COMBINATOIRE ALG´EBRIQUE AUTOUR DE LA FORMULE D’INVERSION DE LAGRANGE

AUTOUR DE LA FORMULE D’INVERSION DE LAGRANGE

R´esum´e. Notes du cours de combinatoire de l’´Ecole Doctorale MSTIC, Universit´e Gustave Eiffel, 2020-2021.

1. Introduction

La formule d’inversion de Lagrange (1768, [27]) est un outil classique en combi- natoire ´enum´erative. Elle permet de r´esoudre les ´equations fonctionnelles v´erifi´ees par les s´eries g´en´eratrices de nombreuses structures. De plus, la s´erie de Lagrange g´en´erique, r´esolvant l’´equation du point fixe g(t) =f(tg(t)) pour une s´erie g´en´erique f(t) est int´eressante par elle-mˆeme. En ´ecrivant la r´ecurrence v´erifi´ee par ses co- efficients, on peut reconnaˆıtre la grammaire du langage de Lukasiewicz et obtenir ainsi une preuve combinatoire de la formule de Lagrange (1960, [34]). Les mots de ce langage (les codes polonais des arbres plans) peuvent ˆetre vus comme de fonc- tions de parking croissantes. En prenant pour f(t) la s´erie g´en´eratrice des fonction sym´etriques compl`etes, le coefficient g<sub>n</sub> peut ˆetre interpr´et´e comme une fonction sym´etrique, et la preuve combinatoire montre alors qu’il s’agit de la caract´eristique de la repr´esentation du groupe sym´etriqueS<sub>n</sub> sur l’ensemble des fonctions de parking de taille n [13]. Mais les fonctions sym´etriques ont des analogues non commutatifs naturels, et dans ce contexte, l’´equation du point fixe devient exactement la gram- maire de Lukasiewicz. La fonction sym´etrique non commutative correspondant `a gn

est alors la caract´eristique de l’action de l’alg`ebre 0-HeckeH_n(0) sur les fonctions de parking. On peut raffiner cette caract´eristique en prenant en compte la somme des fonctions de parking, qui est invariante par cette action. La s´erie obtenue v´erifie alors une ´equation fonctionnelle qui redonne la q-inversion de Lagrange non commutative de Gessel [30, 11].

L’alg`ebre des fonctions sym´etriques non commutative se plonge dans une alg`ebre de Hopf de permutations, elle-mˆeme incluse dans une alg`ebre de Hopf de fonctions de parking. `A ce niveau, la s´erie de Lagrange g´en´erique devient la somme formelle de toutes les fonctions de parking, et toutes ses sp´ecialisations proviennent d’un caract`ere de cette alg`ebre [32].

L’inversion de Lagrange classique calcule l’antipode de l’alg`ebre de Hopf de Fa`a di Bruno, associ´ee au groupe de composition des s´eries enti`eres formelles v´erifiant f(0) = 0, f<sup>′</sup>(0) = 1. La version non commutative calcule l’antipode d’un analogue non commutatif de cette alg`ebre de Hopf, qui existe bien que la composition des s´ereis formelles `a coefficients non commutatifs ne soit pas associative. Son existence d´ecoule en fait de celle d’un groupe de s´eries non commutatives dont les coefficients

Date: 9 mars 2021.

1

sont index´es par des arbres. C’est le groupe de s´eries associ´e a un op´erade libre ayant un g´en´erateur en chaque degr´e [28].

Apr`es avoir expos´e la th´eorie classique, nous aurons donc l’occasion de passer en revue l’univers des nombres de Catalan, ce qui nous conduira naturellement `a la preuve combinatoire. La version sym´etrique nous donnera l’occasion de pr´esenter sommairement la th´eorie des caract`eres du groupe sym´etrique et d’obtenir celui de la repr´esentations sur les fonctions de parking. Nous aborderons ensuite les fonctions sym´etriques non commutatives, et leur interpr´etation en termes de repr´esentations de la 0-alg`ebre de Hecke. Celle-ci n’´etant pas semi-simple, il nous faudra introduire la notion de groupe de Grothendieck, et celle d’anneau de Grothendieck d’une tour d’alg`ebres. Nous aurons ´egalement l’occasion d’exposer quelques g´en´eralit´es sur les alg`ebres de Hopf combinatoires, et sur leur lien avec la th´eorie de op´erades.

2. La formule classique

Dans sa version la plus simple, la formule d’inversion de Lagrange donne les coeffi- cients de Taylor de l’inverse compositionnel d’une fonction analytique ou d’une s´erie formelle :

(1) f(z) =X

n≥1

f_nzⁿ (f₁ 6= 0), g(z) =X

n≥1

g_nzⁿ, g(f(z)) =f(g(z)) =z.

