St. Joseph/ICAM Toulouse
CB n
◦11 - SURFACES - CORRECTION
Exercice 1
SoitC la courbe d’équations :
x−y−1 = 0
x2+ 2z2−y−1 = 0 .
1. Déterminer la projection de C sur(xOz), et préciser sa nature.
On noteCy la projection deC sur le plan (xOz).
M(x,0, z)∈Cy ⇔ ∃y0∈R,(x, y0, z)∈C ⇔ ∃y0 ∈R,
x−y0−1 = 0
x2+ 2z2−y0−1 = 0 ⇔ ∃y0 ∈R,
y0 =x−1 x2+ 2z2−x= 0 d’où :Cy :
4
x−1
2 2
+ 8z2 = 1 y= 0
; c’est une ellipse.
2. Former une équation cartésienne du cylindre de directriceC et dont les génératrices sont parallèles à la droiteD:
x−2y−3 = 0 x−y−z−2 = 0 .
On noteΣ le cylindre recherché. Les génératrices sont dirigées par~u=
1
−2 0
∧
1
−1
−1
=
2 1 1
.
M(x, y, z)∈Σ⇔ ∃t∈R, M +t~u∈C ⇔ ∃t∈R,
(x+ 2t)−(y+t)−1 = 0
(x+ 2t)2+ 2(z+t)2−(y+t)−1 = 0 Après simplification, on obtient Σ : 3x2+ 6y2+ 2z2−8xy−4xz+ 4yz−7x+ 10y+ 4z+ 4 = 0.
Exercice 2
Former une équation cartésienne de la surface de révolution engendrée par la rotation de la droite d’équations
x=z+ 2
y= 2z+ 1 autour de la droite d’équations x=y=z
On noteΣ la surface recherchée,Dla droite que l’on fait tourner, et ∆l’axe de la rotation.
∆est dirigé par~u=
1 1 1
et passe par le pointO.
M(x, y, z)∈Σ⇔ ∃M0(x0, y0, z0)∈D,
( OM =OM0
−−−→M0M·~u= 0 ⇔
x2+y2+z2 =x20+y20+z02 (x−x0) + (y−y0) + (z−z0) = 0 x0 =z0+ 2
y0= 2z0+ 1 ( x2+y2+z2 = (z0+ 2)2+ (2z0+ 1)2+z02
z0 = 1
4(x+y+z−3)
On en déduitΣ : 5x2+ 5y2+ 5z2−6xy−6xz−6yz+ 2x+ 2y+ 2z−19 = 0.
Exercice 3
SoientS la surface d’équation x2+y2=z, etDla droite
x=t y =t+ 1 z= 2t+ 1 1. La surface S est-elle régulière ?
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On noteF(x, y, z) =x2+y2−z;
∀(x, y, z)∈R3,−−−→
GradF(x, y, z) =
2x 2y
−1
6=−→
0 donc la surface est régulière.
2. Déterminer les points de S en lesquels le plan tangent est orthogonal àD.
Dadmet pour vecteur directeur : ~u=
1 1 2
.
Le plan tangent en M0(x0, y0, z0) est orthogonal à D si, et seulement si −−−→
GradF et~u sont colinéaires,
c’est-à-dire qu’il existe λ∈Rtel que :
2x0=λ 2y0 =λ
−1 = 2λ
⇔
x0=−1 4 y0 =−1 4 λ=−1
2 .
Comme de plus M0∈S, on trouve le point M0
−1 4,−1
4,1 8
.
3. Déterminer les points de S en lesquels le plan tangent contient la droiteD.
L’équation du plan tangentΠ0 àS en M0(x0, y0, z0)est :
2x0(x−x0) + 2y0(y−y0)−(z−z0) = 0
Ainsi, siD⊂Π0, alors pour tout M(t)∈D,
x=t y =t+ 1 z= 2t+ 1
2x0(x−x0) + 2y0(y−y0)−(z−z0) = 0 On en déduit que ∀t∈R, t(2x0+ 2y0−2)−2x20−2y02+ 2y0+z0−1 = 0.
Comme M0∈S, x20+y02−z0= 0, on a donc :
x0+y0−1 = 0
−z0+ 2y0−1 = 0 x20+y02−z0= 0
⇔
x0= 1−y0 z0 = 2y0−1 (y0−1)2= 0 Finalement, le seul plan satisfaisant le problème est tangent à S en M0(0,1,1).
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