Sous-groupe de F rattini

2

^{nemarhepas, ar}

X ³ − 2

^estirrédutibleetlegroupede Galoisassoiéà lapluspetiteextensionpossibleontenant

√ 3

2

^est

S 3

^{dontl'ordren'estpasunepuissane}

de

2

^.

3.6 Sous-groupe de Frattini

Soit

G

^{un groupe ni.Onappelle} sous-groupe de Frattini de

G

^{eton note}

Φ(G)

l'inter-setion dessous-groupesmaximaux 2

de

G

^{. C'estun} sous-groupe aratéristique de

G

^.

Un problème intéressant est de savoir à quellesonditions une partie

S

^de

G

^engendre

legroupe

G

^{.Ona la}propositionsuivante:

Proposition 3.17 Soit

S

^{une partie de}

G

^etsoit

H

^lesous-groupe engendré par

S

^{. On}

a

H = G

^{siet seulement si}

H.Φ(G) = G

^{, i.e.si}

S

^engendre

G/Φ(G)

^.

En eet,si

H.Φ(G) = G

^et

H 6 = G

^{,il existe}

H ^′

^{maximalontenant}

H

^{et distintde}

G

^;

Φ(G)

^{estaussiontenudans}

H ^′

^{pardénition :}

G = H.Φ(G)

^{est donontenu dans}

H ^′

^,

e qui estabsurde.

Théorème 3.18 Le groupe

Φ(G)

^{est nilpotent.}

On va utiliser la aratérisation

(3)

^{du th. 3.14. Soit}

S

^un

p

^{-Sylow de}

Φ(G)

^{(pour un}

p

^premier quelonque). On a vu dans l'étude des groupes de Sylow (prop. 2.10) que

G = Φ(G).N G (S)

^.D'aprèslapropositioni-dessus,ona

N G (S) = G

^,don

S

^estnormal

dans

G

^{,don dans}

Φ(G)

^{,don est l'unique}

p

^-Sylowde

Φ(G)

^{quiest alors nilpotent.}

Dans leasoù

G

^estun

p

^{-groupe, ona une} aratérisationsimple de

Φ(G)

^:

Théorème 3.19 Si

G

^{est un}

p

^-groupe,

Φ(G)

^{est le} sous-groupe engendré par les om-mutateurs et lespuissanes

p

^-ièmesde

G

^{, i.e.}

Φ(G) = (G, G).G ^p

^.

Si

G

^estd'ordre

p ⁿ

^,sessous-groupes

H

^{maximauxsontd'ordre}

p ⁿ⁻¹

^{,donsontnormaux,}

don sont des noyaux d'homomorphismes surjetifs de

G

^dans

G/H ≃ Z/pZ

^(et

réi-proquement un tel homomorphisme dénit unsous-groupe maximal de

G

^).Don

Φ(G)

est l'intersetion des noyaux d'homomorphismes surjetifsde

G

^dans

Z/pZ

^{. Or un tel}

homomorphisme est trivialsur

(G, G)

^et

G ^p

^.Don

(G, G).G ^p ⊂ Φ(G)

^.

Réiproquement

V = G/(G, G).G ^p

^{est un espae vetoriel sur}

Z/pZ

^{, dans lequel}

0

^est

intersetiond'hyperplans.Orunhyperplanestlenoyaud'unhomomorphismede

V

^dans

Z/pZ

^.Legroupe

(G, G).G ^p

^{ontient don}

Φ(G)

^{. Finalement}

Φ(G) = (G, G).G ^p

^.

Appliation.

G/Φ(G)

^{est don le plusgrand quotient de}

G

^{qui soit abélien} élémentaire (i.e. produitde groupesyliques d'ordre

p

^).

2

Unsous-groupe

H

^de

G

^{estditmaximal s'ilestdistintde}

G

^{etmaximalpourettepropriété;on}

ditalorsquel'ationde

G

^sur

G/H

^{estprimitive.}

Corollaire 3.20 Une partie

S

^de

G

^engendre

G

^{si et seulement si son image dans}

G/(G, G).G ^p

^{engendre e groupe.}

En eet,on aalors

h S i .Φ(G) = G

^don

h S i = G

^.