2.1. Version analytique. La m´ethode la plus directe pour l’obtenir est sans doute le calcul des r´esidus. On a, pour un petit cercle C entourant l’origine

(2) gn = 1

2πi I

C

g(z) dz zⁿ⁺¹

On peut faire le changement de variable variable w = g(z), de sorte que z = f(w), ce qui donne

(3) g_n = 1

2πi I

C^′

wf^′(w)dw f(w)ⁿ⁺¹ = 1

2πi I

C^′

wd

f(w)⁻ⁿ

−n

et, en int´egrant par parties,

(4) gn = 1

2πi I

C^′

dw

nf(w)ⁿ = 1

nRes₀f(w)⁻ⁿ.

Pour le mˆeme prix, on peut calculer g(z)^m pour m∈ Z quelconque : Comme Jabo- tinsky [25], posons

(5) f(z)^m =X

n≥1

fm,nzⁿ and g(z)^m =X

n≥1

gm,nzⁿ. Le mˆeme calcul donne alors

(6) g_m,n= 1 2πi

I

C

g(z)^m dz zⁿ⁺¹ = m

n 1 2πi

I

C^′

1 f(w)ⁿ

dw

w^−m+1 = m

nf_−n,−m. On trouve le logarithme en ´ecrivant

(7) 1

2πi I

C

log g(z)

z

dz zⁿ⁺¹ = 1

nf_−n,0.

2.2. Version formelle. Ce calcul fonctionne aussi bien avec les s´eries formelles, il n’y a en fait pas besoin d’analyse complexe. On d´efinit le r´esidu d’une s´erie de Laurent formelle par

(8) Res_z=0 X

n∈Z

anzⁿ

!

dz =a₋₁.

Alors le calcul ci dessus d´ecoule de l’observation qu’une diff´erentielle n’a pas de r´esidu (puisque z⁻¹ n’est pas la d´eriv´ee d’une puissance de z), et de l’invariance du r´esidu par changement de variables :

(9) g(f(z))f^′(z)dz =X

n

g_nf(z)ⁿf^′(z)dz= g₋₁f^′(z)

f(z) + X

n6=−1

df(z)ⁿ⁺¹ n+ 1 . a pour r´esidu g₋₁ = Res_w=0g(w)dw.

Dans les applications, il est souvent commode d’´ecrire f(z) sous la forme

(10) f(z) = z

ϕ(z) et de poser aussi g(z) =zc(z) de sorte que

(11) cn = 1

n+ 1[zⁿ]ϕ(z)ⁿ⁺¹. 2.3. Variantes de la formule.

2.3.1. Lagrange-B¨urmann. Soit Φ(z) une s´erie formelle quelconque. En ´ecrivant Φ(g(z)) = X

m≥0

Φ_mg(z)^m= Φ₀+X

m≥1

Φ_mX

n≥1

m

nf_−n,−mzⁿ

= Φ₀+X

n≥1

1

nRes_w=0 X

m≥0

mΦ_mw^m−1ϕ(w)ⁿ wⁿ dw

! zⁿ

on obtient

(12) [zⁿ]Φ(g(z)) = 1

n[wⁿ⁻¹]Φ^′(w)ϕ(w)ⁿ. Cette forme est souvent appel´ee formule de Lagrange-B¨urmann.

2.3.2. Lagrange (version originale). La motivation originale de Lagrange ´etait de prouver une s´erie conjectur´ee par Lambert pour une racine de l’´equation trinˆome x=a+tx^p. Il l’a ensuite appliqu´ee `a l’´equation de Kepler, qu est aussi de la forme

(13) u=a+tϕ(u)

o`u ϕ(0) 6= 0 de sorte que l’´equation admet une solution unique sous forme de s´erie formelle. On peut la r´ecrire

(14) u−a

ϕ(u) =t ou encore v

ψ(v) =t, o`u v =u−a et ψ(v) =ϕ(a+v).

Maintenant, si Φ est une s´erie formelle quelconque, (15) [tⁿ]Φ(u) = 1

n[wⁿ⁻¹]Φ^′(a+w)ϕ(a+w)ⁿ = 1 n

1 (n−1)!

d da

n−1

[Φ^′(a)ϕ(a)ⁿ] et donc

(16) Φ(u) = Φ(a) +X

n≥1

tⁿ n!

d da

n−1

[Φ^′(a)ϕ(a)ⁿ].

