Correction exercice 11 – Probabilités 35% des individus d

C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD Proba – Correction ex 11 1/1 Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Correction exercice 11 – Probabilités

35% des individus d’une population lycéenne pratiquent le cyclisme (sport A), 25% pratiquent le tennis (sport B) et 15%

pratiquent les sports A et B.

Soient A l’événement "la personne pratique le sport A" et B l’événement "la personne pratique le sport B".

On a donc p( A)=0,35, p(B)=0,25 et p( A∩B)=0,15

1. On interroge une personne au hasard de cette population.

a. Quelle est la probabilité que cette personne pratique au moins un des sports considérés ? L’événement "la personne pratique au moins un des 2 sports" est A∟B

Or, p( A∟B)=p( A)+p( B)−p( A∩B)=0,35+0,25−0,15=0,45

La probabilité que la personne pratique au moins un des deux sports est 0,45.

b. Quelle est la probabilité que la personne ne pratique aucun des deux sports considérés ? L’événement "la personne ne pratique aucun des deux sports considérés" est l’événement ÒA∩ÒB càd A∟B Donc p

(

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(

)

La probabilité que la personne ne pratique aucun de deux sports est 0,55

c. Quelle est la probabilité que cette personne pratique le sport A et ne pratique pas le sport B ? L’événement "la personne pratique le sport A et ne pratique pas le sport B" est l’événement A∩ÒB.

Or, A est la réunion des événements incompatibles A∩B et A∩ÒB donc p( A)=p( A∩B)+p

(

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(

)

La probabilité que la personne pratique le sport A et pas le sport B est 0,2

d. Quelle est la probabilité que la personne pratique un et un seul des deux sports considérés ?

L’événement E : "la personne pratique un et un seul des sports considérés" est la réunion des événements incompatibles A∩ÒB et ÒA∩B donc p( E)=p

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Or, B est la réunion des événements incompatibles ÒA∩B et A∩B donc p( B)=p

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donc p

(

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La probabilité que la personne pratique un et un seul des deux sports considérés est 0,3

2. On interroge au hasard une personne de la population considérée pratiquant le sport A. Calculons la probabilité qu’elle pratique le sport B. On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.

On cherche donc p_A( B).

Or, pA( B)=p( A∩B)

p( A) =0,15 0,35=3

7

La probabilité que la personne pratique le sport B sachant qu’elle pratique le sport A est 3 7 .

3. On désigne par n un entier supérieur ou égal à 2. On choisit, au hasard et façon indépendante, n personnes de la population considérée. (On assimilera ces choix à n tirages avec remise).

a. Calculons la probabilité pn pour qu’au moins une des personnes choisies pratiquent le sport A.

Soit A_n l’événement "au moins une des n personnes pratique le sport A" alors p_n=p

( )

(

)

Les tirages successifs étant indépendants et identiques avec remise, la probabilité pour qu’aucune des n personnes ne pratiquent le sport A est p( An ) = (1−0,35)ⁿ=0,65ⁿ donc pn=1−0,65ⁿ

b. Déterminons le plus petit entier n tel que p_nÃ0,9

pnÃ0,9ñ1−0,65ⁿÃ0,9ñ0,65ⁿÂ0,1ñnln(0,65)Âln(0,1)ñnà ln(0,1)

ln(0,65) car ln(0,65)<0 Or, ln(0,1)

ln(0,65)ó5,35 donc le plus petit entier n tel que pnÃ0,9 est 6