Partie II - Fonction g´ en´ eratrice de la suite (p

Correction : du Devoir maison n˚5

MP Clemenceau 2020-2021 Pour le mercredi 3 f´ evrier 2021

Retour ` a l’origine d’une marche al´ eatoire sur Z

Dans cet exercice, nous allons ´etudier le d´eplacement al´eatoire d’un pion se d´epla¸cant dans l’ensemble des entiers relatifs. A l’´etape n= 0, on suppose que le pion se trouve en 0. Ensuite, si le pion se trouve `a l’´etape nsur l’entier x∈Z,alors `a l’´etapen+ 1,le pion a une chance sur 2 de se trouver enx+ 1 et une chance sur deux de se trouver en x−1,ceci ind´ependamment des mouvements pr´ec´edents.

Pour mod´eliser cette situation, on se place dans un espace probabilis´e (Ω,A, P) et on consid`ere une suite (Xk)_k∈IN^∗ de variables al´eatoires r´eelles mutuellement ind´ependantes dont la loi est donn´ee par :

∀k∈IN^∗, P(Xk = 1) =P(Xk=−1) = 1 2.

On consid`ere ´egalement la suite de variables al´eatoires r´eelles (Sn)_n∈IN d´efinie parS0= 0 et :

∀n∈IN^∗, Sn=

n

X

k=1

Xk.

L’objectif de cet exercice est de d´eterminer la loi de la variable al´eatoireT d´efinie de la fa¸con suivante : 1. si pour toutn∈IN^∗,on a Sn6= 0, on poseT = +∞;

2. sinon, on poseT = min{n∈IN^∗| Sn= 0}.

L’´ev´enement (T = +∞) se r´ealise donc si et seulement si l’ensemble{n∈IN^∗ |Sn = 0}est vide.

Finalement, on d´efinit les suites (p_n)_n∈IN et (q_n)_n∈IN par :

∀n∈IN, pn=P(Sn= 0) et qn =

(0 sin= 0, P(T =n) sin >0.

Partie I - Calcul de p

On fixe un entiern∈IN.

1) Que repr´esente la variable al´eatoireSn? Correction :Soitn∈IN^∗.

Chaque variableXk mod´elise le pas de l’instant k,doncSn=

n

X

k=1

Xk mod´elise la positition du pion `a l’instant n.

CommeS0= 0, S0 mod´elise aussi la position du pion `a l’instant 0.

2) Calculerp0, p1 et p2.

Correction : p0 = P(S0 = 0) = 1. Comme S1(Ω) = X1(Ω) = {±1}, on a p1 = P(S1 = 0) = 0. Enfin, p2=P(S2= 0) =P(X1+X2= 0).

D’apr`es la formule des probabilit´es totales avec le syst`eme complet d’´ev´enements (X1=k)_k∈X1(Ω)= (X1=−1, X1= 1),on a

p₂=P(X₁+X₂= 0) =P(X₁= 1, X₁+X₂= 0) +P(X₁=−1, X1+X₂= 0)

=P(X1= 1, X2=−1) +P(X2=−1, X1= 1)

=P(X₁= 1)P(X₂=−1) +P(X₁=−1)P(X₂= 1) (carX₁ etX₂sont ind´ependantes)

=1 2 1 2 +1

2 1 2 = 1

2.

3) Justifier que, sinest impair, alors on apn = 0.

Correction : Si n est impair, alors pour toutω ∈Ω, S_n(ω) =

n

X

k=1

X_k(ω)

| {z }

∈{±1}

est la somme d’un nombre impair de nombres impairs, donc est impair.

Par suite,p_n=P(S_n= 0) = 0, car l’´ev´enement (S_n= 0) est impossible (car 0 est un nombre pair).

On consid`ere pour toutk∈IN^∗la variable al´eatoireYk d´efinie par Yk =^Xk₂⁺¹.On admet que (Yk)_k∈IN^∗ est une suite de variables al´eatoires mutuellement ind´ependantes.