2.3.3. Lagrange-Hermite. Si on d´erive par rapport `a z la version B¨urmann

(17) Φ(u) = Φ(0) +X

n≥1

zⁿ

n[wⁿ⁻¹]Φ^′(w)ϕ(w)ⁿ on a

(18) Φ(u)u^′= X

n≥0

zⁿ[wⁿ]Φ^′(w)ϕ(w)ⁿ⁺¹ et comme u= zϕ(u), u^′ =ϕ(u) +zϕ^′(u), donc

(19) Φ^′(u)ϕ(u)

1−zϕ^′(u) =X

n≥0

zⁿ[wⁿ]Φ^′(w)ϕ(w)·ϕ(w)ⁿ, soit, en posant F(u) = Φ^′(u)ϕ(u),

(20) F(u)

1−zϕ^′(u) =X

n≥0

zⁿ[wⁿ]F(w)ϕ(w)ⁿ.

Cette formule est surtout utile quand on la lit de droite `a gauche, pour trouver la s´erie g´en´eratrice des coefficients c_n = [wⁿ]F(w)ϕ(w)ⁿ.

2.4. Exemples.

2.4.1. Arbres m-aires complets par nombre de feuilles. Soit gn le nombre d’arbres m-aires (plans) complets `a n feuilles. La s´erie g´en´eratrice w = g(z) des g_n v´erifie l’´equation

(21) w=z+w^m, ⇔ z =w−w^m=f(w)

et donc

(22) gn = 1

nRes_w=0w⁻ⁿ(1−w^m−1)⁻ⁿ = 1

n[wⁿ⁻¹]X

k≥0

n−1 +k k

w^(m−1)k

ce qui donne

(23) gn =

( 1 (m−1)k+1

km k

if n≡1 mod m−1

0 sinon.

2.4.2. Arbres m-aires par nombre de noeuds internes. Soit t_n le nombre d’arbresm- aires (plans) ayantn noeuds internes. La s´erie g´en´eratrice t(x) =P

n≥0tnxⁿ v´erifie (24) t(x) = 1 +xt(x)^m, ou encore, t(x)−1

t(x)^m =x.

En posantz =t(x)−1 on peut appliquer (11) avecϕ(z) = (1 +z)^m, et si x= zg(z), alors (n+ 1)gn est le coefficient de zⁿ dans (1 +z)^m(n+1), appel´e nombre de Fuss- Catalan

(25) g_n = 1 n+ 1

m(n+ 1) n

, et donc t_n = 1 n

mn n−1

= 1

(m−1)n+ 1 mn

n

.

2.4.3. La fonction de Lambert. Soit x=W(z) la solution de

(26) z =xe^x

qui v´erifie W(0) = 0. Ici, ϕ(z) = e^−z de sorte que W(z) = zg(z) avec (n+ 1)g_n = (−1)ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾_n! ⁿ, et finalement

(27) W(z) =X

n≥1

(−n)ⁿ⁻¹zⁿ n!.

Plus g´en´eralement, la formule pour les puissances de la solution donne (28)

W(z) z

r

=g(z)^r = 1 +X

n≥1

r(n+r)ⁿ⁻¹

n! (−x)ⁿ.

Comme ceci doit ˆetre ´egal `a z^−re^rW(z), on en d´eduit que les polynˆomes pn(r) = r(n+r)ⁿ⁻¹ forment un suite binomiale

(29) p_n(x+y) =

n

X

k=0

n k

p_k(x)p_n−k(y).

C’est l’identit´e d’Abel.

2.4.4. Arbres enracin´es ´etiquet´es. La s´erie g´en´eratrice T(z) du nombre T_n d’arbres enracin´es (non plans) ´etiquet´es sur nsommets v´erifie

(30) T(z) =ze^T(z).

On a donc T(z) =−W(−z).

La fonction

(31) F(z) = 1 +zT^′(z) = (1−T(z))⁻¹ =X

n≥0

nⁿzⁿ n!

est ´egalement int´eressante. On peut montrer [26] que le coefficient tn(x) de zⁿ/n!

dansF(z)^xest un polynˆome enxdont les coefficients comptent les endofonctions par nombre de cycles.

En effet, une endofonction `a un seul cycle de longueur k peut ˆetre vue comme un k-uplet d’arbres ´etiquet´es de 1 `an, `a permutation circulaire pr`es desk arbres. Donc la s´erie g´en´eratrice des endofonctions `a 1 cycle est

(32) f(z) = ln 1

1−T(z)

et le coefficient de x^k dans e^xf(z) est celle des endofonctions `a k cycles.

