* nous avons utilisé le fait que M est simplement connexe et la forme

particulière du problème de Diriehlet . Des exemples montrent que ces hypothèses ne peuvent être supprimées <> Pour la

px*@mèîi>éi * eel& découle de l'eaceapîe 3=4 et pour la sacondfï, de la considération d'une application affine d'un disque d*ai^s

«ne ellipse»

2> f admet en tout point du bord un ^éro d'ordre infini »

Nous entendons pax* là qu'en un point du bord, toutes les dérivées de f s'annulent . On peut par ailleurs choisir une carte locale sur M' telle que f soit également nulle en ce point O

Considérons sur le disque Cmoins son centre) des coordon' nées polaires (rj@)î r € <0,:Q , 8 6 . Soit P w point de SM » En ce point, les données de Dirichlet impliquent

CP) s 0

y t.

in Comme f est conforme,

(« Sfî , „t f f) »£Î ul 22 . C6) et O) impliquent que

||~CP) - 0»

Nous procédons dès lare par induction , Supposons que - t.

*b,

CP) “ 0 . y a ® ü, O O O

3r'2"®a«i*

Nous montrons que ¥ s ^ t*!.

CP) ® 0,

Pour cela, dérivons C7) 2t fois par rapport à © et plaçons nous au point P » Toutes les dérivées d'ordre inférieur s'annulent par 1'hypothèse d'induction, et

.t4l„a »tt-l_8 El

r

ae'^àr 3a'^3r

CP) s ggtVÎ

30

tvr

gtti^a

(P) “ Oc Donc

On dérive alors (7) successivement par iapport à

Sr2t

En utilisant chaque fois les hypothèses d'induction et les résultats de la dérivation précédente» il vient

(P) ^ 0

O • e

jttlja âr

(P) “ 0,

ce qui achève la démonstration du point 2)

3) f ©St constante,

Nous savons (proposition 1,9) qu'une application harmoni­

que ayaiît un zéro d'ordre infini en un point intérieur de son domaine de définition est constante , Comme les zéros d'ordre infini de f sont situés sur 3M, nous ne pouvons appliquer ce résultat tel quel.

Considérons un disque D ôb rayon R > 1 concentrique à K, Soit l'application de D dans M' définie par :

Q|M ^ f

’Q I D%MS Q.

Cette application est harmonique et C* puisque toutes les dérivées de f valent zéro en tout point de 3M « Comme elle a des zéros d'ordre infini en tout point tel que r é elle est constante « f est donc constante» ce qui démontre le

théorème 3,2,

§ b : PROBLEl-ÏE DE NEUMANN o

Théorème 3o3 ; Soit M une surface compacte, contractile à borde

@st constante®

Démonstration»

Comme pour le théorème 3»2, nous montrons qu^une solution de ce problème est conforme et qu*elle a un zéro d'ordre infini en un point»

Soit f une solution » Supposons que par une transformsition conforme, M est représentée par une demi-sphère, munie de co­

ordonnées polaires Cr,6), r € COt^ » ® ^ » Le bord èM est la courbe r “ ^ »

Soit N la sphère entière, et ^ l'application de N dans M*

définie par

Notons la dérivée normale de f ; M le long de 3M Toute application f solution du problèn^ de Neumann t

î<f> s 0 sur M sur 3M

^|H * *

'^'Cr,©! s fCtr-r,©) sur N\M»

Par le théorème 2»14, 3* est conforme

Le long de v “ conformité de ^ et la 3?e.lation s 0 impliquent que ® 0 ” "^|§M -donc constante, et f est solution du problème de Dirichlet du théorème 3o2 = La déiaoRStration s’achève donc comme celle de ce théorèmeo

§ c ; SURFACES WON SIMPLEMENT CONNEXESi.,

Les théorèmes 3®2 et 3»3 sont basés sur l'unicité de la structure compleste sur un disque ou une sphère . Nous vérifions par un exemple qu'ils ne s’étendent pas au cas des surfaces non simplement connexes <>

a J)

Exemple 3°4 : Soit M s |j-asâj x S un cylindre et M* s s une sphère, avec leur métrique standart ® Il existe des applications harmoniques solutions non constantes du prc-blème de Dirichlet

° ^ problème de Neumann I 3M ” Démonstration.

