Struture de H

Corollaire 6.5 Si

l

^{est un nombre premier, il existe un}

l

^{-Sylow de}

N

^{stable par}

σ

^.

Soit

S

^un

l

^-Sylowde

N

^.Legroupe

σ(S)

^{est aussiun}

l

^-Sylowde

N

^,donilexiste

a ∈ N

tel que

aSa ⁻¹ = σ(S)

^{. On érit}

a ⁻¹ = b ⁻¹ σ(b)

^{, d'où}

σ(b ⁻¹ )bSb ⁻¹ σ(b) = σ(S)

^{, soit}

bSb ⁻¹ = σ(b)σ(S)σ(b ⁻¹ ) = σ(bSb ⁻¹ )

^.Don

bSb ⁻¹

^estun

l

^{-Sylow de}

N

^stablepar

σ

^.

Corollaire 6.6 Si

a ∈ N

^, l'automorphisme

σ _a : x 7→ aσ(x)a ⁻¹

^{est onjugué à}

σ

^dans

Aut(G)

^{; en} partiulier, il est d'ordre

p

^{et sans point xe.}

D'après 6.4

(1)

^{, il existe}

b ∈ G

^{tel que}

a = b ⁻¹ σ(b)

^{; alors}

σ a (x) = b ⁻¹ σ(bxb ⁻¹ )b

^{, don}

bσ _a (x)b ⁻¹ = σ(bxb ⁻¹ )

^{i.e. lediagramme suivant estommutatif :}

N ^{σ a //}

conjugaison par b ⁻¹

N

conjugaison par b ⁻¹

N _σ ^// N

Ceidonne immédiatement lerésultat.

Exemples.

(1)

^Si

p = 2

^{, on a}

xσ(x) = 1

^{pour tout}

x ∈ N

^{, don}

σ(x) = x ⁻¹

^{. Comme}

σ

^{est un}

automorphisme,

N

^estabélien.

(2)

^{Pour le as}

p = 3

(Burnside), posons

σ(x) = x ^′

^et

σ ² (x) = x ^′′

^{. La prop. 6.4}

(2)

appliquée à

σ

^et

σ ²

^donne

xx ^′ x ^′′ = 1

^et

xx ^′′ x ^′ = 1

^{, don}

x ^′

^et

x ^′′

^{ommutent; pour}

les autres 'est évident, don

x

^,

x ^′

^et

x ^′′

^{ommutent. Demême}

x

^et

ax ^′ a ⁻¹

^ommutent

pour tout

a

^,ainsique

x

^et

ax ^′′ a ⁻¹

^.Don

x ^′

^et

x ^′′

^{ommutent à tout onjuguéde}

x

^.Or

x = (x ^′ x ^′′ ) ⁻¹

^don

N

^{la propriétésuivante:deux élémentsonjugués ommutent, don}

aussi

x

^et

(x, y)

^.Finalement

x, (x, y)

= 1

^{pour tous}

x, y ∈ N

^{.Le groupe dérivé de}

N

est ontenu dansleentre de

N

^{;ela entraîne que}

N

^{estnilpotent de lasseau plus}

2

^.

(3)

^{Le as}

p = 5

^{aété traité par Higman :le groupe}

N

^{est alors nilpotent de lasse au}

plus

6

^{('est lameilleurebornepossible).}

Thompson agénéralisé esrésultatspar le

Théorème 6.7 (Thompson)

N

^{est nilpotent.}

Pour unedémonstration, f. [6,Kap. V,Haupsatz

8

^.

14

^{℄. En equi onerne lalassede}

N

^{,Higman a onjeturéquesi}

p

^{est l'ordrede}

G

^,lalassede

N

^est

6 ^{p 2 −1}

4

^.

6.4 Struture de

H

Nousdironsque

H

^{alapropriété}

F

^{s'ilexisteungroupe}

G

^ontenant

H

^etdistintde

H

telqueleouple

(G, H)

^{soitunoupledeFrobenius.D'aprèslesthéorèmes deFrobenius}

etde Thompson, elarevient àdire qu'ilexiste un groupe nilpotent

N 6 = { 1 }

^surlequel

H

^{opèresans point xe (i.e.librement sur}

N −{ 1 }

^).

