ea iee See G efii

arXiv:math.GR/0503154 v5 22 Jul 2005

Groupesfinis

Jean-PierreSerre

Cours à l'ÉoleNormale Supérieurede Jeunes Filles,

/

rédigé par Martine Buhler etCatherine Goldstein

(Montrouge,



⁾

révisé ettransrit en L A

T

E X par

NiolasBillerey, Olivier Dodane et Emmanuel Rey

(Strasbourg Paris,



⁾

1 Préliminaires 5

1.1 Ationsde groupes . . . 5

1.2 Sous-groupesnormaux;sous-groupesaratéristiques;groupessimples . . 6

1.3 Filtrationsetthéorème de Jordan-Hölder. . . 7

2 Théorèmes de Sylow 10 2.1 Dénitions. . . 10

2.2 Existene des

p

^{-Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10}

2.2.1 Première démonstration . . . 11

2.2.2 Seondedémonstration (Miller-Wielandt) . . . 11

2.3 Propriétés des

p

^{-Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12}

2.4 Fusion . . . 13

3 Groupes résolubles et groupes nilpotents 16 3.1 Groupesrésolubles . . . 16

3.2 Suite entrale desendante . . . 19

3.3 Groupesnilpotents . . . 19

3.4 Groupesnilpotents nis . . . 21

3.5 Cas desgroupesabéliens . . . 23

3.6 Sous-groupe de Frattini . . . 25

4 Cohomologie et extensions 28 4.1 Dénitions. . . 28

4.2 Extensions. . . 30

4.3 Groupesnis:un ritèrede nullité . . . 34

4.4 Extensionsde groupesd'ordres premiers entre eux . . . 35

4.5 Relèvements d'homomorphismes . . . 37

5 Groupes résolubles et sous-groupes de Hall 39

5.1

Π

-sous-groupes . . . 39

5.2 Préliminaires :sous-groupes permutables . . . 40

5.3 Systèmespermutables desous-groupesde Sylow . . . 41

5.4 Démonstration du th.5.1 . . . 42

5.5 Un ritèrede résolubilité . . . 42

5.6 Démonstration du th.5.3 . . . 43

6 Groupes de Frobenius 44 6.1 Réuniondes onjuguésd'unsous-groupe . . . 44

6.2 Groupesde Frobenius:dénition . . . 46

6.3 Struturede

N

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47}

6.4 Struturede

H

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48}

7 Transfert 51 7.1 Dénition . . . 51

7.2 Calul dutransfert . . . 52

7.3 Exemplesd'utilisation dutransfert . . . 53

7.3.1 Premier exemple (Gauss) . . . 53

7.3.2 Seondexemple . . . 54

7.4 Transfert dansunsous-groupede Sylow . . . 54

7.5 Appliation :groupessimplesd'ordre impair inférieur à

2000

^{. . . . . . . 56}

7.6 Appliation :groupessimplesnon abéliensd'ordre inférieur à

200

^{. . . . . 56}

A Théorie des aratères 59 A.1 Représentationsetaratères . . . 59

A.2 Relations d'orthogonalité. . . 61

A.3 Caratères etfontionsentrales . . . 63

A.4 Exemplesde aratères . . . 64

A.5 Propriétés d'intégralité . . . 66

A.6 Appliation :théorème deBurnside . . . 68

A.7 Démonstration du théorèmede Frobenius . . . 69

Bibliographie 72

Index 73

Préliminaires

Ce hapitre estessentiellement onstituéde rappels surlathéoriegénérale desgroupes.

La lettre

G

^{désigne ungroupe.}

1.1 Ations de groupes

Dénition 1.1 Ondit que le groupe

G

^{opère àgauhe sur unensemble}

X

^{si l'ons'est}

donné une appliation

G × X −→ X (g, x) 7−→ g.x

vériant les onditions :

(1)

g.(g ^′ .x) = (gg ^′ ).x

^{pour tout}

x ∈ X

^{et tout ouple}

(g, g ^′ ) ∈ G × G

^.

(2)

1.x = x

^pourtout

x ∈ X

^{, où}

1

^{est l'élément neutre de}

G

^.

Remarque. La donnée d'une ation à gauhe de

G

^sur

X

^{équivaut à la donnée d'un}

homomorphisme

τ

^de

G

^{dans le groupe}

S X

^des permutations de

X

^{déni pour tout}

g ∈ G

^ettout

x ∈ X

^par

τ (g)(x) = g.x.

Onaurait une dénitionanalogue pourles opérationsà droite.

Le groupe

G

^déoupealors

X

^{enorbites :deuxéléments}

x

^et

y

^de

X

^{sontdanslamême}

orbite si et seulement s'il existe

g ∈ G

^{tel que}

x = g.y

^{. L'ensemble des orbites est le}

quotient de

X

^par

G

^{et est noté}

G \ X

^{dansle as d'uneation à gauhe (et}

X/G

^dans

leas d'uneation àdroite).

Dénition 1.2 Onditque

G

^agit transitivementsurX si

G \ X

^{est réduità unélément.}

En partiulier, legroupe

G

^agit transitivement surhaqueorbite.

Dénition 1.3 Soit

x ∈ X

^{; on appelle} stabilisateurde

x

^{(ou xateurde}

x

^{)et on note}

H _x

^le sous-groupe de

G

^{formédes éléments}

g ∈ G

^{qui xent}

x

^{(i.e. telsque}

g.x = x

^).

Remarque. Si

G

^opèretransitivementsur

X

^etsi

x ∈ X

^{,onaunebijetionde}

G/H _x

^sur

X

^donnéepar

gH _x 7−→ g.x

^,où

G/H _x

^{estl'ensembledeslassesàgauhede}

G

^modulo

H _x

^.

Si

x ^′ ∈ X

^,ilexiste

g ∈ G

^telque

x ^′ = g.x

^.Alors

H _x ^′ = gH _x g ⁻¹

^{.Donhangerde point}

de base revient à remplaer lestabilisateur de

x

^{par un de ses onjugués.}Inversement, si

H

^{est un} sous-groupe de

G

^{, alors}

G

^agit transitivement sur

G/H

^et

H

^{stabilise la}

lasse de

1

^{.Ainsiladonnéede}

X

^surlequel

G

^opèretransitivement revient àelle d'un sous-groupede

G

^{,déterminé àonjugaison près.}

Exemple.Soit

X

^{unedroiteanedéniesurunorps}

K

^etsoit

G

^legroupedessimilitudes

G = { x 7→ ax + b, a ∈ K ^∗ , b ∈ K } .