Considérons sur M des coordonnées euclidiennes x ê

St y € ps,2ir> et sur M' des coordonnées polaires <r,S> ® Nous avons vu daras l'exemple 2®6 qu’une application de la forme

fCx,y) § CFCx),y) est harmonique ssi la fonction H * 2F vérifie l’équation d’un pendule simple

^ - sin H “ 0®

dx^

Four toute valeur de a, une valeur de l’énergie du

pendule lui confère un mouvement révolutif de période a » Ceci

c^jpyespond à uirae solution non constante du problèrae de Dirichlet

^|SM ^ COj0Jo

P©uï‘ a > Y» valeuï« de l'énergie eonfèx*e au pendule im mouvement oscillant de période 4a, qui correspond à une soî^U”

tion du problème de Neumann « Donc un *’long" cylindre peut

"s'étendre” sur la sphère, symétriquement par rapport à l^équateur, sans que son bord ne soit "maintenu'’»

Si a é. «I 5 ZeB seules solutions du problème de Me«inann ds la tome prescrite envoient le cylindL^e sur l'équ&teu3? ou sur un pôle»

S d s DEPENDANCE EN LES DONNEES DE DIRICHLET»

Proposition âoS : Soient M un disque de rayon w et M' une sphère . Munissons M et M' de coordonnées polaires Cr,0) et CR,H)

O

i M—.—j,M' telle que fCiî,0) s (w~e,e) et dont l'image

couvre (CR,E) | R û w-e}»

Démonstration o

Il suffit de montrer qu'il existe une application conforme vérifiant ces conditions » Les métriques sur M et M' s'écrivant

"1 0' 1 Oj

et

0 r*, _*4 0 sin^R_”

Une applieatxon de la fornue (r,@) ssi elle vérifie

dR „ sin R

=^CR(r),6'> est donc conform.

En intégrant cette équation, il vient P ÊE .

Jr jR d’où

dR sïn R

R a 2 arc tg (arj, où a s 1 tg • iB}

L’application f ; (r,8) —-»(R(r),0), où R(r) est donné par

%■

(8), retEplit las conditions de l’énoncé.

Dans le cas où e vaut zéro, nous savons (théorème 3.2) qu’une application harmonique telle que fCiirjS) * (w,6) est constanta, et ne couvre pas M’.

Ceci montre qu’une modification continue des données de Dirichlet peut modifier complètement le problème d’existence, et qu'une application harmonique ne dépend pas nécessairement continûment de ses données de Dirichlet.

i e : PROBLEME DE NEUMANW ET FONCTIONS CONVEXES.

La proposition suivante est une extension aisée d'\m résultat de W. Gordon £îSj .

Définit ion 3.6 : Soit V un domaine ouvert d’une variété lî’.

est convexe ssi son hessien h^,, est Une fonction h : V

défini positif.

Propoaition 3e7 ; Soit f î M---^ H’ laii© solution du problème de Meumann

tCf) ^ 0 sur M

s 0 sur SKa

Supposons que fCM>C oû V supporte me fonction convexe h- Alors f est constante»

Rema2:^u® î Lee hypothèses de cette proposition et celles du théorème 3.3 sont de nature tout-à-fait différente.

Démonstration.

Posons F s hof . Par la proposition Idü,

t(n . î<f)“ h.^j, («

Comme h et F sont à image dans ° ® AF.

Comme de plus f est harmonique, C9) se réduit à AF . f? f»

En intégrant,

/>

AF.v

M g

s fj f» Vg . (10>

Notons ê l’adjoint de d, iCX)w le produit intérieur de w pax X et dF^le représentant contravariant de dF . Il vient

AF.V' « I SdF V

M il M g

« j d(i(dï^ V.)

M «

1

Le long de 3M, 3„F s Q et dF^est tangent à 3M, Si ^X^, ... ®st «ne base de vecteurs tangents â 3M, nous avons

CiCdF% ^g>CXj, ... “ V^i* ° ° *

©t donc

I âFoV., s 0,

jM ^

En de CîOI»

ij .a

M

S"-' 'i ''g = “•

Ooaime est définie positive f doit être constante=

Regiayque ; ün tel résultat serait bien entendu inexact pour le problème de Diriehlet.