Ainsi le ardinal minimum d'une partie

S

^{génératrie de}

G

^est

dim _{F p} G/Φ(G)

(dans

leas où

G

^{est un}

p

^-groupe).

Caratérisations par les sous-groupes à deux générateurs. On peut dans lamême veine

étudier si les propriétés de ertains sous-groupes de

G

^{permettent de démontrer des}

propriétés analoguespour legroupe toutentier.

Proposition 3.21 Soit

G

^{un groupe (resp. un groupe ni). Supposons que tout}

sous-groupe de

G

^{engendré par deux éléments soit ommutatif (resp.} nilpotent). Alors

G

^est

ommutatif(resp. nilpotent).

Soient

x, y ∈ G

^{. Le groupe}

h x, y i

^{est ommutatif, don}

xy = yx

^{. Pour les groupes}

nilpotentsnis, on utilise laaratérisation

(5)

^{duth. 3.14 .}

On peut sedemander si un théorème analogue est vraipour les groupesrésolubles. On

vad'abord dénir lanotiondegroupe simple minimal.Soit

G

^{ungroupe nisimplenon}

abélien.Ondit que

G

^{estminimal sitout}sous-groupede

G

^{distint de}

G

^{estrésoluble.}

Lemme 3.22 Si

G

^{n'estpasrésoluble,ilexisteun}sous-groupe

H

^de

G

^etunsous-groupe normal

K

^de

H

^{,tels que}

H/K

^{soit simple minimal.}

Exemple.

G = A ⁶

^{est simple (non minimal);on peut prendre}

H = A ⁵

^et

K = { 1 }

^.

Démonstration. Soit

H

^un sous-groupe non résoluble minimal de

G

^{et soit}

K

^un

sous-groupe normalde

H

^{,distint de}

H

^{,etmaximal. Le groupe}

K

^{estrésoluble (ar}

strite-ment ontenudans

H

^{).Le quotient}

H/K

^estsimple(ar

K

^{estmaximal)etnonabélien}

(sinon

H

^{seraitrésoluble);ilestdeplusminimal(tout}sous-groupes'obtientomme quo-tient par

K

^d'unsous-groupe

H ^′

^ontenant

K

^{etontenu dans}

H

^{,don est}résoluble).

Ona alors une réponsepartielleà notrequestion :

Proposition 3.23 Les deux assertions suivantessont équivalentes :

(1) Tout groupe simple minimalpeut être engendré par deux éléments.

(2) Toutgroupe tel que sessous-groupes engendrés par deuxéléments soientrésolubles

est résoluble.

Supposons

(2)

^.Soit

G

^{simpleminimal;si}

h x, y i 6 = G

^{pourtoutouple}

(x, y) ∈ G × G

^,alors

h x, y i

^{estrésoluble omme} sous-groupe de

G

^{strit et d'après}

(2)

^,

G

^{est aussirésoluble,}

e qui estimpossible.

Supposons

(1)

^{. Si}

G

^{n'est pas résoluble, il existe}

H

^et

K

^{omme dans le lemme 3.22 .}

Le groupe

H/K

^{est simple minimal don engendré par deux éléments}

x ¯

^et

y ¯

^{. Soit}

H ^′

le sous-groupe de

H

^{engendré par}

x

^et

y

(représentants respetifs de

x ¯

^et

y ¯

^{). C'est un}

groupe résolublepar hypothèse;or

H/K

^{estl'image parprojetionde}

H ^′

^{don estaussi}

résoluble, equi est absurde.

