Appliation : groupes simples non abéliens d'ordre inférieur à 200

in-férieur à

200

Dans eŸ, onsuppose

| G | 6 200

^.

Proposition 7.11

(1) Onsuppose

G = (G, G)

^et

G 6 = { 1 }

^{. Alors l'ordre de}

G

^est

60, 120, 168

^ou

180

^.

(2) Si

G

^{est simple non abélien, alors l'ordre de}

G

^est

60

^ou

168

^et

G

^{est isomorphe à}

A 5

^ou

PSL ₂ (F ₇ )

^.

(1)

^{D'aprèsleŸ préédent, l'ordrede}

G

^{estpair etilestmême divisible par}

4

^{d'après le}

or. 7.10qui armelanon-existene de

2

^{-Sylowyliques.}

Casoùle

2

^-Sylow

H

^estd'ordre

4

^.C'estalors

Z/2Z × Z/2Z

^.Soit

N = N _G (H)

^;

N

^agitnon

trivialement sur

H

^(puisque

H ^N = { 1 }

^{,f.th.7.9 ),d'oùun}homomorphisme nontrivial

N → Aut(Z/2Z × Z/2Z)

^{(qui est d'ordre}

6

^{). Si}

N

^{s'envoie sur un} sous-groupe d'ordre

2

^de

AutH

^{, alors}

H ^N ≃ Z/2Z

^{(il sut pour le voir d'examiner les} automorphismes de

Z/2Z × Z/2Z

^).Don

3

^{divisel'ordrede}

N

^{,donaussil'ordrede}

G

^.D'oùinqpossibilités:

• | G | = 4.3.13

^{: soit}

H

^un

13

^{-Sylow et soit}

N

^son normalisateur. Alors

(G : N )

^{est le}

nombre des

13

^{-Sylow de}

G

^don

(G : N ) ≡ 1 (mod 13)

^{; omme}

(G : N)

^divise

4.3

^ela

implique

(G : N ) = 1

^etdon

H

^{est normal :'est}impossible.

• | G | = 4.3.11

^{: soit}

N

^le normalisateur d'un

11

^-Sylow

H

^{; alors}

(G : N )

^divise

4.3

^et

(G : N ) ≡ 1 (mod 11)

^{, don ou}

(G : N ) = 1

^{et 'est} impossible, ou

(G : N ) = 12

^et

alors

N = H

^puis

H ^N = H

^(puisque

H

^{estabélien)et'estimpossible (f.Ÿ 7.4 ).}

7.6. Appliation : groupessimplesnonabéliens d'ordreinférieur à

200

⁵⁷

• | G | = 4.3.7

^{: soit}

N

^le normalisateur d'un

7

^-Sylow

H

^{. Alors}

(G : N )

^divise

12

^et

(G : N ) ≡ 1 (mod 7)

^;don

(G : N ) = 1

^{: 'est}impossible.

•

^{Restentles as}

| G | = 4.3.5 = 60

^ou

| G | = 4.3 ² .5 = 180

^{(lesautres assont éliminésar}

sinon

| G | > 200

^).

Cas oùle

2

^-Sylow

H

^{est d'ordre}

8

^{.Onadeuxas possibles:}

| G | = 8.3.5

^ou

| G | = 8.3.7

^,

les autres as donnent un ordre de

G

^{trop grand. De même, le as}

| H | > 8

^{est éliminé}

pour desraisonsd'ordre. Ceidonne l'assertion

(1)

^.

(2)

^{Etudions les as}

| G | = 4.3 ² .5

^et

| G | = 8.3.5

^{: soit}

H

^un

5

^{-Sylow et soit}

N

^son

nor-malisateur; alors

(G : N ) ≡ 1 (mod 5)

^et

(G : N )

^divise

4.3 ²

^{dans un as,}

8.3

^dans

l'autre. Dans les deux as, la seule possibilité est

(G : N ) = 6

^{. Soit}

X

^{l'ensemble des}

5

^{-Sylow de}

G

^{.Le groupe}

G

^{s'envoiedans legroupe des}permutations de

X

^,'est-à-dire

S 6

^{. Comme}

G

^{est simple, il s'envoie dans}

A 6

^{. Or}

A 6

^{est d'ordre}

360

^et

G

^d'ordre

180

ou

120

^{. Le groupe}

A 6

^{ne peutavoir de} sous-groupe d'indie

m

^ave

1 < m < 6

^{(ii e}

serait

3

^ou

2

^)sinon

A ⁶

^{seplongeraitdans}

S ^m

^{,e quiestimpossiblepuisque}

|A ⁶ | > |S ^m |

^.