Le groupe

G

^opère transitivement sur

X

^.Si

x ∈ X

^{, le} stabilisateur de

x

^{est le groupe}

deshomothéties entrées en

x

^.

Appliation. Soit

G

^{un groupe ni, dont on note}

| G |

^{l'ordre. Soit}

X

^{un ensemble où}

G

opère. Ona

X = `

i∈I Gx _i

^{où les}

Gx _i

^{sont les orbites(2 à 2} disjointes) sousl'ation de

G

^,les

x _i

^{formantunsystèmede}représentantsdesélémentsde

G \ X

^.Onavuque

Gx _i

^est

enbijetionave

G/H _{x i}

^,don

| Gx _i | = | G | . | H _{x i} | ⁻¹

^.Onendéduit

| X | = P

i∈I | G | . | H _{x i} | ⁻¹

puis

| X | . | G | ⁻¹ = P

i∈I | H _{x i} | ⁻¹

^.

Cas partiulier. Le groupe

G

^{opère sur lui-même par} automorphismes intérieurs; on a une appliation :

G −→ S G

x 7−→ int _x

où

int _x (y) = xyx ⁻¹ = ^x y

^{. Les orbites sont les lasses de} onjugaison. Le stabilisateur d'un élément

x

^de

G

^{est l'ensemble deséléments de}

G

^{qui ommutent à}

x

^{(on l'appelle}

entralisateur de

x

^{et on le note}

C _G (x)

^{). On a}

1 = P

i∈I | C _G (x _i ) | ⁻¹

^où

(x _i ) _i∈I

^{est un}

système de représentants des lasses de onjugaison. Pour

x _i = 1

^{, on a}

C _G (x _i ) = G

^et

don

sup _i∈I | C _G (x _i ) | = | G |

^.

Exerie.

(i)

^Si

h

^{est un entier}

> 1

^{, montrer qu'il n'y a qu'un nombre ni de} déompositions

1 = P h i=1 1

n i

ave

n _i ∈ Z

^,

n _i > 1

^{. [Par exemple, si}

h = 3

^{, les seuls}

n _i

^{possibles sont}

(3, 3, 3)

^,

(2, 4, 4)

^et

(2, 3, 6)

^.℄

(ii)

^{En déduire que, si un groupe ni}

G

^{a un nombre de lasses de onjugaison égal à}

h

^{, l'ordre de}

G

^{est majoré par une onstante}

N (h)

^{ne dépendant que de}

h

^{. (On peut}

prendre

N (h)

^{de la forme}

c ₁ ^{c 2 h}

^{, où}

c ₁

^,

c ₂

^{sont des onstantes}

> 0

^{. J'ignoresi l'on peut}

faire beauoup mieux.)

1.2 Sous-groupes normaux; sous-groupes aratéristiques;

groupes simples

Dénition 1.4 Onditqu'unsous-groupe

H

^de

G

^{est normal (ouinvariant)sipourtout}

x ∈ G

^{et tout}

h ∈ H

^{, on a}

xhx ⁻¹ ∈ H

^.

Cela revient à dire que le sous-groupe

H

^{est stable par tout} automorphisme intérieur.

Une tellesituation sedéritpar une suite exate:

{ 1 } ^// H ^// G ^// G/H ^// { 1 } .

Remarque. Si

H

^estunsous-groupede

G

^{,ilexisteun plusgrand} sous-groupede

G

^dans

lequel

H

^{estnormal, àsavoir l'ensembledes}

g ∈ G

^telsque

gHg ⁻¹ = H

^{.Onl'appelle le}

normalisateur de

H

^dans

G

^,etonlenote

N G (H)

^{.Onditqu'une partiede}

G

^normalise

H

^{sielle estontenue dans}

N _G (H)

^.

Dénition 1.5 Ondit qu'un sous-groupe

H

^de

G

^est aratéristique s'il est stable par tout automorphisme de

G

^.

Un telsous-groupe estnormal.

Exemple. Le entre de

G

^{(ensemble deséléments qui ommutent à tousles éléments de}

G

^{) est un} sous-groupe aratéristique. Il en est de même du groupe dérivé de

G

^{, ainsi}

dessous-groupes

D ⁿ G

^,

C ⁱ G

^et

Φ(G)

^{dénis au hap. 3 .}

Dénition 1.6 On dit qu'un groupe

G

^{est simple lorsqu'il a exatement deux sous-}

groupes normaux :

{ 1 }

^et

G

^.

Exemples.

(1)

^{Les seulsgroupes abéliens simples sont les groupes yliques d'ordre premier,'est-}

à-direles groupes

Z/pZ

^ave

p

^premier.

(2)

^{Legroupe alterné}

A ⁿ

^{est simple si}

n > 5

^.

(3)

^Legroupe

PSL _n (F q )

^{est simplepour}

n > 2

^saufdansleas

n = 2

^et

q = 2

^ou

3

^.

1.3 Filtrations et théorème de Jordan-Hölder

Dénition 1.7 Uneltration dugroupe

G

^{estunesuitenie}

(G _i ) _06i6n

^desous-groupes telle que

G ₀ = { 1 } ⊂ G ₁ ⊂ · · · ⊂ G _i ⊂ · · · ⊂ G _n = G

ave

G _i

^normaldans

G _i+1

^{, pour}

0 6 i 6 n − 1

^.

On appelle gradué de

G

^{(assoiéà la ltration}

(G i ) _{0 6 i 6 n}

^{)et on note}

gr(G)

^{la suite des}

gr _i (G) = G _i /G _i−1

^,pour

1 6 i 6 n

^.

Dénition 1.8 Uneltration

(G _i ) _06i6n

^de

G

^{estdite de} Jordan-Höldersi

G _i /G _i−1

^est

simple pour tout

1 6 i 6 n

^.

Proposition 1.1 Si

G

^{est ni,}

G

^{possède une suite de Jor}dan-Hölder.

Si

G = { 1 }

^{, on a la suite de} Jordan-Hölder triviale (

n = 0

^{). Si}

G

^{est simple,on prend}

n = 1

^.Si

G

^{n'estpassimple,onraisonneparréurrenesurl'ordrede}

G

^.Soit

N ⊂ G

^,

N

normaldans

G

^{d'ordre maximal.Alors}

G/N

^{estsimple,arsinonil existerait}

M

^normal

dans

G

^{ontenant stritement}

N

^{etdistint de}

G

^.Comme

| N | < | G |

^{,onpeutappliquer}

l'hypothèse de réurrene et si

(N _i ) _06i6n

^{est une suite de} Jordan-Hölder pour

N

^{, alors}

(N ₀ , · · · , N _n−1 , N, G)

^{en estune pour}

G

^.