CHAPITRE 4,

APPLXCATIOHS HARMONIQUES DE SURFACES SANS BORDa

Dans es chapitre, nous étudions le problème d’existence dans le: cas oü M et M’ sont des surfaces sans bord*

§ a ; ESPACES Lg{M,H»)o

Soient M et M’ des variétés riemanniennes compactes sans bord O Nous utiliserons dans certaines démonstrations le3

espaces de Sobolev où q > î et k 6 JR » Nous les

définissons en suivamt Jllj « Dans le cas où k est entier, des définitions équivalentes sont données dans [SffJ .

Soient (x » *oo ,x ) des coordonnées euclidiennes sur K"'*

Pour tout multi-indice S “ (64» ««« *6 ), notons

1 n

X (x*^) n

et D s

3x

)o /i 3 n

Soit s {f e y « et y» > 0 pour |x|~”« ) l®espace des fonctions rapidement décroissantes*

La transformée de Fourier

33

fCx) dx

34,

HV

définit un isomorphisine de dans où est le dual de R,n

Si PCD) * I D® est un opérateur différentiel è coef fieients constants et PCÇ) le polynôme | Cg C , nous avons

s F<|) f<^>.

Ceci se généralise au cas où P n’ast pas un polynôme % Soit M(Ç> une fonction dont toutes les dérivées croissent plus lentement que des polynômes à l’infini » La multiplication par M(|î définit un opérateur sur » On définit l’opérateur MCD) ; A(r”) par

fîcwf (O » MCÇ) fCÇ)c

Soit L^Cr”) l’espace des fonctions de q® puissance som­

mable, avec la norme

I f |[ |fCx)|%x

\1 q J"

Notons l’espace des distributions tempérées sur R'^, c'^est-à-dire le dual topologique de o Nous avons les inclusions denses >^C1R”î C: L^CR^ÎCT « Les opérateurs HCD) s’étendent par dualité en des opérateurs continus sur

Définition 4,1 ; Espace de Sobolev L^CR^) »

«

Soit WCÇJ C 1 ♦ . O -e- . Si k € R» l’opérateur WCd/* est défini par la relation WCD)*^f CO = W(Ç)^’ f(C>o Si q s 1, on définit ;

LgCR*') r- if ^ J:, I W(D)^f fe

La nome d*une f©net.ion dans cet espace vaut :

en fait ime classe d'équivalence de fonctions à distarices nullea les unes de© autx»es ^ Lorsque nous disons qu'une telle fonction est Cpar exempl®) continue, nous entendons par .11 qu'elle peut être représentée par une fonction continue.,

Dans le cas où k est un entier positif, cette définition coïncide avec la définition usuelle :

Proposition 4,2 : Si k est un entier positif.

Supposons maintenant que M est une variété, compacte o Soit un atlas fini sur M, et Cy^) une partition de l'unité

®ub®rdojmnée â C U K

Définition 4»3 s Un® distribution f î M ---■> 8R appartient à L^fMJ ssi y O, la fonction : üR**-’—définie par

f € ê L^CSR*^) pour Î6| ®

et la nome est équivalente à î ja|ék

\ ' ’C'

«

Remarque % Cette norme dépend du choix de la partition d«ï

l'unité, mais la définition de l'espace est intrinsèque dans la sens suivant : deux partitions différentes induisent le même.

36 ^e espace , et leï nomes associées sont équivalentes.

3) LgCM,g^^).

Une application f ; M ——^ R peut êti-^ représentée par un N-uple de fonctions, et on pose

L^(M,ÎR^b s ® L^(M),

4) Lg(M,M»).

Pour définir L^(M,M*), nous utilisons un plongement cle îï’

dans un espace euclidien, sur lequel nous allons choisir dés 1* abord une métrique adaptée au problème des application;®

harmoniques [l7j . D’autres métriques peuvent être considérées., et conduisent aux mêmes espaces de Sobolev.