Les seuls ordres possibles de groupes simples non abéliens inférieurs à

200

^{sont don}

4.3.5 = 60

^et

8.3.7 = 168

^.

Struture des groupes simples d'ordre

60

^et

168

^.

Ordre

60

^{: soit}

H

^un

2

^{-Sylow de}

G

^{; alors}

H

^{ne peut pas être ylique (or. 7.10 ) et}

don (th. 7.9 )

3

^divise

| N |

⁽

N

normalisateur de

H

^{). Don}

12

^divise

| N |

^et

N 6 = G

^don

| N | = 12

^{. Ainsi}

G/N

^{est d'ordre}

5

^{et on a un} homomorphisme non trivial de

G

^dans

S 5

^{. Comme}

G

^{est simple,ela donne un plongement de}

G

^dans

A 5

^{et pour desraisons}

d'ordre, ona

G = A ⁵

^.

Ordre

168

^:soit

H

^un

7

^-Sylowde

G

^etsoit

N

^sonnormalisateur.Alors

(G : N )

^divise

8.3

et

(G : N ) ≡ 1 (mod 7)

^.Comme

N 6 = G

^,ona

(G : N ) = 8

^.Don

| N | = 21

^.Considérons lasuite exate

{ 1 } → H → N → N/H → { 1 }

^{. Comme l'ordrede}

H

^{estpremier à elui}

de

N/H

^,legroupe

N

^{est produitsemi-diret de}

N/H

^{et de}

H

^{(f.th. 4.10 ).Le groupe}

N

^adondeuxgénérateurs :

α

(générateurde

H

^)ave

α ⁷ = 1

^et

β

(générateurde

N/H

⁾

ave

β ³ = 1

^. L'automorphisme

x 7→ βxβ ⁻¹

^de

H

^estd'ordre

3

^{;'est don,soit}

x 7→ x ²

^,

soit

x 7→ x ⁻²

^{.Quitte à remplaer}

β

^par

β ⁻¹

^{,on peut supposer que'est}

x 7→ x ²

^{. Ona}

alors

βαβ ⁻¹ = α ²

^.

Soit

X

^{l'ensemble des}

7

^{-Sylow de}

G

^{. Alors}

H

^{opère sur}

X

^{et xe lui-même omme}

élément de

X

^{;appelonset élément}

∞

^{.On a}

X = {∞} ∪ X ₀

^ave

| X ₀ | = 7

^{.Le groupe}

H

^{opère librement sur}

X ₀

^(ar

H

^{est ylique d'ordre}

7

^{). L'élément}

β

^{opère sur}

X

^et

xe

∞

^ar

β ∈ N

^.Comme

β ³ = 1

^{,il existe}

x ₀ ∈ X ₀

^{tel que}

βx ₀ = x ₀

^.Alors

X = { x ₀ , αx ₀ , . . . , α ⁶ x ₀ , ∞} .

Onidentie

X

^à

P ₁ (F ₇ )

^{en indexant}

α ⁱ x ₀

^par

i

^.

L'élément

α

^{opère sur}

P ₁ (F ₇ )

^{par :}

α(i) = i + 1

^si

i < 6

^,

α(6) = 0

^et

α( ∞ ) = ∞

^.

L'élément

β

^opèrepar:

β( ∞ ) = ∞

^,

β(0) = 0

^;deplus

βα = α ² β

^d'où

β(i + 1) = β(i)+ 2

et

β(i) = 2i

^{pour tout}

i

^{. Ainsi}

α

^{agit sur}

P ₁ (F ₇ )

^{omme une} translation et

β

^omme

une homothétie. Soit

C

^le sous-groupe ylique de

N

^{engendré par}

β

^{et soit}

M

^son

normalisateur dans

G

^{. Comme}

C

^{est un}

3

^{-Sylow ylique de}

G

^,

2

^divise

| M |

^{(f. th.}

7.9).Le groupe

M

^{agit de façon nontriviale sur}

C

^{(f.Ÿ 7.4 ) etdon ilexiste}

γ

^telque

γCγ ⁻¹ = C

^et

γβγ ⁻¹ = β ⁻¹

^.Comme

γ / ∈ C

^et

γ 6 = α ⁿ

^(ar

α / ∈ M

^),

γ

^{peut être hoisi}

d'ordre

2 ⁿ

^.