Remarque. Si

G

^{est inni,il peut ne pasposséder de suite de} Jordan-Hölder :'est par exemple leasde

Z

^.

Théorème 1.2 (Jordan-Hölder) Soit

G

^{ungroupe ni etsoit}

(G i ) _{0 6 i 6 n}

^{une suitede}

Jordan-Hölder de

G

^{. Le gradué de}

G

^{, à} permutation près des indies, ne dépend pas de la suite hoisie.

Il sut demontrer quesi

S

^{estun groupe simple xé etsi}

n (G, (G _i ), S)

^{est lenombre}

de

j

^{tels que}

G _j /G _j−1

^{estisomorphe à}

S

^,alors

n (G, (G _i ), S)

^{ne dépendpas dela suite}

(G _i )

^.

Onommene par une remarque :si

H

^{est un}sous-groupede

G

^{,une ltration}

(G _i )

^sur

G

^{induit une ltration}

(H _i )

^sur

H

^{dénie par}

H _i = G _i ∩ H

^{.De même,si}

N

^estnormal,

on aune ltration sur

G/N

^déniepar

(G/N ) i = G i /(G i ∩ N )

^{.Lasuite exate}

{ 1 } ^// N ^// G ^// G/N ^// { 1 }

seonserve parltration :

{ 1 } ^// N _i /N _i−1 ^// G _i /G _i−1 ^// (G/N ) _i /(G/N ) _i−1 ^// { 1 }

d'oùnalement lasuite exate

{ 1 } ^// gr _i (N) ^// gr _i (G) ^// gr _i (G/N ) ^// { 1 } .

Sila ltration initialeest de Jordan-Hölder,

gr _i (G)

^{estsimple pour tout}

i

^,don

gr _i (N )

est isomorphe à

{ 1 }

^{ou à}

gr _i (G)

^.Par réindexation, on peut don obtenir une ltration de Jordan-Höldersur

N

^{etde même sur}

G/N

^.

Cette remarque permetde démontrer lethéorème;on a en eet deuxpossibilités: soit

gr _i (N ) = { 1 }

^et

gr _i (G/N ) = gr _i (G)

^{, soit}

gr _i (N ) = gr _i (G)

^et

gr _i (G/N ) = { 1 }

^{. On}

en déduit une partition de

I = { 0, . . . , n }

^{en deux parties :}

I ₁ = { i, gr _i (N ) = { 1 }}

^et

I ₂ = { i, gr _i (N ) = gr _i (G) }

^.

Onraisonnealors par réurrene surl'ordrede

G

^.Si

G = { 1 }

^{,iln'y apasde problème.}

Sinon, on peut toujours supposer que

G

^{n'est passimple. Soit alors}

N

^un sous-groupe normal tel que

| N | < | G |

^et

| G/N | < | G |

^. L'hypothèse de réurrene s'applique à

N

^et

G/N

^:

n N, (N i ) _{i∈I 2} , S

et

n G/N, ((G/N ) i ) _{i∈I 1} , S

sont indépendantsdelaltration.

Or

n G, (G _i ) _i∈I , S

= n N, (N _i ) _{i∈I 2} , S

+ n G/N, ((G/N ) _i ) _{i∈I 1} , S ,

don

n G, (G _i ) _i∈I , S

est indépendant delaltration hoisie.

Appliation. On retrouve ainsi l'uniité de la déomposition d'un entier en produit de

fateurs premiers. En eet, si

n = p ^h ₁ ¹ · · · p ^h _k ^k

^{, on a pour}

Z/nZ

^{laltration de Jordan-}

Hölder suivante :

Z/nZ ⊃ p 1 Z/nZ ⊃ p ² ₁ Z/nZ ⊃ · · · ⊃ p ^h ₁ ¹ Z/nZ ⊃ · · ·

Don

Z/p _i Z

^apparaît

h _i

^{fois danslegradué, d'oùl'uniité.}

Exemples.

(1)

^Filtrationde

S 3

^:

A 3

^{estnormaldans}

S 3

^et

A 3

^{estyliqued'ordre}

3

^{.D'oùlaltration}

{ 1 } ⊂ A 3 ⊂ S 3 .

(2)

^{Filtration de}

S 4

^:

A 4

^{est normaldans}

S 4

^ave

( S 4 : A 4 ) = 2

^.Dans

A 4

^{, il existe un}

sous-groupenormal

D

^{de type}

(2, 2)

^:

D = { 1, σ 1 , σ 2 , σ 3 }

^ave

σ ₁ = (a, b)(c, d),

σ ₂ = (a, c)(b, d), σ ₃ = (a, d)(b, c).

Ona don laltration

{ 1 } ⊂ { 1, σ _i } ⊂ D ⊂ A 4 ⊂ S 4 .

L'ordre des quotients suessifsest

2, 2, 3, 2

^{. Le hoix de}

i

^étant arbitraire, il n'y a pas uniité delaltration.

(3)

^{Filtration de}

S n

^pour

n > 5

^:legroupe

A n

^{étant simple,ona laltration}

{ 1 } ⊂ A n ⊂ S n .

Théorèmes de Sylow

Soit

p

^{un nombre premier etsoit}

G

^{ungroupe ni.}

2.1 Dénitions

Dénition 2.1 Ondit que

G

^{est un}

p

^{-groupe sil'ordre de}

G

^{estune puissane de}

p

^.Si

G

^{est d'ordre}

p ⁿ m

^ave

m

^premierà

p

^{,on ditqu'un}sous-groupe

H

^de

G

^{est un}

p

^-Sylow

de

G

^si

H

^{est d'ordre}

p ⁿ

^.

Remarques.

(1)

^Soit

S

^un sous-groupe de

G

^;

S

^{est un}

p

^{-Sylow de}

G

^{si et seulement si}

S

^{est un}

p

^{-groupe et}

(G : S)

^{est premierà}

p

^.

(2)

^{Tout onjuguéd'un}

p

^-Sylowde

G

^estun

p

^-Sylowde

G

^.