Considérons un plongement de M’ dans IR . Pour N assez N grand, vsi tel plongement existe, par exemple par le théorème tîe Whitney,

Soit T un voisinage tubulaire de M’ dans . La

multiplication par -1 dans les fibres de T définit une involu- tion I : T---dont M’ est l’ensemble des points fixes.

Nous définissons sur T une métrique invariante par I et induisant sur H’ la métrique donnée g’ . Une telle métrique s’obtient en étendant celle de M' de manière C**, puis en prenant sa moyenne par I.

Soit B une boule de !R contenant m voisinage de T . Noun N étendons la métrique de T en une métrique C**sur qui coïncide avec la métrique euclidienne sur

Définition 4.4 : Une application f ; M---appartient à L^(M,M') ssi sa composée avec le plongement appartient à

Dans la suite, nous noterons l’espace

d:.

l>a métrique choisie sur 0R est juatifiée par la proposi­N tion suivante ^ Toute application f : M -—--$*■ M’ peut être considérée comme une application de M dans SR ^ Notons et t »ç(f) les tensions de f dans ces deux représentations.

ir”

Proposition 4c 5 fl? ^ ; Avec la métrique définie ci-deseiiB, t wCf) ë

M

Démonstration o

Comme M’ est une eous-variété riemannienne de iR $ nous avons N ri2;§I*5CB)1

oü : TR" ——TM' est la projection orthogonaleo

Comme t est invariante par l'isométrie I* elle est tangente à TM' et égale à sa projections ce qui établit la proposition.

Srâee à cette égalités noue pouvons étudier le problème des applications harmoniques soit dans M' > soit dans S C ÎR .. M Cette dernière l'eprésentation permet d'utiliser des coordonnéee globales sur l'image.

Rappelons quelques propriétés fondamentales des espaces de Sobolev sur une variété compacte M ;

4.6 Théorème de trace [17;§11*1^ : Soit H une hypersurface de M O Si k » l'opérateur de restriction B : C CM)—CH>

s'étend en une application continue B s LgCM)—^L^(H)o

il existe ur^

4c7 Théorème de Sobolev [l7;§11,13] : Si k » plongement continu

<=o

où est l*espacs des applications continues, a«^ec la topolo’

gie de la convergence uniformeo

4c 8 Théorème de Rellich : Si k < r, 1* inclus ion naturelle

est un opérateur compacte

§ b î ESPACE

2

L’espace apparaît naturellement dans l’étude des ap­

plications harmoniques o En effet, de la définition de l'énergie (définition 1.2) ©t du fait que M et M’ sont compactes, il

découle qu'une application est dans ssi elle est d'énergie finie.

Rappelons qu'une classe d'homotopie d'applications d€s M dans M' est une composante connexe de . Pour appliquer les méthodes directes du calcul des variations, nous construi­

sons une suite minimisante pour l'énergie dans uns classe d’ho- motopie donnée.

Proposition 4.9 : Toute suite minimisante pour E contient une 8ou8”8uite Cf^) convergeant faiblement vers une application f

39.

2

de Lj O L'énergie de la limite vSï-ifie E(f> i- lim inf ECf ).

T

Déiaonstrat ion c

Une suite minimisante pour E est un enseisîble borné de

2 O Par ^9îC12,1Ssioff un tel ensemble contient «ne sous-suite convergeant faiblement.

D'après »C12,15 jSQ , «ne norme hilbertienne est 8emi-continue inférieurement pour la convergence faible.

L'inégalité ECf) ^ lim inf E(f^) s'obtient alors en considérant 2

E comme une norme équivalente à celle de L sur l'ensemble des dérivées de fonctions de L..2

1

Pour démontrer l'existence du minimum de l'énergie dans une classe cî 'hoiaotopie , il faut alors montrer que la limite faible f d'\ute suite minimisante pour E dans est de classe C* et est dans X. Ce dernier point serait établi si nous pouvions montrer que la convergence de la suite est, uniforme.

Dans le cas de l'énergie, nous avons toujours convergence

uniforme si dim M § 1, mais non pour des dimensions supérieures.