On est don ramené au problème suivant : trouver la liste de tous les groupes simples

minimaux et herher s'ils sont engendrés par deux éléments. Ce problème a été résolu

par Thompson, qui amontré 3

quetoutgroupe simple minimalest isomorphe àl'un des

suivants(quel'on peutengendrer pardeux éléments) :

PSL ₂ (F _p )

^,

p > 5

^,

p 6≡ ± 1 (mod 5)

^,

PSL ₂ (F 2 ^p )

^,

p

^premier

> 3

^,

PSL ₂ (F ₃ ^p )

^,

p

^premier

> 3

^,

PSL ₃ (F ₃ )

^,

groupesdeSuzuki

Sz(2 ^p )

^,

p

^premier

> 3

^.

Signalons unproblème :est-il vraiqu'un groupesimple non abélien quiest minimal au

sensnaïf(i.e. quine ontient pasdesous-groupeproprenon abélienqui soitsimple) est

minimalau sens déniplushaut? 4

3

Référenes:J.G.Thompson,Nonsolvablenitegroupsallofwhoseloalsubgroups are solvable,I,

II,

. . .

^{,VI,Bull.A.M.S.}

74

⁽



^),

383 − 437

^;Pa.J.Math.

33

⁽



^),

451 − 536

^;

. . .

^;Pa.J.Math.

51

⁽



^),

573 − 630

^.

Ilexisteunedémonstrationindépendantedu théorèmedelassiation deThompson:P.Flavell,

Finitegroupsinwhihtwoelementsgenerateasolvablegroup,Invent.math.

121 ()

^,

279 − 285

^.

4

Cohomologie et extensions

4.1 Dénitions

Soient

G

^{un groupe (noté} multipliativement) et

A

^un

G

^{-module (autrement dit un}

groupe abélien notéadditivement surlequel

G

^{opère par} automorphismes). On note

sa

letransformé de l'élément

a ∈ A

^{par l'élément}

s ∈ G

^.Ona

(st)a = s(ta),

1a = a,

s(a ₁ + a ₂ ) = sa ₁ + sa ₂ ,

si

s, t ∈ G

^et

a, a ₁ , a ₂ ∈ A

^.

Des exemplesd'unetellesituation sontdonnés par :

(1)

^{Ationtrivialed'ungroupe}

G

^{surungroupeabélien}

A

^:

sa = a

^pour

s ∈ G

^et

a ∈ A

^.

(2)

^Si

L

^{estune extension}galoisienneduorps

K

^{,de groupedeGalois}

G

^,alors

G

^opère

par automorphismessur

L

^{munide l'addition ou}

L ^∗

^{muni dela}multipliation.

Dénition 4.1 Soit

n

^{un entier positif ou nul. On appelle}

n

^{-ohaîne, ou ohaîne de}

degré

n

^sur

G

^{à valeurs dans}

A

^{toute fontionde}

n

^{variables de}

G

^{à valeurs dans}

A

^:

f :

G × G × · · · × G −→ A

(s 1 , s 2 , . . . , s n ) 7−→ f (s 1 , s 2 , . . . , s n ).

L'ensemble des ohaînes, muni de l'addition induite par elle de

A

^{, forme un groupe}

abélien noté

C ⁿ (G, A)

^.

Exemples.

n = 0

^{:par onvention, unefontion de}

0

^{variableàvaleursdans}

A

^{estunélémentde}

A

^.

D'où

C ⁰ (G, A) = A

^.Onnote

f _a

^{l'élémentde}

C ⁰ (G, A)

orrespondant àl'élément

a ∈ A

^.

n = 1

^:

C ¹ (G, A) = { f : G → A }

^.

n = 2

^:

C ² (G, A) = { f : G × G → A }

^.

Dénition 4.2 Si

f ∈ C ⁿ (G, A)

^{, on appelle obord de}

f

^{et on note}

df

^{l'élément de}

C ⁿ⁺¹ (G, A)

^{dénipar la formule :}

df(s ₁ , . . . , s _n , s _n+1 ) = s ₁ f (s ₂ , . . . , s _n+1 ) + X n

i=1

( − 1) ⁱ f (s ₁ , . . . , s _i−1 , s _i s _i+1 , . . . ) + ( − 1) ⁿ⁺¹ f(s ₁ , . . . , s _n ).