Exemple. Soit

K

^unorpsnide aratéristique

p

^à

q = p ^f

^{éléments.Soit}

G = GL _n (K)

legroupe desmatries inversibles

n × n

^{à oeientsdans}

K

^{.Ce groupeest isomorphe}

à

GL(V )

^où

V

^{estun espae vetoriel sur}

K

^{de dimension}

n

^{.Onremarque quel'ordre}

de

G

^{est lenombrede basesd'un espaevetoriel de dimension}

n

^sur

K

^{,soit :}

| G | = (q ⁿ − 1)(q ⁿ − q) · · · (q ⁿ − q ⁿ⁻¹ ) = q ^n(n−1)/2 Y n i=1

(q ⁱ − 1) = p ^{f n(n−1)/2} m,

où

m = Q n

i=1 (q ⁱ − 1)

^{estpremier à}

q

^{,don à}

p

^.

Considérons d'autre partle groupe

P

^{onstitué desmatries}triangulaires supérieures à oeients diagonaux égaux à

1

^{. C'est un} sous-groupe de

G

^d'ordre

| P | = q ^n(n−1)/2 = p ^{f n(n−1)/2}

^.Don

P

^{est un}

p

^-Sylowde

G

^.

2.2 Existene des

p

^-Sylow

Le but de ettesetion estde démontrer lepremier théorèmede Sylow:

Théorème 2.1 Tout groupe ni possède au moins un

p

^-Sylow.

2.2. Existene des

p

^{-Sylow 11}

2.2.1 Première démonstration

Elle reposesurla propositionsuivante:

Proposition 2.2 Soit

H

^unsous-groupe de

G

^etsoit

S

^un

p

^{-Sylow de}

G

^{. Alorsil existe}

g ∈ G

^{tel que}

H ∩ gSg ⁻¹

^{soit un}

p

^{-Sylow de}

H

^.

Soit

X

^{l'ensemble deslasses à gauhe de}

G

^modulo

S

^{.Le groupe}

G

^(resp.

H

^{) agitsur}

X

^par translations. Les stabilisateurs des points de

X

^sous

G

^{(resp. sous}

H

^{) sont les}

onjugués de

S

^{(resp. les}

H ∩ gSg ⁻¹

^).Or

| X | 6≡ 0 (mod p)

^ar

S

^{est un}

p

^{-Sylow de}

G

^.

L'unedesorbites

O

^de

X

^{sousl'ation de}

H

^{aunnombred'élémentspremierà}

p

^(sinon

| X |

^{seraitdivisible par}

p

^);soit

x ∈ O

^etsoit

H _x

^lestabilisateurde

x

^dans

H

^.Legroupe

H _x

^{est un}

p

^{-groupe, de laforme}

H ∩ gSg ⁻¹

^{(pour un ertain}

g

^{) et}

(H : H _x ) = |O|

^est

premier à

p

^.Don

H _x

^estun

p

^-Sylowde

H

^{de laforme}

H ∩ gSg ⁻¹

^.

Corollaire 2.3 Si

G

^{a des}

p

^{-Sylow et si}

H

^{est un} sous-groupe de

G

^{, alors}

H

^{a aussi}

des

p

^-Sylow.

Appliation. [Unepremière preuve du th.2.1℄ Soit

G

^{un groupe nid'ordre}

n

^.Onpeut

plonger

G

^{dansle groupe symétrique}

S n

^{. D'autrepart,}

S n

^{se plongedans}

GL _n (K)

^(où

K

^{est unorps nide} aratéristique

p

^{) :si}

σ ∈ S n

^{et si}

(e _i ) _16i6n

^{est une basede}

K ⁿ

^,

on assoie à

σ

^la transformation linéaire

f

^{dénie par}

f (e _i ) = e _σ(i)

^{. Don}

G

^{se plonge}

dans

GL _n (K)

^{. D'après l'exemple du Ÿ 2.1 ,}

GL _n (K)

^{possède un}

p

^{-Sylow. Le orollaire}

i-dessuspermetde onlure.

2.2.2 Seonde démonstration (Miller-Wielandt)

Onsupposeque

| G | = p ⁿ m

^ave

m

^{premier à}

p

^.Onnote

X

^{l'ensembledesparties de}

G

à

p ⁿ

^{éléments et}

s

^lenombrede

p

^-Sylowde

G

^.

Lemme 2.4

| X | ≡ sm (mod p)

^.

Legroupe

G

^opèresur

X

^partranslationsàgauhe.Soit

X = `

i X _i

^ladéompositionde

X

^{enorbitessousl'ationde}

G

^.Si

A _i ∈ X _i

^,ona

X = `

i GA _i

^.Onnote

G _i

^lestabilisateur de

A _i

^{.Onrappelle que}

| GA _i | = | G | / | G _i |

^.

Remarque :

| G i | 6 p ⁿ

^{. Soit en eet}

x ∈ A i

^{. Si}

g ∈ G i

^{, alors}

gx

^{appartient à}

A i

^{, don}

peut prendre

p ⁿ

^{valeurs. On a don au plus}

p ⁿ

^{hoix pour}

g

^{. On distingue don deux}

as:

•

^Si

| G i | < p ⁿ

^,alors

| GA i |

^{estdivisible par}

p

^.

•

^Si

| G _i | = p ⁿ

^,alors

G _i

^estun

p

^-Sylowde

G

^.

Réiproquement soit

P

^un

p

^{-Sylow de}

G

^;

P g ∈ X

^{pour tout}

g ∈ G

^{et le} stabilisateur de

P g

^est

P

^.Demême,si

P

^{stabiliseune partie}

A

^de

X

^,alors

P A ⊂ A

^{don pourtout}

a ∈ A

^{, on a}

P a ⊂ A

^don

A = P a

^{. (les deux ensembles ont mêmes ardinaux). Don}

P

^{stabilise exatement son orbite sous l'ation de}

G

^{(et le ardinal de ette orbite est}

| G/P | = m

^{). Finalement}

| X | = X

i /|G i |<p ⁿ

| GA _i | + X

i / |G i |=p ⁿ

| GA _i |

soit

| X | ≡ 0 + sm (mod p)

2.3. Propriétés des

p

^{-Sylow 12}

d'oùle résultat.