Proposition 4.10 î Si n s i, l'énergie atteint son minimum dans toute classe d'homotopie.

En effet; nous avons k s i, n® let q- 2, et donc k » ~ . Par le théorème 4.8, une sous-suite d'une suite

minimisante converge dans 2 et par le théorème 4.7, cette

1

convergence est uniforme pour c « ^ . La limite est donc dans la classe d*honKîtopie donnée . Par le théorème i.10.1 de £3^,

©lie est de classe c“.

40.

Si n - 2, nous n^*vons plue l'inégalité k le

théor>èiBe 4«? ne s'applique plus, et nous ne pouvons pas établir ers général que la convergence est uniforme.

Le théorème 3.2 nous fournit un exemple de ce fait : si nous considérons une suite minimisante dans une classe d'homoto^

pi.® non triviale poiu? le problème de Dirichlet, u.ne souS"Suite converge faiblement vers une application constante, et cette convergence ne peut être uniforme . (Nous pouvons parler du problème de Dirichlet dans grâce au théorème 4.6).

Dans ce contexte, la dimension 2 apparait comme un cas limite : nous avons l'égalité Je ® pour tout e > 0, une

2 2

norme du type L ^ ou L^^^ donnerait lieu à une inégalité.

Pour l'énergie, nous ne pourrons démontrer sans hypothèse supplémentaire que la limite d'une suite minimisante est dans la même classe d'homotopie que les éléments de la suite, mais si nous arrivons à imposer ce fait, nous pourrons montrer que la limite est C** (propositions 4.24 et 4.26) . Ce résultat m s'appuie pas sur les liens entre applications harmoniques et conformes étudiés au chapitre 2 . Il constitue une nouvelle motivation â l'étude des applications harmoniques en dimension deux.

Nous concluons ce paragraphe par une propcaltion qui

“limite” la non "■continuité possible des applications de en dimension 2 :

Définition 4.11 î Une application d®un segment dans M" est absolument continue ssi y e ^ 0, 36 tel que

I

lorsque les intervalles (x^,x”) sont disjoints et

ÜL

Hl.

Cx« - X») ê

© 0

La notation j « | désigne ici la distance riemannienm sua? M»o

Proposition 4ol2 [2^ ; Si f est absolument continue, sa dérivée existe presque partout et la longueur de la courbe fCx) est égale à l’intégrale de la norme de f^c

Proposition 4olâ ; Soit f € et U une carte locale de K raimie de coordonnées (x,y) o La classe f peut être représentée par une application “-que nous noterons égalemeîat f- telle que pour presque toute valeur de x (ou y), f soit absolument continue en y Cou x) » f peut être définis presque partout comme la

dérivée de I^besgue de I X ^y"

I [c, c* 6j X [d, d16^

où ^ est uîi resprésentant quelconque de la classe-,

Démonstration »

<af O [30 9 leBîœe 3o 1 « i et théorème 3 <, i« 0 o

Ramarqu© : Dans la suite, f désignera toujours ce représentant particulier de l’application»

42.

Dans la suite de ce -ehapitre* M,g et désignent des surfaces rlemanniennes compactes orientables sans bord, de genres p et p'o

Nous allons étudier le problèïae d^'eaeisterBce des applica"- tions harmoniques, suivant les différentes valeurs de p et p*.

§ c ; P ^ i, p” ^

Théorème 4^14 s Si p à 1 et p* ^ î, toute classe d’homotopie d®applications de M dans M® contient un représentant hanaonique réalisant le minimu» de l*énergie dans la classe.

Démonstration o

Considérons dans la classe d^homotopie donnée une suite mi.nimisantè pour 1 “énergie, et soit une sous^suite

convergeant faiblement.

Notons ü et U“ les revêtements universels de M et M“, et I et n* les projections . U (ou U*]î est un plan ou un deni-plar suivant que p Cou p*> est égal ou supérieur â 1 « Nous ïaunis““

sons U et U® des métriques lî^g et II®^g’o

U étant simplement connexe, Inapplication : m——

s@ relève en une application : 0...l©raqu“on chol<*it l’image f CP) d*un point P de M dans ïi* ^Cf CP)).

S* 10

n‘