St. Joseph/ICAM Toulouse
CB n
◦11 - SURFACES - Correction
Exercice 1
SoitC la courbe d’équations :
x−y−1 = 0 x2−z2−y= 0 .
1. Déterminer la projection de C sur le plan(xOz), et préciser sa nature.
On noteCy la projection deC sur le plan (xOz).
M(x,0, z)∈Cy ⇔ ∃y0∈R,(x, y0, z)∈C ⇔ ∃y0 ∈R,
x−y0−1 = 0
x2−z2−y0 = 0 ⇔ ∃y0 ∈R,
y0 =x−1 x2−z2=x−1 d’où :Cy :
z2
√3/22 − x−122
√3/22 = 1 y= 0
; c’est une hyperbole.
2. Former une équation cartésienne du cylindre de directrice C et dont les génératrices sont parallèles à la droite d’équations
x−2y−3 = 0 x−y−z−2 = 0 .
On noteΣ le cylindre recherché. Les génératrices sont dirigées par~u=
1
−2 0
∧
1
−1
−1
=
2 1 1
.
M(x, y, z)∈Σ⇔ ∃t∈R, M +t~u∈C ⇔ ∃t∈R,
(x+ 2t)−(y+t) = 1 (x+ 2t)2−(z+t)2=y+t
Après simplification, on obtient Σ : 3y2−z2−2xy+ 2xz−2yz−x+ 4y−2z+ 2 = 0.
Exercice 2
Déterminer une équation cartésienne de la surface de révolution obtenue par la rotation de la courbe
C:
x(t) = ch2(t) y(t) =−sh2(t) z(t) =t
, autour de l’axe∆ :
x=y y=z
On noteΣ la surface recherchée. L’axe∆est dirigé par~u=
1 1 1
et passe par le pointO.
M(x, y, z)∈Σ⇔ ∃M0∈C,
( OM =OM0
−−−→M0M ·~u= 0 ⇔
x2+y2+z2 = ch4t+ sh4t+t2 (x−ch2t) + (y+ sh2t) + (z−t) = 0 ( t=x+y+z−1
x2+y2+z2 = 1
4(ch (4t) + 3) +t2
On en déduitΣ : ch4(x+y+z−1) + sh4(x+y+z−1) + 2xy+ 2xz+ 2yz−2x−2y−2z+ 1 = 0 ( Ce qui s’écrit aussi : 8xy+ 8xz+ 8yz−8x−8y−8z+ ch (4(x+y+z−1)) + 7.)
Exercice 3
SoitS la surface d’équation x2+y2−z2 = 1, etD la droite d’équations
x= 1 y=z+ 2 . 1. La surface S est-elle régulière ?
On note F(x, y, z) = x2 +y2 −z2 −1; alors −−−→
GradF(x, y, z) =
2x 2y
−2z
= −→
0 ⇔ x = y = z = 0, or O /∈S, la surface est donc régulière.
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2. Déterminer les éventuels points deS en lesquels le plan tangent est orthogonal àD.
Dadmet pour vecteur directeur ~u=
0 1 1
.
Le plan tangent en M0(x0, y0, z0) est orthogonal à D si, et seulement si −−−→
GradF(x0, y0, z0) et ~u sont colinéaires, c’est-à-dire qu’il existe λ∈R tel que
x0 = 0 y0=λ
−z0 =λ .
On a alors x0 = 0 et y0 =−z0. Or, M0 ∈S donc x20+y02−z02 = 1 donc il n’y a pas de plan tangent orthogonal à D.
3. Déterminer les éventuels plans tangents àS contenantD.
L’équation du plan tangentΠ0 àS en M0(x0, y0, z0)est :
x0(x−x0) +y0(y−y0)−z0(z−z0) = 0
Ainsi, siD⊂Π0, alors pour tout M(x, y, z)∈D:
x= 1 y=z+ 2
x0(x−x0) +y0(y−y0)−z0(z−z0) = 0 On en déduit que : ∀z∈R, z(y0−z0) +x0−x20+ 2y0−y02+z20 = 0.
Comme M0∈S, x20+y02−z20 = 1, on a donc :
y0−z0 = 0 x0+ 2y0−1 = 0 x20+y02−z02 = 1
⇔
z0=y0 x0= 1−2y0
(1−2y0)2 = 1
Finalement, les deux plans satisfaisant le problème sont tangents àSenM1(1,0,0)et enM2(−1,1,−1).
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