Ce lemme nousdonne leth. 2.1. En eet,d'aprèse lemme, lalassede

s

^modulo

p

^ne

dépend quede l'ordrede

G

^.Or

G ^′ = Z/ | G | Z

^{a ununique}

p

^{-Sylow(qui estisomorphe à}

Z/p ⁿ Z

^).Don

s ≡ 1 (mod p)

^;en partiulier,

s

^{estnon nul.}

Remarque. Ona démontréenfaitquelenombrede

p

^{-Sylowd'ungroupe}

G

^estongruà

1

^modulo

p

^{.Onretrouveraette propriété}ultérieurement.

Corollaire 2.5 (Cauhy) Si

p

^{divisel'ordrede}

G

^,alors

G

^{ontientunélémentd'ordre}

p

^.

Eneet,soit

S

^un

p

^-Sylowde

G

^{(ilenexisted'aprèsleth.2.1);}

S

^{n'estpasréduit à}

{ 1 }

ar

p

^{divise l'ordre de}

G

^.Soit

x ∈ S

^{distint de}

{ 1 }

^{.L'ordre de}

x

^{est une puissane de}

p

^,soit

p ^m

⁽

m > 1

^).Alors

x ^{p m−1}

^{est d'ordre}

p

^.

2.3 Propriétés des

p

^-Sylow

Théorème 2.6 (Seond théorème de Sylow)

(1) Tout

p

-sous-groupe de

G

^{est ontenu dans un}

p

^{-Sylow de}

G

^.

(2) Les

p

^-Sylowde

G

^{sontonjugués.}

(3) Le nombre des

p

^{-Sylow est ongru à}

1

^modulo

p

^.

Lemme 2.7 Soit

X

^{un ensemble ni sur lequel opère un}

p

^-groupe

P

^{et soit}

X ^P

^l'en-

semble des éléments de

X

^xéspar

P

^{. Alors}

| X | ≡ | X ^P | (mod p)

^.

Les orbites à un élément de

X

^{sous l'ation de}

P

^{sont elles onstituées d'un point de}

X ^P

^.L'ensemble

X − X ^P

^{est don réunion d'orbites non triviales, de ardinal divisible}

par

p

^.

Onpeutalorsdémontrerlespoints

(1)

^et

(2)

^{duth.2.6:soit}

S

^un

p

^-Sylowde

G

^etsoit

P

un

p

-sous-groupede

G

^{.Onappliquelelemme2.7àl'ensemble}

X

^{deslassesàgauhede}

G

^modulo

S

^:

| X | 6≡ 0 (mod p)

^don

| X ^P | 6≡ 0 (mod p)

^{. En}partiulier, ilexiste

x ∈ X

xé par

P

^{. Le} stabilisateur de

x

^{ontient don}

P

^{et est un onjugué de}

S

^{. Don}

P

^est

ontenu dansunonjugué de

S

('est-à-diredansun

p

^{-Sylow de}

G

^).

Pour le point

(2)

^{, on applique}

(1)

^à

P = S ^′

^où

S ^′

^{est un}

p

^{-Sylow de}

G

^{.Il existe}

g ∈ G

tel que

S ^′ ⊂ gSg ⁻¹

^,don

S ^′ = gSg ⁻¹

^.

Pour lepoint

(3)

^{,on donne une nouvelle} démonstrationbasée surlelemme suivant : Lemme 2.8 Soient

S

^et

S ^′

^deux

p

^{-Sylow de}

G

^{. Si}

S ^′

^normalise

S

^,alors

S = S ^′

^.

Soit

H

^lesous-groupe de

G

^{engendré par}

S

^et

S ^′

^{.Le groupe}

H

^normalise

S

^{qui est un}

p

^-Sylowde

H

^.Don

S

^{est leseul}

p

^{-Sylow de}

H

^(les

p

^-Sylowde

H

^{sont onjugués); or}

S ^′

^estun

p

^-Sylowde

H

^don

S = S ^′

^.

Montrons le point

(3)

^{. Si}

X

^{est l'ensemble des}

p

^{-Sylow de}

G

^,alors

S

^{opère sur}

X

^par

onjugaisonetd'aprèslelemme2.8 ,

S

^{estleseulélémentde}

X

^xépar

S

^{.Onréapplique}

lelemme 2.7(ave

P = S

^{) :}

| X | ≡ 1 (mod p)

^.

Corollaire 2.9 Si

S

^{est un}

p

^{-Sylow de}

G

^{, alors}

G : N _G (S)

≡ 1 (mod p)

^.

L'appliation

f

^de

G/N _G (S)

^{dansl'ensembledes}

p

^-Sylowde

G

^,déniepar

f (¯ g) = gSg ⁻¹

(où

g

^estun représentant quelonque de

¯ g

^{) estbijetive.}

Onavuquepourtoutsous-groupe

H

^de

G

^,ilexisteun

p

^-Sylowde

G

^dontl'intersetion ave

H

^{est un}

p

^{-Sylow de}

H

^{.Ce n'est pasvrai pour tout}

p

^{-Sylow de}

G

^{. Maissi}

H

^est

normal, on a:

Proposition 2.10 Soit

H

^unsous-groupe normalde

G

^etsoit

S

^un

p

^-Sylowde

G

^.Alors

(1)

S ∩ H

^{est un}

p

^{-Sylow de}

H

^.

(2) L'image de

S

^dans

G/H

^{est un}

p

^{-Sylow de}

G/H

^{(et on les obtient tous ainsi).}

(3) (Frattini)Si

Q

^{est un}

p

^{-Sylow de}

H

^,alors

H.N _G (Q) = G

^.

(1)

^Evident.

(2)

^{L'image de}

S

^dans

G/H

^{estisomorpheà}

S/(H ∩ S)

^.Si

p ^a

^(resp.

p ^b

^{)estlapuissane}

de

p

^{maximale divisant l'ordre de}

H

^{(resp. de}

G/H

^),

p ^a+b

^{est la puissane maximale}

de

p

^{divisant l'ordre de}

G

^{. Par suite,}

S

^a

p ^a+b

^{éléments. De plus,}

H ∩ S

^{a au plus}

p ^a

éléments don

S/(H ∩ S)

^{au moins}

p ^b

^{etdon exatement}

p ^b

^{.Il s'ensuit que}

S/(H ∩ S)

estun

p

^-Sylowde

G/H

^{.D'autrepart, onobtient tousles}

p

^-Sylowpar onjugaison,d'où

(2)

^.