Regardons e qu'est

d

^{pour lespetitesvaleursde}

n

^.

• d : C ⁰ (G, A) −→ C ¹ (G, A)

^{. Soit}

a ∈ A

^{;on herhe}

df _a

^{.On a}

df _a (s) = sa − a

^.Noter

que

df _a = 0

^{si etseulement si}

a

^estxépar

G

^.

• d : C ¹ (G, A) −→ C ² (G, A)

^.Soit

f

^une

1

^{-ohaîne;on a}

df(s, t) = sf(t) − f (st) + f (s).

• d : C ² (G, A) −→ C ³ (G, A)

^.Soit

f

^une

2

^{-ohaîne;on a}

df(u, v, w) = uf (v, w) − f (uv, w) + f (u, vw) − f (u, v).

Théorème 4.1 (Formule fondamentale) On a

d ◦ d = 0

^{. Autrement dit,le omposé}

C ⁿ (G, A) ^{d //} C ⁿ⁺¹ (G, A) ^{d //} C ⁿ⁺² (G, A)

est nul.

Nousallonsfairelavériationseulementdanslesas

n = 0

^et

n = 1

^{,laissantenexerie}

lavériation générale.

Soit

a ∈ A

^.Ona

df _a (s) = sa − a

^d'où

d ◦ d (f _a )(s, t) = sdf _a (t) − df _a (st) + df _a (s)

= s(ta − a) − (sta − a) + (sa − a)

= 0.

Regardons maintenant

f ∈ C ¹ (G, A)

^:

d ◦ d (f )(u, v, w) = u df (v, w) − df(uv, w) + df (u, vw) − df (u, v)

= u vf (w) − f (vw) + f (v)

− uvf (w) − f (uvw) + f(uv) + uf (vw) − f (uvw) + f(u)

− uf (v) − f (uv) + f (u)

= 0.

Dénition 4.3 Une

n

^-ohaîne

f

^{est dite un}

n

^{-oyle si}

df = 0

^{. Elle est dite un}

n

-obord s'il existe une

(n − 1)

^-ohaîne

g

^telleque

f = dg

^.

D'après le th. 4.1 , tout

n

^{-obord est un}

n

^{-oyle. On note}

Z ⁿ (G, A)

^{le groupe des}

n

-oyles et

B ⁿ (G, A)

^{legroupe des}

n

^-obords.

Onnote

H ⁿ (G, A)

^{legroupequotient}

Z ⁿ (G, A)/B ⁿ (G, A)

^{etonl'appellele}

n

^-ièmegroupe

de ohomologie de

G

^{à valeurs dans}

A

^.

Exemples.

(1)

^Pour

n = 0

^{,on onvient que}

B ⁰ = { 0 }

^{. En notant}

A ^G

^{legroupedes éléments de}

A

xés par

G

^{,ona vuque}

df _a = 0 ⇐⇒ a ∈ A ^G ,

etdon

H ⁰ (G, A) = A ^G

^.

(2)

^Pour

n = 1

^{, un élément de}

Z ¹ (G, A)

^{est une appliation}

f

^de

G

^dans

A

^{telle que}

df (s, t) = 0

^{pour tous}

s, t ∈ G

^{,e qui donne}

f (st) = sf (t) + f (s).

On dit que

f

^{est un} homomorphisme roisé. Si l'ation de

G

^sur

A

^{est triviale, on a}

sf (t) = f (t)

^et

f

^{est un} homomorphisme de

G

^dans

A

^{; omme}

B ¹ (G, A) = { 0 }

^{, on a}

alors

H ¹ (G, A) = Hom(G, A),

où

Hom(G, A)

^{estlegroupe des}homomorphismesde groupesde

G

^dans

A

^.

(3)

^Pour

n = 2

^,une

2

^-ohaîne

f

^{est un}

2

^-oylesi

uf (v, w) − f (uv, w) + f (u, vw) − f (u, v) = 0

pour tous

u, v, w ∈ G

^{.Une telle ohaîne s'appelle aussiun systèmede fateurs.}

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