Correction de l’exercice 11

Correction de l’exercice 11

Exercice 11 :

Toutes les réponses de l’exercice devront être justifiées.

On considère les nombres complexes suivants : 1) Déterminer la forme algébrique des nombres complexes z1, z2 et z3.

2) Déterminer le module et un argument des nombres complexes z2 et z3. 3) a) Démontrer que .

b) En déduire le module et un argument du nombre complexe z4. c) Quelle est la forme algébrique du nombre complexe z4 ?

4) On munit le plan complexe d’un repère orthonormé (O ; ; ) d’unité graphique 2 cm.

a) Démontrer que les points A, B, C et D d’affixes respectives z1, z2, z3 et z4 sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon puis construire ce cercle dans le repère (O ; ; ).

b) Placer, avec précision, les points A, B, C et D dans le repère (O ; ; ).

c) Calculer les distances AC et BD.

d) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

Corrigé :

1) 𝒛_𝟏= 3 %cos⁾_*+ 𝑖 sin⁾_*/ = 3 %^√1₂ +³₂𝑖/ =^𝟑√𝟑_𝟐 +^𝟑_𝟐𝒊 𝒛_𝟐= 𝑧8 =₃ ^𝟑√𝟑

𝟐 −^𝟑

𝟐𝒊 𝒛_𝟑= −𝑧₃ = −^𝟑√𝟑_𝟐 −^𝟑_𝟐𝒊

2) Même si on peut les calculer de manière traditionnelle avec la formule, on peut constater que :

• 𝑧₂ = 𝑧8₃ donc |𝑧₂| = |𝑧₃| et arg 𝑧₂ = − arg 𝑧₃ (symétrie par rapport à l’axe des réels) Donc |𝒛_𝟐| = 𝟑 et 𝒂𝒓𝒈 𝒛_𝟐= −^𝝅_𝟔

• 𝑧₁ = −𝑧₃ donc |𝑧₁| = |𝑧₃| et arg 𝑧₁ = 𝜋 − arg 𝑧₃ (symétrie par rapport à l’origine) Donc |𝒛_𝟑| = 𝟑 et 𝐚𝐫𝐠 𝒛_𝟑= 𝜋 −⁾_* =^𝟓𝝅_𝟔

3) a) 𝒛_𝟒 = 𝑧₃𝑒^KLMN = 3𝑒^LMO𝑒^KLMN = 3𝑒^P%MOQKMN/ = 3𝑒^P%MOQRMO/ = 𝟑𝒆^{𝒊𝟓𝝅𝟔} b) Ainsi |𝒛_𝟒| = 𝟑 et 𝒂𝒓𝒈 𝒛_𝟒 =^𝟓𝝅_𝟔

c) De plus, on peut dire que 𝒛_𝟒= 3𝑒^PTMO = 3 %cos^U)

* + 𝑖 sin^U)

*/ = 3 %−^√1

2 +³

2𝑖/ = − ^𝟑√𝟑

𝟐 +^𝟑

𝟐𝒊

4) a) Comme |𝑧₃| = |𝑧₂| = |𝑧₁| = |𝑧_V| = 3, alors 𝑨, 𝑩, 𝑪 et 𝑫 sont sur le cerlce de centre 𝑶 de rayon 𝟑.

÷ø ç ö

è

æ p

p+

= sin6

cos6

1 3 i

z z₂ =z₁ z₃ =-z₁ ³

2 1 4

p

=ze ⁱ z

6 5

4 3

p i

e z =

u! v!

u! v! u! v!

b)

c) Rappels de 1^ère : 𝑨𝑩 = |𝒛_𝑩− 𝒛_𝑨| 𝑨𝑪 = |𝑧₁− 𝑧₃| = \−3√3

2 −3

2𝑖 − ^3√3 2 +3

2𝑖_\ = \−3√3 2 −3

2𝑖 −3√3 2 −3

2𝑖\ = `−3√3 − 3𝑖`

ab−3√3c²+ (−3)² = √27 + 9 = √36 = 𝟔

Autre méthode : 𝐴𝐶 = |𝑧₁ − 𝑧₃| = |−𝑧₃− 𝑧₃| = |−2𝑧₃| = |−2| × |𝑧₃| = 2 × 3 = 6

𝑩𝑫 = |𝑧_V − 𝑧₂| = \−3√3 2 +3

2𝑖 − ^3√3 2 −3

2𝑖_\ = \−3√3 2 +3

2𝑖 −3√3 2 +3

2𝑖\ = `−3√3 + 3𝑖`

ab−3√3c²+ 3² = √27 + 9 = √36 = 𝟔

d) Comme les diagonales de 𝐴𝐵𝐶𝐷 se coupent en leur milieu 𝑂 (même module), alors 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme.

De plus, comme 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 = 6 (question c)), alors a ses diagonales sont égales. Donc c’est un rectangle.