(3)

^Soit

g ∈ G

^{. Ona}

gQg ⁻¹ ⊂ gHg ⁻¹ = H

⁽

H

^{est normal). Or}

gQg ⁻¹

^{est un}

p

^-Sylow

de

H

^{, don il existe}

h ∈ H

^{tel que}

gQg ⁻¹ = hQh ⁻¹

^{, don}

h ⁻¹ g ∈ N _G (Q)

^{et don}

g ∈ H.N G (Q)

^.Ainsi

G ⊂ H.N G (Q)

^,don

H.N G (Q) = G

^.

Corollaire 2.11 Soit

S

^un

p

^{-Sylow de}

G

^{et soit}

H

^un sous-groupe de

G

^ontenant

N G (S)

^{. Alors}

N G (H) = H

^.

H

^{estnormal dans}

N _G (H)

^etontient

S

^{qui estdon un}

p

^{-Sylow de}

H

^{.On applique le}

point

(3)

^{de la} proposition i-dessus :

H.N G (S) = N G (H)

^{. Don}

N G (H) ⊂ H

^{d'où le}

résultat.

En partiulier, si

S

^estun

p

^-Sylowde

G

^,ona

N _G N _G (S)

= N _G (S)

^.

2.4 Fusion

Soit

S

^un

p

^-Sylowde

G

^.Onnote

N

^lenormalisateurde

S

^dans

G

^{.Onseposeleproblème}

de savoir sideuxéléments de

S

^{onjugués dans}

G

^{sont onjugués dans}

N

^{.On ala:}

Proposition 2.12 (Burnside) Soient

X

^et

Y

^{deuxpartiesdu entre de}

S

^{, onjuguées}

dans

G

^etsoit

g ∈ G

^telque

gXg ⁻¹ = Y

^{. Alors il existe}

n ∈ N

^{tel que}

nxn ⁻¹ = gxg ⁻¹

pourtout

x ∈ X

^{. En} partiulier,

nXn ⁻¹ = Y

^.

On veut trouver

n ∈ N

^{tel que}

nxn ⁻¹ = gxg ⁻¹

^{pour tout}

x ∈ X

^i.e.

g ⁻¹ nxn ⁻¹ g = x

pour tout

x ∈ X

^{.Donon herhe}

n ∈ N

^{tel que}

g ⁻¹ n ∈ A = C _G (X)

^(le entralisateur de

X

^).Or

X

^{estontenu dansleentrede}

S

^don

A

^ontient

S

^.Demême,

Y = gXg ⁻¹

don

g ⁻¹ Sg

^{est ontenu dans}

A

^{. Les groupes}

S

^et

g ⁻¹ Sg

^{sont des}

p

^{-Sylow de}

A

^(il

sut de regarder leurs ordres) don sont onjugués dans

A

^{: il existe}

a ∈ A

^{tel que}

ag ⁻¹ Sga ⁻¹ = S

^.Don

n = ga ⁻¹

^{appartient à}

N

^et

g ⁻¹ n

^{appartient à}

A

^.

Corollaire 2.13 Soient

x

^et

y

^{deux éléments du entre de}

S

^{. S'ils sontonjugués dans}

G

^{, ilssont onjugués dans}

N

^.

Remarque. L'hypothèse

x

^et

y

appartiennent auentrede

S

^{nepeutêtresupprimée:}

si l'onprend

G = GL ₃ (Z/pZ)

^et

S =

 







1 × ×

0 1 ×

0 0 1





 



alors

N =

 





 × × ×

0 × ×

0 0 ×





 



etles éléments

x =





1 1 0 0 1 0 0 0 1





^et

y =





1 0 0 0 1 1 0 0 1





sont onjugués dans

G

^{etne lesont pasdans}

N

^.

Disonsque deuxéléments

x, y

^de

S

^{sontloalement onjugués s'ilexiste un}sous-groupe

U

^de

S

^{lesontenant tel que}

x

^et

y

^{soient onjuguésdans}

N _G (U )

^.

Théorème 2.14 (Alperin) La relation d'équivalene sur

S

^{engendrée par la relation}

x

^et

y

^{sontloalement onjugués est la relation}

x

^et

y

^{sontonjugués dans}

G

^.

En d'autrestermes :

Théorème 2.15 Si

x, y ∈ S

^{sontonjugués dans}

G

^{, il existe une suite}

a ₀ , . . . , a _n

^d'élé-

ments de

S

^{telle que :}

(1)

a ₀ = x

^et

a _n = y

^.

(2)

a _i

^{est loalement onjuguéde}

a _i+1

^pour

0 6 i 6 n − 1

^.

Cela résulte duthéorème pluspréis suivant :

Théorème 2.16 Soit

A

^{une partiede}

S

^etsoit

g ∈ G

^telque

A ^g ⊂ S

^{.Il existe alorsun}

entier

n > 1

^{, des} sous-groupes

U ₁ , . . . , U _n

^de

S

^{etdes éléments}

g ₁ , . . . , g _n

^de

G

^{ave :}

(1)

g = g ₁ · · · g _n

^.

(2)

g _i ∈ N _G (U _i )

^pour

1 6 i 6 n

^.

(3)

A ^{g 1 ···g i−1} ⊂ U i

^pour

1 6 i 6 n

^.

Remarque. Pour

i = 1

^,

(3)

^{signie que}

A ⊂ U 1

^{. Noter que l'on a}

A ^{g 1 ···g i} ⊂ U i

^pour

1 6 i 6 n

^{,ommeonlevoit en ombinant}

(2)

^et

(3)

^{.Ona en partiulier}

A ^g ⊂ U _n

^.

Le théorème i-dessusestun orollairede elui-i(prendre

A

^{réduit àun élément).}

Démonstration.Soit

T

^lesous-groupede

S

^{engendré par}

A

^{.Onraisonnepar réurrene}

sur l'indie

(S : T )

^de

T

^dans

S

^{. Si et indie est}

1

^{, on a}

T = S

^{, d'où}

S ^g = S

^et

g ∈ N _G (S)

^{.Onprend alors}

n = 1

^,

g ₁ = g

^et

U ₁ = S

^.

Supposons don

(S : T ) > 1

^{, i.e.}

T 6 = S

^{. Le groupe}

T ₁ = N _S (T )

^{est alors distint de}

T

^.C'estun

p

-sous-groupede

N _G (T )

^.Choisissonsun

p

^-Sylow

Σ

^de

N _G (T )

^ontenant

T ₁

^.

D'après le th. 2.6, il existe

u ∈ G

^{tel que}

Σ ^u ⊂ S

^{. Posons d'autre part}

V = T ^g

^{; on a}

V ⊂ S

^{par hypothèse. Legroupe}

Σ ^g

^estun

p

^-Sylowde

N _G (V ) = N _G (T ) g

.