4) Soitk∈IN^∗.Montrer queYk suit une loi de Bernoulli de param`etre ¹₂. Correction :On aYk(Ω) = ^Xk₂⁺¹

(Ω) =1+1

2 ,⁻¹⁺¹₂ ={0,1},doncYk suit une loi de Bernoulli.

De plus,P(Yk= 1) =P ^Xk₂⁺¹ = 1

=P(Xk = 1) =¹₂,doncYk suit une loi de Bernoulli de param`etre ¹₂. 5) Pourn >0,donner la loi de Zn=Y1+· · ·+Yn et exprimerSn en fonction deZn.

Correction :• Les variables (Yk)_k∈IN^∗suivent toutes une loi de Bernoulli et sont ind´ependantes, donc, pour tout n >0, Zn =

n

X

i=1

Yi suit une loi binomiale de param`etresnet ¹₂. Par suite,Zn(Ω) = [[0, n]] et, pour toutk∈[[0, n]],

P(Zn =k) = n

k 1 2

^k1 2

n−k

= n

k 1 2

ⁿ .

•De plus,

Zn=

n

X

i=1

Yi=

n

X

i=1

1 2Xi+1

2

=1 2

n

X

i=1

Xi+n

2 =Sn+n 2 , doncSn = 2Zn−n.

6) On suppose quen= 2mavecm∈IN. D´eduire de la question pr´ec´edente que : p2m=

2m m

1 4^m.

Correction :Pour toutm∈IN^∗, 2m >0,donc, d’apr`es la question pr´ec´edente, p2m=P(S2m= 0) =P(2Z2m−2m= 0) =P(Z2m=m)

= 2m

m 1 2

2m

= 2m

m 1

4^m. Comme ⁰₀₁

4⁰ = 1 =p0,ce r´esultat est encore valable pourm= 0.

Partie II - Fonction g´ en´ eratrice de la suite (p

)

IN

On note Rp le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P

n≥0pnxⁿ et f la somme de cette s´erie enti`ere sur son intervalle de convergence.

7) Montrer queRp≥1.

Correction :Pour toutn∈IN,|pn|=P(Sn= 0)≤1,donc le rayon de convergence deX

n≥0

pnxⁿ est sup´erieur ou

´egal au rayon de convergence deX

n≥0

1xⁿ,c’est-`a-dire Rp≥1.

8) Montrer que pour toutm∈IN^∗,on a :

p2m= (−1)^m m!

m

Y

k=1

−1

2 −k+ 1

.

Correction :Pour toutm∈IN^∗, on a : (−1)^m

m!

m

Y

k=1

−1

2 −k+ 1

= 1 m!

m

Y

k=1

−

−1

2−k+ 1

= 1 m!

m

Y

k=1

2k−1 2

= 1

m!2^m

m

Y

k=1

(2k−1) = 1 m!2^m

m

Y

k=1

(2k−1)

m

Y

k=1

(2k)

m

Y

k=1

(2k)

= 1

m!2^m

2m

Y

k=1

k 2^m

m

Y

k=1

k

= 1

m!2^m (2m)!

2^mm! =(2m)!

m!m!

1 2^m2^m =

2m m

1

4^m =p2m

9) D´eterminer un nombreα∈IR tel quef(x) = (1−x²)^α pour toutx∈]−1,1[.

Correction : Par propri´et´e, pour toutα∈IR,pour toutx∈]−1,1[, (1 +x)^α= 1 +

+∞

X

n=1

α(α−1)...(α−n+ 1)

n! xⁿ= 1 +

+∞

X

n=1

1 n!

n

Y

k=1

(α−k+ 1)xⁿ. Par suite, pour toutx∈]−1,1[,comme (−x²)∈]−1,1[,on a

(1−x²)^α= 1 +

+∞

X

n=1

1 n!

n

Y

k=1

(α−k+ 1)(−x²)ⁿ = 1 +

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ n!

n

Y

k=1

(α−k+ 1)x²ⁿ.

