F usion

(3)

^Soit

g ∈ G

^{. Ona}

gQg ⁻¹ ⊂ gHg ⁻¹ = H

⁽

H

^{est normal). Or}

gQg ⁻¹

^{est un}

p

^-Sylow

de

H

^{, don il existe}

h ∈ H

^{tel que}

gQg ⁻¹ = hQh ⁻¹

^{, don}

h ⁻¹ g ∈ N _G (Q)

^{et don}

g ∈ H.N G (Q)

^.Ainsi

G ⊂ H.N G (Q)

^,don

H.N G (Q) = G

^.

Corollaire 2.11 Soit

S

^un

p

^{-Sylow de}

G

^{et soit}

H

^un sous-groupe de

G

^ontenant

N G (S)

^{. Alors}

N G (H) = H

^.

H

^{estnormal dans}

N _G (H)

^etontient

S

^{qui estdon un}

p

^{-Sylow de}

H

^{.On applique le}

point

(3)

^{de la} proposition i-dessus :

H.N G (S) = N G (H)

^{. Don}

N G (H) ⊂ H

^{d'où le}

résultat.

En partiulier, si

S

^estun

p

^-Sylowde

G

^,ona

N _G N _G (S)

= N _G (S)

^.

2.4 Fusion

Soit

S

^un

p

^-Sylowde

G

^.Onnote

N

^lenormalisateurde

S

^dans

G

^{.Onseposeleproblème}

de savoir sideuxéléments de

S

^{onjugués dans}

G

^{sont onjugués dans}

N

^{.On ala:}

Proposition 2.12 (Burnside) Soient

X

^et

Y

^{deuxpartiesdu entre de}

S

^{, onjuguées}

dans

G

^etsoit

g ∈ G

^telque

gXg ⁻¹ = Y

^{. Alors il existe}

n ∈ N

^{tel que}

nxn ⁻¹ = gxg ⁻¹

pourtout

x ∈ X

^{. En} partiulier,

nXn ⁻¹ = Y

^.

On veut trouver

n ∈ N

^{tel que}

nxn ⁻¹ = gxg ⁻¹

^{pour tout}

x ∈ X

^i.e.

g ⁻¹ nxn ⁻¹ g = x

pour tout

x ∈ X

^{.Donon herhe}

n ∈ N

^{tel que}

g ⁻¹ n ∈ A = C _G (X)

^(le entralisateur de

X

^).Or

X

^{estontenu dansleentrede}

S

^don

A

^ontient

S

^.Demême,

Y = gXg ⁻¹

don

g ⁻¹ Sg

^{est ontenu dans}

A

^{. Les groupes}

S

^et

g ⁻¹ Sg

^{sont des}

p

^{-Sylow de}

A

^(il

sut de regarder leurs ordres) don sont onjugués dans

A

^{: il existe}

a ∈ A

^{tel que}

ag ⁻¹ Sga ⁻¹ = S

^.Don

n = ga ⁻¹

^{appartient à}

N

^et

g ⁻¹ n

^{appartient à}

A

^.

Corollaire 2.13 Soient

x

^et

y

^{deux éléments du entre de}

S

^{. S'ils sontonjugués dans}

G

^{, ilssont onjugués dans}

N

^.

Remarque. L'hypothèse

x

^et

y

appartiennent auentrede

S

^{nepeutêtresupprimée:}

si l'onprend

G = GL ₃ (Z/pZ)

^et

Disonsque deuxéléments

x, y

^de

S

^{sontloalement onjugués s'ilexiste un}sous-groupe

U

^de

S

^{lesontenant tel que}

x

^et

y

^{soient onjuguésdans}

N _G (U )

^.

Théorème 2.14 (Alperin) La relation d'équivalene sur

S

^{engendrée par la relation}

x

^et

y

^{sontloalement onjugués est la relation}

x

^et

y

^{sontonjugués dans}

G

^.

Cela résulte duthéorème pluspréis suivant :

Théorème 2.16 Soit

A

^{une partiede}

S

^etsoit

g ∈ G

^telque

A ^g ⊂ S

^{.Il existe alorsun}

Le théorème i-dessusestun orollairede elui-i(prendre

A

^{réduit àun élément).}

Démonstration.Soit

T

^lesous-groupede

S

^{engendré par}

A

^{.Onraisonnepar réurrene}

sur l'indie

(S : T )

^de

T

^dans

S

^{. Si et indie est}

1

^{, on a}

T = S

^{, d'où}

S ^g = S

^et

g ∈ N _G (S)

^{.Onprend alors}

n = 1

^,

g ₁ = g

^et

U ₁ = S

^.