Comme

N _S (V )

^estun

p

-sous-groupede

N _G (V )

^,ilexiste

w ∈ N _G (V )

^telque

N _S (V ) w

⊂ Σ ^g

^.Posons

v = u ⁻¹ gw ⁻¹

^{.On a}

g = uvw

^.

Onva maintenant déomposer

u

^et

v

^:

(i) On a

T ^u ⊂ Σ ^u ⊂ S

^{. Comme l'indie de}

T ₁

^dans

S

^{est stritement inférieur à elui}

de

T

^,l'hypothèse deréurrene montrequ'ilexiste dessous-groupes

U ₁ , . . . , U _m

^de

S

^et

deséléments

u ₁ ∈ N _G (U ₁ ), . . . , u _m ∈ N _G (U _m )

^ave

u = u ₁ · · · u _m

^et

T ₁ ^{u 1 ···u i−1} ⊂ U _i

^pour

1 6 i 6 m

^.

(ii) Posons

T ₂ = N _S (V )

^et

T ₃ = T ₂ ^{v −1} = T ₂ ^{wg −1 u}

^.Comme

T ₂ ^w

^{est ontenu dans}

Σ ^g

^{,on a}

T ₃ ⊂ Σ ^{gg −1 u} = Σ ^u

^.Legroupe

T ₃

^{estontenudans}

S

^,et

T ₃ ^v = T ₂

^{aussi.Commel'indiede}

T ₃

^{eststritementinférieuràeluide}

T

^{,onendéduitommei-dessusl'existenedesous-}

groupes

V ₁ , . . . , V _r

^de

S

^{et d'éléments}

v _j ∈ N _G (V _j )

^,ave

v = v ₁ · · · v _r

^et

T ₃ ^{v 1 ···v j−1} ⊂ V _j

pour

1 6 j 6 r

^.

Il resteàvérierquelessous-groupes

U ₁ , . . . , U _m , V ₁ , . . . , V _r , V

^de

S

^etladéomposition

g = u ₁ · · · u _m v ₁ · · · v _r w

^de

g

^{satisfontaux onditionsdu théorème.}

Ona

u _i ∈ N _G (U _i ), v _j ∈ N _G (V _j ), w ∈ N _G (V )

par onstrution, ainsique

T ^{u 1 ···u i−1} ⊂ U _i

⁽

1 6 i 6 m

^{) puisque}

T

^{estontenu dans}

T ₁

^.

Il reste à voirque

T ^{u 1 ···u m v 1 ···v j−1} ⊂ V _j

pour

1 6 j 6 r

^.

Or

T ^{u 1 ···u m} = T ^u

^{est ontenu dans}

T ₃ = T ₂ ^{wg −1 u}

^{; en eet,}

V = T ^g

^{est normalisé par}

w ⁻¹

^{;on adon}

T ^{gw −1} = V ⊂ N _S (V ) = T ₂

^,d'où

T ⊂ T ₂ ^{wg −1}

^et

T ^u ⊂ T ₂ ^{wg −1 u}

^.

Ondéduit de làque

T ^{u 1 ···u m v 1 ···v j−1} = T ^{uv 1 ···v j−1} ⊂ T ₃ ^{v 1 ···v j−1} ⊂ V _j ,

e qui ahève ladémonstration.

Groupes résolubles et groupes

nilpotents

3.1 Groupes résolubles

Soit

G

^{un groupe etsoient}

x, y

^{deux éléments de}

G

^.L'élément

x ⁻¹ y ⁻¹ xy

^{est appelé le}

ommutateur de

x

^et

y

^.Onlenote

(x, y)

^.Ona

xy = yx(x, y).

Si

A

^et

B

^{sont deux} sous-groupes de

G

^{, on note}

(A, B)

^{le groupe engendré par les}

ommutateurs

(x, y)

^ave

x ∈ A

^et

y ∈ B

^{. Le groupe}

(G, G)

^{est appelé le groupe des}

ommutateurs de

G

^{ou enore le groupe dérivé de}

G

^{et est noté}

D(G)

^{. C'est un sous-}

groupe aratéristique de

G

^{.De sadénitionrésulteaussitt la:}

Proposition 3.1 Soit

H

^un sous-groupe de

G

^{. Les propriétés suivantes sont équiva-}

lentes :

(1)

H

^ontient

D(G)

^.

(2)

H

^{est normal et}

G/H

^{est abélien.}

En e sens,

G/D(G)

^{estleplus grandquotient abélien de}

G

^{.Onlenote parfois}

G ^ab

^.

Onpeutitérerleproédé etdénirlasuite dessous-groupesdérivésde

G

^:

D ⁰ G = G,

D ⁿ G = (D ⁿ⁻¹ G, D ⁿ⁻¹ G)

^pour

n > 1.

Ona

G ⊃ D ¹ G ⊃ D ² G ⊃ · · ·

^.

Dénition 3.1 Ungroupe

G

^{est dit résolubles'il existeunentier}

n > 0

^{tel que}

D ⁿ G = { 1 }

^{. On appelle alors lasse de} résolubilité de

G

^{et on note}

cl(G)

^{le plus petit entier}

n

positif pour lequel

D ⁿ G = { 1 }

^.

Ainsi,

cl(G) = 0

^{équivaut à}

G = { 1 }

^et

cl(G) 6 1

^{équivaut àdire que}

G

^{est abélien.}

Proposition 3.2 Soit

G

^{un groupe et soit}

n

^{un entier}

> 1

^{. Les propriétés suivantes}

sont équivalentes :

(1)

G

^{est résoluble de lasse}

6 n

^,

(2) Il existe une suite

G = G ₀ ⊃ G ₁ ⊃ · · · ⊃ G _n = { 1 }

^de sous-groupes normaux de

G

tels que

G _i /G _i+1

^{soit abélien pour}

0 6 i 6 n − 1

^,

(2') Il existe une suite

G = G ₀ ⊃ G ₁ ⊃ · · · ⊃ G _n = { 1 }

^de sous-groupes de

G

^{tels que}

G _i

^{soit normal dans}

G _i−1

^{et que}

G _i−1 /G _i

^{soit abélien, pour}

1 6 i 6 n

^,

(3) Il existe un sous-groupe abélien

A

^{normal dans}

G

^{tel que}

G/A

^{soit résoluble de}

lasse

6 n − 1

^.