Par ailleurs, avec les expressions trouv´ees pour pn dans la partie pr´ec´edente, on a, pour tout x∈]−1,1[ (on a Rp≥1),

f(x) =

+∞

X

n=0

pnxⁿ=p0+

+∞

X

n=1

p2nx²ⁿ+

+∞

X

n=0

p2n+1

| {z }

=0

x²ⁿ⁺¹

= 1 +

+∞

X

n=1

p_2nx²ⁿ.

D’o`u, pourα=−1/2,commep2n= ⁽⁻¹⁾_n!ⁿQn

k=1(α−k+ 1) pour toutn≥1 d’apr`es la question pr´ec´edente, on a f(x) = (1−x²)^−1/2pour toutx∈]−1,1[.

Partie III - Loi de la variable al´ eatoire T

On note R_q le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P

n≥0q_nxⁿ et g la somme de cette s´erie enti`ere sur son intervalle de convergence. Pour toutn∈IN,on consid`ere ´egalement la fonctiong_n : IR→IR d´efinie parg_n(x) =q_nxⁿ pour toutx∈IR.

10) Calculerq1 etq2.

Correction : •Pour toutn∈IN^∗, T =n⇒Sn= 0, donc (T =n)⊂(Sn= 0),doncP(T =n)≤P(Sn = 0).

Or, pour toutnimpair,P(Sn = 0) = 0,donc, pour toutnimpair,qn=P(T =n) = 0.En particulier, pourn= 1, q1= 0.

•S1= 0 est impossible, donc, par d´efinition deT,on aT ≥2 etT = 2⇔S2= 0,doncq2=P(T = 2) =P(S2= 0) =p2= ¹₂.

11) Montrer que la s´erieP

n≥0gn converge normalement sur [−1,1].En d´eduire queRq ≥1.

Correction : •Pour toutx∈[−1,1],

|gn(x)|=|qnxⁿ|=P(T =n)|x|ⁿ≤P(T =n), donckg_nk_∞,[−1,1]≤P(T =n).

Or P

n≥0P(T = n) converge (et vaut 1 −P(T = +∞) car T(Ω) = IN∪ {+∞}), donc, par comparaison,

X

n≥0

kgnk_∞,[−1,1] converge, donc la s´erie de fonctionsX

n≥0

g_n converge normalement sur [−1,1].

• Comme X

n≥0

gn converge normalement sur [−1,1], X

n≥0

gn converge simplement sur [−1,1],donc, en particulier, pourx= 1,P

n≥0gn(1) converge, ce qui assure que Rq= sup{ρ >0 :X

n≥0

qnρⁿ converge} ≥1.

Dans la suite, onadmetla relation :

∀n∈IN^∗, p_n =

n

X

k=0

p_kq_n−k.

12) En utilisant un produit de Cauchy et la relation admise ci-dessus, montrer que :

∀x∈]−1,1[, f(x)g(x) =f(x)−1.

Correction :f etgsont deux fonctions d´eveloppables en s´erie enti`ere au moins sur ]−1,1[,donc, par produit de Cauchy,f g est d´eveloppable en s´erie enti`ere au moins sur ]−1,1[ et, pour toutx∈]−1,1[,

f(x)g(x) =

+∞

X

n=0

pnxⁿ

! _+∞

X

n=0

qnxⁿ

!

=

+∞

X

n=0 n

X

k=0

pkqn−k

! xⁿ

=

0

X

k=0

pkq_n−k

! x⁰+

+∞

X

n=1 n

X

k=0

pkq_n−k

! xⁿ

=p0q0+

+∞

X

n=1

pnxⁿ (d’apr`es la relation admise pour toutn∈IN^∗)

= 0 +

+∞

X

n=1

pnxⁿ

=−1 +p₀x⁰+

+∞

X

n=1

p_nxⁿ

=−1 +

+∞

X

n=0

pnxⁿ =−1 +f(x).