Exemple. Soit

F

^{un orps nide} aratéristique

l

^etsoit

H

^un sous-groupe de

SL ₂ (F)

d'ordre premier à

l

^{.Sil'on prendpour}

N

^le

F

^{-espaevetoriel}

F ²

^{,on vérie failement}

que

H

^{opèrelibrementsur}

N −{ 0 }

^.Don

H

^{alapropriété}

F

^{.(Ceis'appliquenotamment}

au groupe iosaédral binaired'ordre

120

^{, groupequi n'est pas}résoluble.)

6.4. Struture de

H

⁴⁹

Théorème 6.8 Soit

H

^{ungroupe ni. Les propriétés suivantes sont}équivalentes : (1)

H

^{a la propriété}

F

^(i.e.

H

^{intervient dans un ouple de Frobenius).}

(2) Il existe un orps

K

^{etune représentation linéaire}

ρ : H → GL _n (K)

^{, ave}

n > 1

^,

telleque

ρ

^{soit sans point xe(i.e.}

H

^{opère librement sur}

K ⁿ −{ 0 }

^).

(3) Pourtout orps

K

^{dont la} aratéristique nedivise pas

| H |

^{, ilexiste une}

représen-tationlinéaire

ρ : H → GL _n (K)

^sanspointxe.

(4) Onpeut faire opérer

H

linéairement etlibrement sur une sphère

S _n−1

^.

[Noterque

(2)

^et

(3)

^{entraînent que}

ρ

^{est dèle.℄}

Avant dedonner ladémonstration, faisonsquelquesremarquessur lapropriétésuivante

d'un orps

K

^{, notée}

(2 _K )

^{:il existe une} représentation

H → GL _n (K)

^{sans point xe}

(ave

n > 1

^).

(a)Cette propriété nedépend que de la aratéristique

p

^de

K

^.

Eneet,sielle estsatisfaitepar

K

^etsi

x

^{estunveteur nonnulde}

K ⁿ

^,lestransformés par

H

^de

x

^{engendrentunespae vetorieldedimension nie}

N

^{surleorpspremier}

K 0

(i.e.

F _p

^ou

Q

^{), d'où une} représentation

H → GL _N (K ₀ )

^{sans point xe. Par extension}

dessalaires, on en déduitune pour tout orpsontenant

K ₀

^.

(b) Si

(2 _K )

^{est vraie, la} aratéristique

p

^de

K

^{est, soit}

0

^{, soit un nombre premier ne}

divisant pas

| H |

^.

En eet,si

H

^{opèrelibrement sur}

F ⁿ _p −{ 0 }

^,l'ordrede

H

^divise

p ⁿ − 1

^{etn'est don pas}

divisible par

p

^.

()La propriété

(2 _K )

^en aratéristique

0

^{entraîne la propriété analogue en toute}

ara-téristique

p

^{ne divisant pas}

| H |

^.

En eet, d'après (a), il existe un

Q

^{-espae vetoriel}

V

^{de dimension nie}

> 1

^où

H

opère sans point xe. Soit

x ∈ V

^{non nul et soit}

L

^le

Z

^{-réseau de}

V

^{engendré par les}

transformés de

x

^par

H

^{.Le groupe}

H

^{opère sans point xe sur}

L

^{. Il opèreaussi sur le}

F _p

^{-espae vetoriel}

V _p = L/pL

^{.Montrons que ette ation est sans point xe, dès lors}

que

p

^{nedivisepasl'ordrede}

H

^.Si

s ∈ H

^estd'ordre

m

^,l'automorphisme

s _V

^de

V

^déni

par

s

^{est telque}

s ^m _V = 1

^{,etiln'admet pas}

1

^{pour valeurpropre. Ona don}

1 + s _V + s ² _V + · · · + s ^m−1 _V = 0.