(1) ⇒ (2)

^Posons

G _i = D ⁱ G

^{pour tout}

i > 0

^{. Puisque}

D(G)

^{est stable par tout auto-}

morphisme (même non intérieur!) de

G

^,

D ⁱ G

^{est normal dans}

G

^{pour tout}

i

^{.La suite}

(G _i ) _i>0

^{ainsidénievérie don}

(2)

^.

(2) ⇒ (2 ^′ )

^{est trivial.}

(2 ^′ ) ⇒ (1)

^{Par réurrenesur}

k

^onvoitque

D ^k G ⊂ G _k

^{pour tout}

k

^,d'où

D ⁿ G = { 1 }

^.

(1) ⇒ (3)

^Onprend

A = D ⁿ⁻¹ G

^.

(3) ⇒ (1)

^D'aprèsl'impliation

(1) ⇒ (2)

^{,appliquée à}

G/A

^età

n − 1

^{,ilexiste unesuite}

A ₀ = G ⊃ A ₁ · · · ⊃ A _n−1 = A

de sous-groupes normauxde

G

^{tellequelasuite desquotients}

G/A ⊃ A ₁ /A ⊃ · · · ⊃ A _n−1 /A = { 1 }

vérie laondition

(2)

^{. Alorslasuite}

G ⊃ A ₁ ⊃ · · · ⊃ A _n−1 ⊃ { 1 }

vérie la ondition

(2)

^et l'impliation

(2) ⇒ (1)

^{appliquée à}

G

^{et à}

n

^{permet de}

onlure.

Remarque.Toutsous-groupe(ettoutgroupequotient)d'ungrouperésolubledelasse

6 n

est résoluble delasse

6 n

^.

Proposition 3.3 Soit

G

^{un groupe ni et soit}

G = G ₀ ⊃ G ₁ ⊃ · · · ⊃ G _n = { 1 }

^une

suite de Jordan-Hölder de

G

^{. Pour que}

G

^{soit résoluble, il faut et il sut que}

G _i /G _i+1

soit ylique d'ordre premier pour

0 6 i 6 n − 1

^.

Remarquons d'abord que si un groupe est simple etrésoluble, alors son groupe dérivé,

étant normal, est réduit à

{ 1 }

^{;le groupe estdon abélien et, étant simple, estylique}

d'ordre premier. Lethéorème en résulte.

Exemples.

(1)

^Lesgroupes

S n

^{sont résolublessietseulement si}

n 6 4

^.

(2)

^{Ungroupe simple nonabélien n'est pasrésoluble.}

(3)

^Soit

V

^{unespae vetoriel de dimension}

n

^{surun orpsommutatif}

K

^etsoit

V = V ₀ ⊃ V ₁ ⊃ · · · ⊃ V _n = 0

un drapeau omplet(i.e. une suite déroissantede sous-espaesvetoriels de

V

^{tels que}

codim(V _i ) = i

^{).On pose}

G = { s ∈ GL(V ) | sV _i = V _i , 0 6 i 6 n }

(si on hoisit dans

V

^{une base adaptéeau drapeau,}

G

^{peut être identié au groupe des}

matriestriangulaires supérieures).

Ondénit alors une suite desous-groupes

(B i ) 06i6n

^de

G

^par

B i = { s ∈ G | (s − 1)V j ⊂ V i+j , 0 6 j 6 n − i } .

En partiulier,

B ₀ = G

^.

Onvadémontrer que

(B _j , B _k ) ⊂ B _j+k

^pour

0 6 j 6 n

^et

0 6 k 6 n

^ave

0 6 j + k 6 n

^.

Soienten eet

s ∈ B _j

^,

t ∈ B _k

^et

x ∈ V _i

^{.Il existe}

v _i+k ∈ V _i+k

^{tel que}

tx = x + v _i+k ,

puis

stx = sx + sv _i+k = x + w i+j + v _i+k + t _i+j+k

(ave

w _i+j ∈ V _i+j

^et

t _i+j+k ∈ V _i+j+k

^).Demême

tsx = t(x + w i+j ) = x + v _i+k + w i+j + t ^′ _i+j+k

(ave

t ^′ _i+j+k ∈ V _i+j+k

^).Don

stx ≡ tsx (mod V _i+j+k )

ou enore

s ⁻¹ t ⁻¹ stx ≡ x (mod V _i+j+k )

d'oùle résultat.Enpartiulier :

• (B ₀ , B _i ) ⊂ B _i

^pour

0 6 i 6 n

^{,don les}

B _i

^{sontnormaux dans}

B ₀ = G

^.

• (B _i , B _i ) = D(B _i ) ⊂ B _2i ⊂ B _i+1

^pour

1 6 i 6 n

^{, don les quotients}

B _i /B _i+1

^sont

abélienspour

1 6 i 6 n − 1

^.

•

^Enn,

B ₀ /B ₁ = G/B ₁

^{s'identieau groupedesmatriesdiagonales (abélienar}

K

^est

ommutatif).Donlasuite

B ₀ = G ⊃ B ₁ ⊃ · · · ⊃ B _n = { 1 }

^{vérielaondition}

(2)

^et

G

est résoluble.

(4)

^{On verra} ultérieurement (th. 5.4) que tout groupe d'ordre

p ^a q ^b

^(où

p

^et

q

^sont

premiers) estrésoluble.

(5)

Mentionnonsaussile(trèsdiile)théorèmedeFeit-Thompson 1

:toutgrouped'ordre

impair estrésoluble (ou enore :l'ordred'ungroupe simple nonabélien estpair).

(6)

^{Lesgroupesrésolubles}interviennententhéoriedesorps.Soit

K

^{unorpsdearaté-}

ristique

0

^etsoit

K

^{unelturealgébriquede}

K

^.Onnote

K _rad

^{lepluspetitsous-orpsde}

K

^ontenant

K

^{telquepour tout}

x ∈ K _rad

^ettoutentier

n > 1

^,onait

x ^1/n ∈ K _rad

^.On

démontrequ'uneextension galoisienneniede

K

^{estontenuedans}

K _rad

^{sietseulement}

si songroupe de Galois est résoluble (i.e. une équation est résoluble par radiaux si et

seulement sisongroupede Galois estrésoluble.C'est delàqueprovient laterminologie

résoluble).

1

Référene:W.FeitetJ.G.Thompson,Solvabilityofgroupsofoddorder,PaiJ.Math.

13

⁽



^),

775 − 1029

^.