Supposons don

(S : T ) > 1

^{, i.e.}

T 6 = S

^{. Le groupe}

T ₁ = N _S (T )

^{est alors distint de}

T

^.C'estun

p

-sous-groupede

N _G (T )

^.Choisissonsun

p

^-Sylow

Σ

^de

N _G (T )

^ontenant

T ₁

^.

D'après le th. 2.6, il existe

u ∈ G

^{tel que}

Σ ^u ⊂ S

^{. Posons d'autre part}

V = T ^g

^{; on a}

V ⊂ S

^{par hypothèse. Legroupe}

Σ ^g

^estun

p

^-Sylowde

N _G (V ) = N _G (T ) g

.

Comme

N _S (V )

^estun

p

-sous-groupede

N _G (V )

^,ilexiste

w ∈ N _G (V )

^telque

N _S (V ) w

⊂ Σ ^g

^.Posons

v = u ⁻¹ gw ⁻¹

^{.On a}

g = uvw

^.

Onva maintenant déomposer

u

^et

v

^:

(i) On a

T ^u ⊂ Σ ^u ⊂ S

^{. Comme l'indie de}

T ₁

^dans

S

^{est stritement inférieur à elui}

de

T

^,l'hypothèse deréurrene montrequ'ilexiste dessous-groupes

U ₁ , . . . , U _m

^de

S

^et

deséléments

u ₁ ∈ N _G (U ₁ ), . . . , u _m ∈ N _G (U _m )

^ave

u = u ₁ · · · u _m

^et

T ₁ ^{u 1 ···u i−1} ⊂ U _i

^pour

1 6 i 6 m

^.

(ii) Posons

T ₂ = N _S (V )

^et

T ₃ = T ₂ ^{v −1} = T ₂ ^{wg −1 u}

^.Comme

T ₂ ^w

^{est ontenu dans}

Σ ^g

^{,on a}

T ₃ ⊂ Σ ^{gg −1 u} = Σ ^u

^.Legroupe

T ₃

^{estontenudans}

S

^,et

T ₃ ^v = T ₂

^{aussi.Commel'indiede}

T ₃

^{eststritementinférieuràeluide}

T

^{,onendéduitommei-dessusl'existenede}

sous-groupes

V ₁ , . . . , V _r

^de

S

^{et d'éléments}

v _j ∈ N _G (V _j )

^,ave

v = v ₁ · · · v _r

^et

T ₃ ^{v 1 ···v j−1} ⊂ V _j

pour

1 6 j 6 r

^.

Il resteàvérierquelessous-groupes

U ₁ , . . . , U _m , V ₁ , . . . , V _r , V

^de

S

^etladéomposition

g = u ₁ · · · u _m v ₁ · · · v _r w

^de

g

^{satisfontaux onditionsdu théorème.}

Ona

u _i ∈ N _G (U _i ), v _j ∈ N _G (V _j ), w ∈ N _G (V )

par onstrution, ainsique

T ^{u 1 ···u i−1} ⊂ U _i

⁽

1 6 i 6 m

^{) puisque}

T

^{estontenu dans}

T ₁

^.

Il reste à voirque

T ^{u 1 ···u m v 1 ···v j−1} ⊂ V _j

pour

1 6 j 6 r

^.

Or

T ^{u 1 ···u m} = T ^u

^{est ontenu dans}

T ₃ = T ₂ ^{wg −1 u}

^{; en eet,}

V = T ^g

^{est normalisé par}

w ⁻¹

^{;on adon}

T ^{gw −1} = V ⊂ N _S (V ) = T ₂

^,d'où

T ⊂ T ₂ ^{wg −1}

^et

T ^u ⊂ T ₂ ^{wg −1 u}

^.

Ondéduit de làque

T ^{u 1 ···u m v 1 ···v j−1} = T ^{uv 1 ···v j−1} ⊂ T ₃ ^{v 1 ···v j−1} ⊂ V _j ,

e qui ahève ladémonstration.

Groupes résolubles et groupes

nilpotents

3.1 Groupes résolubles

Soit

G

^{un groupe etsoient}

x, y

^{deux éléments de}

G

^.L'élément

x ⁻¹ y ⁻¹ xy

^{est appelé le}

ommutateur de

x

^et

y

^.Onlenote

(x, y)

^.Ona

xy = yx(x, y).