7.6. Appliation : groupessimplesnonabéliens d'ordreinférieur à

200

⁵⁸

L'élément

γ

^{transforme une orbite de}

C

^{en une orbite de}

C

^don

γ ( { 0, ∞} ) = { 0, ∞}

^.

Or

γ

^{opère sans point xe sur}

X

^{, ar sinon il serait onjugué à un élément de}

N

^{, e}

qui est impossible puisque

| N |

^{est impair. Don}

γ(0) = ∞

^et

γ( ∞ ) = 0

^{. Comme}

γ ²

xe

∞

^{, on a}

γ ² ∈ N

^{. Comme}

γ

^{est d'ordre pair, on a}

γ ² = 1

^{. Don}

γ

^{permute les}

deux orbites

{ 1, 2, 4 }

^et

{ 3, 6, 5 }

^{. Posons}

γ(1) = λ

^.Alors

λ

^{est égal à}

3, 6

^ou

5

^.Comme

γβ = β ⁻¹ γ

^{, on a}

γ(2i) ≡ γ(i)/2 (mod 7)

^{. D'où}

γ (i) = λ/i

^et

γ

^{est une} homographie.

D'où

γ ∈ PGL ₂ (F ₇ )

^.Comme

− λ

^{est unarré,on a}

γ(i) = − µ

µ ⁻¹ i

ave

µ ² = − λ

^.Le déterminant de lamatrie

0 − µ µ ⁻¹ 0

étant égal à

1

^{,on a}

γ ∈ PSL ₂ (F ₇ )

^.

Or

α, β

^et

γ

^engendrent

G

^{. En eet, soit}

G ^′

^le sous-groupe de

G

^{engendré par es}

éléments. Alors

G ^′

^ontient

N

^et

γ

^{(d'ordre pair). Si}

G ^′ 6 = G

^{, alors}

G ^′

^{est d'indie}

2

^ou

4

^et

G

^{s'envoie dans}

A 4

^ou

A 2

^{, e qui est} impossible. Don

G = G ^′

^{. On a un}

homomorphisme injetif

G → PSL ₂ (F ₇ )

^{. Comme esdeux groupes ont lemême ordre,}

'estun isomorphisme.

Théorie des aratères

A.1 Représentations et aratères

Soient

G

^{un groupe,}

K

^{un orps et}

V

^{un espae vetoriel de dimension nie}

n

^{sur le}

orps

K

^{.Apartir duth.A.2 ,on supposeque}

K = C

^etque

G

^estni.

Dénition A.1 On appelle représentation linéaire de

G

^dans

V

^{la donnée d'un}

homo-morphisme

ρ

^de

G

^dans

GL(V )

^{. La dimension de}

V

^{est appelée le degré dela}

représen-tation.

Remarques.

(1)

^{Ondénitainsiune opérationde}

G

^sur

V

^par

s.x = ρ(s)(x)

^pour

x ∈ V

^et

s ∈ G

^.

(2)

^Si

ρ

^{est donné,}

V

^{estappeléespae de}représentation de

G

^{ou simplement}

représen-tation de

G

^{;onéritsouvent}

ρ _V

^{aulieu de}

ρ

^.

Si

V 1

^et

V 2

^{sont des} représentations de

G

^{assoiées aux} homomorphismes

ρ 1

^et

ρ 2

^{, on}

peutdénir:

•

^{Lasommedirete}

V ₁ ⊕ V ₂

^de

V ₁

^et

V ₂

^:'estlareprésentation

ρ : G → GL(V ₁ ⊕ V ₂ )

^telle

que

ρ(s) = ρ 1 (s) ⊕ ρ 2 (s)

^{.Sionhoisitunebasede}

V = V 1 ⊕ V 2

^assoiéeàladéomposition en sommedirete, lamatrie assoiéedansette baseà

ρ(s)

^{estla matrie:}

A ₁ (s) 0 0 A ₂ (s)

où

A _i (s)

^{estla matrieassoiéeà}

ρ _i (s)

^{danslabase de}

V _i

orrespondante.

•

^{Le produit tensoriel}

V ₁ ⊗ V ₂

^:

ρ(s)(x ⊗ y) = ρ ₁ (s)(x) ⊗ ρ ₂ (s)(y)

^{pour tout}

x ∈ V ₁

^et

tout

y ∈ V ₂

^.