A fortiori, la même équation vaut dans

V _p

^{et elle entraîne (vu que}

m

^{est premier à}

p

⁾

que

sx 6 = x

^{pour tout}

x ∈ V _p

^{non nul. D'où lapropriété}

(2 _K )

^pour

F _p

^.

(d) La propriété

(2 K )

^en aratéristique

p 6 = 0

^{entraîne la propriété analogue en}

ara-téristique

0

^.

Soit en eet

ρ _p : H → GL _n (Z/pZ)

^une représentation linéaire de

H

^{sans point xe.}

D'après (b),

p

^{ne divise pas}

| H |

^{. D'après e qu'on a vu au hapitre 4, on peut}

rele-ver

ρ _p

^{en un} homomorphisme

ρ _p ^∞ : H → GL _n (Z _p )

^{, où}

Z _p = lim

←− Z/p ^ν Z

^{est l'anneau}

des entiers

p

^{-adiques. Comme}

Z _p ⊂ Q _p

^{, on obtient ainsi une} représentation linéaire

H → GL _n (Q _p )

^de aratéristique nulle.Cette représentation est sanspoint xe. En ef-fet,si

x = (x ₁ , . . . , x _n )

^{estunveteurxenon nul,onpeutsupposer (quitteàmultiplier}

x

^{par un salaire) que les}

x _i

appartiennent à

Z _p

^{et que l'un d'eux n'est pas divisible}

par

p

^{.La rédution modulo}

p

^des

x _i

^{donne alors un veteur non nulde}

F ⁿ _p

^xepar

H

^,

ontrairement à l'hypothèse.

6.4. Struture de

H

⁵⁰

Cei fait, la démonstration du théorème est immédiate. En eet, il résulte de (a), (b),

() et (d) que

(2 _K )

^est indépendante de

K

^{. D'où} l'équivalene

(2) ⇔ (3)

^{du théorème.}

Prouvonsmaintenant :

(1) ⇒ (2)

^Si

H

^{opère sans point xe sur le groupe nilpotent}

N 6 = { 1 }

^{, le entre}

C

^de

N

^{n'est pas réduit à}

{ 1 }

^.Si

p

^{est unfateur premier de}

| C |

^{,le groupe}

C p

^{deséléments}

x ∈ N

^{tels que}

x ^p = 1

^estun

F _p

^{-espaevetoriel non nuloù}

H

^{opèresans point xe.}

(3) ⇒ (1)

^{Onhoisit pour}

K

^{un orps ni. On obtient ainsiune ation sans point xe}

de

H

^{surun groupe abélien} élémentaire.

(4) ⇒ (2)

^Onprend

K = R

^.

(3) ⇒ (4)

^{On prend}

K = R

^{.On obtient une} représentation linéaire

ρ : H → GL _n (R)

sanspointxe.Comme

H

^{estni,ilexistesur}

R ⁿ

^uneformequadratiquedéniepositive invariante par

H

^{(prendre la somme des} transformés par

H

^{de la forme} quadratique standard

P x ² _i

^{) : quitte à onjuguer}

ρ

^{, on peut don supposer que}

ρ(H)

^{est ontenu}

dansle groupeorthogonal

O _n (R)

^{,don laissestable lasphère}

S _n−1

^d'équation

X n

i=1

x ² _i = 1.

Ceiahèveladémonstration du théorème.

Remarques.

(1)

^{Onpeutlasser lesgroupes}

H

^{ayant la propriété}

F

^{,f. [12 ℄.}

(2)

^Dans

(4)

^{,on nepeutpassupprimerlaonditionque}

H

^opèrelinéairement sur

S _n−1

^.

Exemple :

SL ₂ (F _p )

^pour

p > 7

^.

Exerie. Soit

H

^{un groupe ayant lapropriété}

F

^{.Montrer que :}

(i)

^Tout sous-groupe abélien de

H

^{est ylique.}

(ii)

^Si

p

^et

q

^{sont premiers,tout}sous-groupe d'ordre

pq

^de

H

^{est ylique.}

Inversement, si

H

^{est résoluble et si}

(i)

^et

(ii)

^{sont vériées, alors}

H

^{a la propriété}

F

^{(théorème de Vinent). Par ontre, on peut montrer que le groupe}

SL ₂ (F 17 )

^{a les}

propriétés

(i)

^et

(ii)

^{,maispaslapropriété}

F

^.