13) En d´eduire que g(x) = 1−√

1−x² pour toutx∈]−1,1[, puis calculer le d´eveloppement en s´erie enti`ere de la fonctionx7→1−√

1−x² en pr´ecisant son rayon de convergence.

Correction : •Comme, pour tout x∈]−1,1[, f(x) = (1−x²)^−1/2 (d’apr`es la question ??), la relation obtenue

`

a la question pr´ec´edente devient :

∀x∈]−1,1[, (1−x²)^−1/2g(x) = (1−x²)^−1/2−1, donc, en multipliant de part et d’autre par√

1−x²= (1−x²)^1/2,on a bien, pour tout x∈]−1,1[, g(x) = 1−p

1−x².

•Pour toutx∈]−1,1[,

(1 +x)^α= 1 +

+∞

X

n=1

1 n!

n

Y

k=1

(α−k+ 1)xⁿ, donc, pourα= 1/2,on a , pour toutx∈]−1,1[,comme (−x²)∈]−1,1[,

p1−x²= 1 +

+∞

X

n=1

1 n!

n

Y

k=1

1

2 −k+ 1

(−x²)ⁿ= 1 +

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ n!

n

Y

k=1

1

2 −k+ 1

x²ⁿ, donc

g(x) = 1−p

1−x²=

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n!

n

Y

k=1

1

2−k+ 1

x²ⁿ, o`u le rayon de convergence de cette s´erie enti`ere vaut 1.

14) En d´eduire une expression deqn pour toutn∈IN^∗. Correction : Pour tout x∈]−1,1[, g(x) =

+∞

X

n=0

q_nxⁿ =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n!

n

Y

k=1

1

2−k+ 1

x²ⁿ, donc, par unicit´e du d´eveloppement en s´erie enti`ere sur ]−1,1[,on a :

q0= 0, ∀n∈IN^∗, q2n =(−1)ⁿ⁺¹ n!

n

Y

k=1

1

2−k+ 1 !

et (∀n∈IN, q2n+1= 0).

15) En utilisant les questions 11 et 13, d´eterminer la valeur de P(T = +∞).Interpr´eter le r´esultat.

Correction :•CommeT(Ω) = IN∪ {+∞},on a P(T = +∞) = 1−

+∞

X

n=0

P(T =n) = 1−

+∞

X

n=0

qn= 1−

+∞

X

n=0

qn1ⁿ= 1−g(1).

•Or, comme pour toutn∈IN, g_n est continue sur [−1,1] etP

n≥0g_nconverge normalement, donc uniform´ement, sur [−1,1] (d’apr`es la questin 11), la fonctiong=P+∞

n=0g_n est continue sur [−1,1].

En particulier, elle est continue en 1, donc g(1) = lim

x→1⁻g(x) = lim

x→1⁻1−p

1−x² (d’apr`es l’expression trouv´ee en 13)

= 1−0 = 1.

•On a doncP(T = +∞) = 1−g(1) = 0,donc l’´ev´enementT = +∞est quasi impossible, donc on est quasi certain que le pion reviendra `a l’origine `a un instant donn´e.

16) La variable al´eatoireT admet-elle une esp´erance ?

Correction :Pour me raccrocher au programme, je vais alors consid´erer queT(Ω) =IN.

g:x7→

+∞

X

n=0

q_nxⁿ=

+∞

X

n=0

xⁿP(T =n) est la s´erie g´en´eratrice deT.

Par propri´et´e,T admet une esp´erance si et seulement si g est d´erivable en 1. Or, pour tout x∈]−1,1[, g(x) = 1−√

1−x²,doncgest d´erivable sur ]−1,1[ et, pour toutx∈]−1,1[, g⁰(x) = 2x

2√

1−x² = x

√1−x² →

x→1⁻+∞.

gest continue sur [−1,1],d´erivable sur ]−1,1[ et lim_x→1−g⁰(x) = +∞,donc, d’apr`es le th´eor`eme de la limite de la d´eriv´ee,g n’est pas d´erivable en 1, et, par suite,T n’admet pas d’esp´erance.