2.4.5. La s´erie de Lambert `a deux param`etres. Lambert avait conjectur´e en 1757 une s´erie explicite pour la plus grande racine d’une ´equation trinˆomex^m+px=q. Euler a ´etudi´e cette s´erie et cherch´e `a prouver la formule de Lambert. Pour cela, il part de l’´equation plus sym´etrique [7],

(33) x^α−x^β = (α−β)tx^α+β.

Il tente de prouver qu’une solution est donn´ee par la s´erie (34) x=g(t) = 1 +X

n≥1 n−1

Y

i=1

(1 +iα+ (n−i)β)·tⁿ

n! =:Eα,β(t), et que de plus,

(35) x^r =g(t)^r = 1 +X

n≥1

r

n−1

Y

i=1

(r+iα+ (n−i)β)· tⁿ n!. On en d´eduit que les polynˆomes

(36) Pn(u) :=u

n−1

Y

i=1

(u+iα+ (n−i)β) forment une suite de type binomial

(37) Pn(u+v) =

n

X

k=0

n k

Pk(u)P_n−k(v) et que

(38) logg(t) =X

n≥1 n−1

Y

i=1

(iα+ (n−i)β)· tⁿ n!.

Euler ne parvient pas `a prouver compl`etement ces affirmations, mais on peut les d´eduire de la formule de Lagrange [35] : si l’on pose u=g(t)^α−β, on a

(39) u= 1 +t(α−β)u^α−βα

qui est bien de la forme

(40) u=a+tϕ(u)

et on peut donc appliquer

(41) Φ(u) = Φ(a) +X

n≥1

tⁿ n!

d da

n−1

[Φ^′(a)ϕ(a)ⁿ]

avec Φ(u) =u^r, ϕ(u) = (α−β)))u^α−βα , ce qui donne

(42) u^r= 1 +X

n≥1

tⁿ n!

d da

n−1

h(α−β)^ra^{r−1+α−βnα} i .

Le coefficient de ^t_n!ⁿ dans u^r est donc (43) r(α−β)ⁿ

r−1 + nα

α−β r−2 + nα α−β

· · ·

r−(n−1) + nα α−β

et comme u^r = g(t)^(α−β)r, le coefficient de ^t_n!ⁿ dans g(t)^r s’obtient en rempla¸cant r par _α−β^r , ce qui donne finalement comme annonc´e

(44) r α−β

r−(α−β) +nα α−β

r−2(α−β) +nα α−β

· · ·

r−(n−1)(α−β) +nα α−β

=P_n(r).

Les polynˆomesP_n(x) ont une interpr´etation combinatoire connue. On peut montrer [15, 39] que le coefficient de αⁱβ^j dans

(45)

n−1

Y

i=1

(iα+ (n−i)β)

est le nombre d’arbres enracin´es ´etiquet´es sur [n] avec i arˆetes croissantes et n−i arˆetes d´ecroissantes (ou l’inverse !).

Pour le prouver, Kreweras et Moszkowski associent `a un arbre ´etiquet´eT, repr´esent´e par une endofonction acyclique f, un codem_T ∈[n]ⁿ⁻¹ ayant la propri´et´ef(i)> i⇔ m_T(i)> i. Le polynˆome g´en´erateur du nombre d’arˆetes croissantes est donc identique

`a celui du nombre d’exc´edances sur [n]ⁿ⁻¹ qui est manifestement

(46) X

m∈[n]ⁿ⁻¹

x^#{i|mi>i} =

n−1

Y

i=1

(ix+ (n−i)).

2.5. Exercices.

2.5.1. La classe de Todd. Montrer que Res_w=0(e^w−1)⁻ⁿdw = (−1)ⁿ⁻¹ et retrouver ainsi le d´eveloppement de log(1 +z).

Il suffit de faire le changement de variablesw= log(1 +z) : (47) Resw=0(e^w−1)⁻ⁿdw= Resz=0z⁻ⁿ dz

1 +z = [zⁿ⁻¹] z

1 +z = (−1)ⁿ⁻¹.

Ce n’est ´evidemment pas la meilleure m´ethode pour trouver le d´eveloppement de log(1+z) (puiqu’on connait celui de sa d´eriv´ee), mais ¸ca permet de d´emontrer une propri´et´e utilis´ee par Hirzebruch dans la preuve de son th´eor`eme de Riemann-Roch [14] : il existe une unique s´erie formellef(z) telle que Resz=0f(z)<sup>−n</sup>dz = 1 pour tout n > 0. En effet, le calcul pr´ec´edent montre que f(z) = 1−e<sup>−z</sup> poss`ede cette propri´et´e, et sif(z) est une solution, sa fonction r´eciproqueg(z) v´erifie

(48) g(z) =X

n≥1

zⁿ1

nResw=0f(w)⁻ⁿdw=X

n≥1

zⁿ n = log

1 1−z

et doncf(z) = 1−e^−z.