Si

A

^et

B

^{sont deux} sous-groupes de

G

^{, on note}

(A, B)

^{le groupe engendré par les}

ommutateurs

(x, y)

^ave

x ∈ A

^et

y ∈ B

^{. Le groupe}

(G, G)

^{est appelé le groupe des}

ommutateurs de

G

^{ou enore le groupe dérivé de}

G

^{et est noté}

D(G)

^{. C'est un}

sous-groupe aratéristique de

G

^{.De sadénitionrésulteaussitt la:}

Proposition 3.1 Soit

H

^un sous-groupe de

G

^{. Les propriétés suivantes sont}

équiva-lentes :

(1)

H

^ontient

D(G)

^.

(2)

H

^{est normal et}

G/H

^{est abélien.}

En e sens,

G/D(G)

^{estleplus grandquotient abélien de}

G

^{.Onlenote parfois}

G ^ab

^.

Onpeutitérerleproédé etdénirlasuite dessous-groupesdérivésde

G

^:

D ⁰ G = G,

D ⁿ G = (D ⁿ⁻¹ G, D ⁿ⁻¹ G)

^pour

n > 1.

Ona

G ⊃ D ¹ G ⊃ D ² G ⊃ · · ·

^.

Dénition 3.1 Ungroupe

G

^{est dit résolubles'il existeunentier}

n > 0

^{tel que}

D ⁿ G = { 1 }

^{. On appelle alors lasse de} résolubilité de

G

^{et on note}

cl(G)

^{le plus petit entier}

n

positif pour lequel

D ⁿ G = { 1 }

^.

Ainsi,

cl(G) = 0

^{équivaut à}

G = { 1 }

^et

cl(G) 6 1

^{équivaut àdire que}

G

^{est abélien.}

Proposition 3.2 Soit

G

^{un groupe et soit}

n

^{un entier}

> 1

^{. Les propriétés suivantes}

sont équivalentes :

(1)

G

^{est résoluble de lasse}

6 n

^,

(2) Il existe une suite

G = G ₀ ⊃ G ₁ ⊃ · · · ⊃ G _n = { 1 }

^de sous-groupes normaux de

G

tels que

G _i /G _i+1

^{soit abélien pour}

0 6 i 6 n − 1

^,

(2') Il existe une suite

G = G ₀ ⊃ G ₁ ⊃ · · · ⊃ G _n = { 1 }

^de sous-groupes de

G

^{tels que}

G _i

^{soit normal dans}

G _i−1

^{et que}

G _i−1 /G _i

^{soit abélien, pour}

1 6 i 6 n

^,

(3) Il existe un sous-groupe abélien

A

^{normal dans}

G

^{tel que}

G/A

^{soit résoluble de}

lasse

6 n − 1

^.

(1) ⇒ (2)

^Posons

G _i = D ⁱ G

^{pour tout}

i > 0

^{. Puisque}

D(G)

^{est stable par tout}

auto-morphisme (même non intérieur!) de

G

^,

D ⁱ G

^{est normal dans}

G

^{pour tout}

i

^{.La suite}

(G _i ) _i>0

^{ainsidénievérie don}

(2)

^.

(2) ⇒ (2 ^′ )

^{est trivial.}

(2 ^′ ) ⇒ (1)

^{Par réurrenesur}

k

^onvoitque

D ^k G ⊂ G _k

^{pour tout}

k

^,d'où

D ⁿ G = { 1 }

^.

(1) ⇒ (3)

^Onprend

A = D ⁿ⁻¹ G

^.

(3) ⇒ (1)

^D'aprèsl'impliation

(1) ⇒ (2)

^{,appliquée à}

G/A

^età

n − 1

^{,ilexiste unesuite}

A ₀ = G ⊃ A ₁ · · · ⊃ A _n−1 = A

de sous-groupes normauxde

G

^{tellequelasuite desquotients}

G/A ⊃ A ₁ /A ⊃ · · · ⊃ A _n−1 /A = { 1 }

vérie laondition

(2)

^{. Alorslasuite}

G ⊃ A ₁ ⊃ · · · ⊃ A _n−1 ⊃ { 1 }

vérie la ondition

(2)

^et l'impliation

(2) ⇒ (1)

^{appliquée à}

G

^{et à}

n

^{permet de}

onlure.

Remarque.Toutsous-groupe(ettoutgroupequotient)d'ungrouperésolubledelasse

6 n

est résoluble delasse

6 n

^.

Proposition 3.3 Soit

G

^{un groupe ni et soit}

G = G ₀ ⊃ G ₁ ⊃ · · · ⊃ G _n = { 1 }

^une

suite de Jordan-Hölder de

G

^{. Pour que}

G

^{soit résoluble, il faut et il sut que}

G _i /G _i+1

soit ylique d'ordre premier pour

0 6 i 6 n − 1

^.