•

^{Le dual}

V ₁ ^∗

^de

V ₁

^:

ρ(s).l(x) = l ρ ₁ (s ⁻¹ ).x

pour tout

l ∈ V ₁ ^∗

^ettout

x ∈ V ₁

^.

• Hom(V 1 , V 2 )

^{que l'on peut identier à}

V ₁ ^∗ ⊗ V 2

^:

ρ(s).h(x) = ρ 2 (s)h ρ 1 (s) ⁻¹ .x

pour

tout

x ∈ V ₁

^.

et...

Caratère d'une représentation

Soit

V

^{un espae vetoriel munid'unebase}

(e _i ) _{16i6 n}

^et

ρ

^{une appliation linéaire de}

V

dans lui-même de matrie

a = (a _ij )

^{. On note}

Tr(ρ) = P

i a _ii

^{la trae de la matrie}

a

(elle estindépendante de labasehoisie).

Si, maintenant

V

^{est une} représentation d'un groupe ni

G

^{,on dénit une fontion}

χ _V

sur

G

^{àvaleursdans}

K

^par

χ _V (s) = Tr ρ _V (s)

où

ρ _V

^estl'homomorphisme assoiéà lareprésentation

V

^{.La fontion}

χ _V

^{estappelée le}

aratère de lareprésentation

V

^.

Onsuppose désormais que

K = C

^{etque legroupe}

G

^{est ni.Soit}

V

^unereprésentation de

G

^{.Onpose :}

Dans unebase assoiée àette déomposition, lamatrie de

π

^{s'érit :}



Corollaire A.4 Si

V ^′

^{est un sous-espae vetoriel de}

V

^{, stable sous l'ation de}

G

^{, il}

existe un supplémentaire de

V ^′

^dans

V

^{stable aussi sous l'ationde}

G

^.

Considérons lasuite exate:

0 ^// Hom(V ^′′ , V ^′ ) ^// Hom(V ^′′ , V ) ^// Hom(V ^′′ , V ^′′ ) ^// 0

où

V ^′′ = V /V ^′

^.Soit

x = Id _V ^′′ ∈ Hom(V ^′′ , V ^′′ )

^;

x

^{est invariant sous l'ation de}

G

^don,

d'après le or. A.3, il existe

ϕ : V ^′′ → V

^{invariant sous l'ation de}

G

^{et s'envoyant sur}

x

^.Don

ϕ

^{ommute ave}

G

^:

(s ⁻¹ .ϕ)(v) = ϕ(v) = s ⁻¹ .ϕ(sv)

si

v ∈ V ^′′

^et

s ∈ G

^.Don

s.ϕ(v) = ϕ(s.v)

^.

L'homomorphisme

ϕ

^{estunesetion(ar}

p ◦ ϕ = x

^où

x = Id _V ^′′

^et

p : V → V ^′′

^projetion)

don

V = V ^′ ⊕ Im ϕ

^et

Im ϕ

^{est stablesousl'ation de}

G

^.

Dénition A.2 Soit

ρ : G → GL(V )

^une représentation linéaire de

G

^{. On dit qu'elle}

est irrédutiblesi

V 6 = 0

^{etsiauun sous-espae vetoriel de}

V

^{n'eststable par}

G

^{, àpart}

0

^et

V

^.

Ona alors le

Théorème A.5 Toutereprésentationestsommediretedereprésentationsirrédutibles.

Onraisonne par réurrenesurla dimensionde lareprésentation

V

^.

C'est évident si

dim V 6 1

^{. Sinon, ou bien}

V

^est irrédutible, ou bien il existe un sous-espae vetoriel propre

6 = 0

^de

V

^{stable sous l'ation de}

G

^{don, d'après le or.}

A.4, ilexisteune déomposition ensommedirete

V = V ^′ ⊕ V ^′′

^ave

dim V ^′ < dim V

^et

dim V ^′′ < dim V

^etoù

V

^et

V ^′

^{sontstablespar}

G

^.Onappliquel'hypothèsederéurrene à

V ^′

^et

V ^′′

^{:ils sont sommesdiretes de} représentationsirrédutibles don aussi

V

^.

Remarque. Iln'yapasuniitédeladéomposition:siparexemple

G

^opèretrivialement sur

V

^,déomposer

V

^{en somme diretede} représentations irrédutibles revient simple-ment àérire

V

^{ommesommediretededroites, equipeut sefairede biendesfaçons}

(si

dim V > 2

^).

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