2.5.2. Coefficients trinomiaux centraux. Soitt_n = [xⁿ](1+x+x²)ⁿ. Trouver la somme de la s´erie

(49) t(z) =X

n≥0

tnzⁿ.

On applique Lagrange-Hermite avecF(w) = 1 etϕ(w) = 1 +x+x². Alors,

(50) t(z) = 1

1−zϕ^′(u) o`uuv´erifie u ϕ(u)=z, soit

(51) u= 1−z−√

∆

2z , avec ∆ = 1−2z−3z². On a doncϕ^′(u) = 1 + 2u, puis 1−zϕ^′(u) =√

∆ et finalement

(52) t(z) = 1

√1−2z−3z².

2.5.3. Colonnes du triangle de Pascal. Calculer

(53) fk(z) =X

n≥k

2n n−k

zⁿ.

On applique Lagrange-Hermite avecF_k(w) =w^k etϕ(w) = (1 +w)². Alors, (54) f_k(z) = u^k

1−zϕ^′(u) avec u

(1 +u)² =z, soitu= 1−2z−√ 1−4z 2z etϕ^′(u) = 2(1 +u), donc

(55) f_k(z) = 1

√1−4z

1−2z−√ 1−4z 2z

k

.

2.5.4. Polynˆomes de Legendre. Ils sont d´efinis par

(56) P_n(x) = 1

2ⁿn!

dⁿ

dxⁿ(x²−1)ⁿ. CalculerP(x;z) =X

n≥0

P_n(x)zⁿ.

(57) P(x;z) =X

n≥0

zⁿ n!

dⁿ dxⁿ

x²−1 2

n

= d dx

X

n≥0

zⁿ n!

dⁿ⁻¹ dxⁿ⁻¹1·

x²−1 2

n

= dΦ(u) dx = du

dx avec Φ(u) =u, et o`uuv´erifieu=x+zϕ(u) =x+z

x²−1 2

. Donc,

(58) u= 1−√

1−xz+z²

z et du

dx = 1

√1−xz+z² =P(x;z).

2.5.5. Polynˆomes de Laguerre. Ils sont d´efinis par

(59) L^(a)_n (x) = 1

n!e^xx^−a dⁿ

dxⁿe^−xx^a+n. CalculerL^(a)(x;z) =X

n≥0

L^(a)_n (x)zⁿ.

On peut ´ecrire

(60) e^−xx^aL^(a)(x;z) =X

n≥0

zⁿ[wⁿ]e^−(x+w)(x+w)^a(x+w)ⁿ=X

n≥0

zⁿ[wⁿ]F(w)ϕ(w)ⁿ avecF(w) =e^−(x+w)(x+w)^a etϕ(w) =x+w. Donc,

(61) L^(a)(x;z) =e^xx^−a F(u)

1−zϕ^′(u) avec u

u+x =z soitu= xz 1−z ce qui donne finalement

(62) L^(a)(x;z) = (1−z)^−(a+1)e⁻

xz 1−z.

2.5.6. Polynˆomes de Jacobi. Ils sont d´efinis par (63) P_n^(α,β)(x) = (−1)ⁿ

2ⁿn! (1−x)^−α(1 +x)^−β dⁿ dxⁿ

(1−x)^α(1 +x)^β 1−x²n

. CalculerP^(α,β)(x;z) =P

n≥0zⁿP_n(α, β)(x).

On peut ´ecrire

(64) (1−x)^α(1 +x)^βP^(α,β)(x;z) =X

n≥0

zⁿ n!

dⁿ

dxⁿ(1−x)^α(1 +x)^β

x²−1 2

=X

n≥0

zⁿ[wⁿ]F(w)ϕ(w)ⁿ avecF(w) = (1−x−w)^α(1 +x+w)^β etϕ(w) = ¹₂ (x+w)²−1

. Donc (65) P^(α,β)(x;z) = (1−x)^−α(1 +x)^β F(w)

1−zϕ^′(w) avecz= w ϕ(w) On trouve

(66) w= 1−xz−√

W

z avecW = 1−zx+z² et finalement, apr`es quelques simplifications

(67) P^(α,β)(x;z) = 2^α+β

√W(1−z+p

(W))^−α(1 +z+√ W)^−β.