Transfert

7.1 Dénition

Soient

G

^{un groupe et}

H

^un sous-groupe de

G

^{d'indie ni. Soit}

X = G/H

^l'ensemble

des lasses à gauhe selon

H

^{.Pour tout}

x ∈ X

^{,on hoisit un} représentant

x ¯

^de

x

^dans

G

^.Legroupe

G

^{agit sur}

X

^.Si

s ∈ G

^et

x ∈ X

^,l'élément

s¯ x

^de

G

^{apour image}

sx

^dans

X

^.Si

sx

^{désigne le} représentant de

sx

^{,il existedon}

h _s,x ∈ H

^{tel que}

s¯ x = sx h _s,x

^.On

pose:

Ver(s) = Y

x∈X

h _s,x (mod (H, H)),

où leproduitest alulédanslegroupe

H ^ab = H/(H, H)

^.

Théorème 7.1 (Shur) L'appliation

Ver : G → H ^ab

^{dénie i-dessus est un}

homo-morphisme et nedépendpas duhoix du systèmede représentants

{ x ¯ } x∈X

^.

On ommenepar montrer quel'appliation

Ver

^{estbien dénie. Soit don}

{ x ¯ ^′ } ^x∈X

^un

autre système de représentants; alulons

Ver ^′ (s)

^{le produit relatif aux}

x ¯ ^′

^{. L'élément}

¯

x ^′ ∈ X

^{a pour image}

x

^dans

X

^{;il existe don}

h _x ∈ H

^{tel que}

x ¯ ^′ = ¯ x h _x

^.

Ona :

s x ¯ ^′ = s x h ¯ _x

= sx h s,x h x

= sx h _sx h ⁻¹ _sx h _s,x h _x

= (sx) ^′ h ⁻¹ _sx h _s,x h _x ,

d'où

Ver ^′ (s) = Q

h ⁻¹ _sx h s,x h x (mod (H, H ))

= ( Q

h _sx ) ⁻¹ Q h _s,x Q

h _x (mod (H, H)),

ar

H ^ab

^{estabélien1.Or}

Q

h _sx = Q

h _x

^ar

sx

^parourt

X

^quand

x

^parourt

X

^{,d'où :}

Ver ^′ (s) = Q

h s,x = Ver(s) (mod (H, H)),

etl'appliation

Ver

^{est biendénie.}

Montrons àprésent qu'ils'agit d'unhomomorphisme.Soient

s, t ∈ G

^{,on a:}

st x ¯ = s tx h _t,x

= stx h s,tx h t,x ,

1

And'éviterleslourdeursd'ériture,ilestsous-entenduquelesproduitssontétendusaux

x ∈ X

^.

d'où:

Comme

H ^ab

^{est abélien,} l'homomorphisme

Ver

^{se fatorise en un} homomorphisme de

G ^ab

^dans

H ^ab

^{(quenousnoterons enore}

Ver

^{),appelétransfert.}

Remarque. Le transfertestfontoriel pour lesisomorphismes :si

σ

^estunisomorphisme du ouple

(G, H)

^surleouple

(G ^′ , H ^′ )

^,lediagramme

estommutatif(ilsutdeonstaterquesi

{ x ¯ }

^{estunsystèmede}représentantsde

G/H

alors

{ σ(¯ x) }

^{en estun pour}

G ^′ /H ^′

^).

En partiulier, si l'on prend

G = G ^′

^,

H = H ^′

^et

σ(x) = gxg ⁻¹

^{, ave}

g ∈ N _G (H)

^,

ei montre que l'image de l'homomorphisme

Ver : G ^ab → H ^ab

^{est ontenue dans}

l'ensemble desélémentsde

H ^ab

^{xés par}

N _G (H)

^.

Dans le document ea iee See G efii (Page 48-52)