Remarquons d'abord que si un groupe est simple etrésoluble, alors son groupe dérivé,

étant normal, est réduit à

{ 1 }

^{;le groupe estdon abélien et, étant simple, estylique}

d'ordre premier. Lethéorème en résulte.

Exemples.

(1)

^Lesgroupes

S n

^{sont résolublessietseulement si}

n 6 4

^.

(2)

^{Ungroupe simple nonabélien n'est pasrésoluble.}

(3)

^Soit

V

^{unespae vetoriel de dimension}

n

^{surun orpsommutatif}

K

^etsoit

V = V ₀ ⊃ V ₁ ⊃ · · · ⊃ V _n = 0

un drapeau omplet(i.e. une suite déroissantede sous-espaesvetoriels de

V

^{tels que}

codim(V _i ) = i

^{).On pose}

G = { s ∈ GL(V ) | sV _i = V _i , 0 6 i 6 n }

(si on hoisit dans

V

^{une base adaptéeau drapeau,}

G

^{peut être identié au groupe des}

matriestriangulaires supérieures).

Ondénit alors une suite desous-groupes

(B i ) 06i6n

^de

G

^par

B i = { s ∈ G | (s − 1)V j ⊂ V i+j , 0 6 j 6 n − i } .

En partiulier,

B ₀ = G

^.

Onvadémontrer que

(B _j , B _k ) ⊂ B _j+k

^pour

0 6 j 6 n

^et

0 6 k 6 n

^ave

0 6 j + k 6 n

^.

Soienten eet

s ∈ B _j

^,

t ∈ B _k

^et

x ∈ V _i

^{.Il existe}

v _i+k ∈ V _i+k

^{tel que}

tx = x + v _i+k ,

puis

stx = sx + sv _i+k = x + w i+j + v _i+k + t _i+j+k

(ave

w _i+j ∈ V _i+j

^et

t _i+j+k ∈ V _i+j+k

^).Demême

tsx = t(x + w i+j ) = x + v _i+k + w i+j + t ^′ _i+j+k

(ave

t ^′ _i+j+k ∈ V _i+j+k

^).Don

stx ≡ tsx (mod V _i+j+k )

ou enore

s ⁻¹ t ⁻¹ stx ≡ x (mod V _i+j+k )

d'oùle résultat.Enpartiulier :

• (B ₀ , B _i ) ⊂ B _i

^pour

0 6 i 6 n

^{,don les}

B _i

^{sontnormaux dans}

B ₀ = G

^.

• (B _i , B _i ) = D(B _i ) ⊂ B _2i ⊂ B _i+1

^pour

1 6 i 6 n

^{, don les quotients}

B _i /B _i+1

^sont

abélienspour

1 6 i 6 n − 1

^.

•

^Enn,

B ₀ /B ₁ = G/B ₁

^{s'identieau groupedesmatriesdiagonales (abélienar}

K

^est

ommutatif).Donlasuite

B ₀ = G ⊃ B ₁ ⊃ · · · ⊃ B _n = { 1 }

^{vérielaondition}

(2)

^et

G

est résoluble.

(4)

^{On verra} ultérieurement (th. 5.4) que tout groupe d'ordre

p ^a q ^b

^(où

p

^et

q

^sont

premiers) estrésoluble.

(5)

Mentionnonsaussile(trèsdiile)théorèmedeFeit-Thompson 1

:toutgrouped'ordre

impair estrésoluble (ou enore :l'ordred'ungroupe simple nonabélien estpair).

(6)

^{Lesgroupesrésolubles}interviennententhéoriedesorps.Soit

K

^unorpsde

araté-ristique

0

^etsoit

K

^{unelturealgébriquede}

K

^.Onnote

K _rad

^{lepluspetitsous-orpsde}

K

^ontenant

K

^{telquepour tout}

x ∈ K _rad

^ettoutentier

n > 1

^,onait

x ^1/n ∈ K _rad

^.On

démontrequ'uneextension galoisienneniede

K

^{estontenuedans}

K _rad

^{sietseulement}

si songroupe de Galois est résoluble (i.e. une équation est résoluble par radiaux si et

seulement sisongroupede Galois estrésoluble.C'est delàqueprovient laterminologie

résoluble).

1

Référene:W.FeitetJ.G.Thompson,Solvabilityofgroupsofoddorder,PaiJ.Math.

13

⁽



^),

775 − 1029

^.

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