Correction exercice 13 – Probabilités On considère trois urnes

C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD Proba – Correction ex 13 1/2 Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Correction exercice 13 – Probabilités

On considère trois urnes U₁, U₂ et U₃.

L’urne U1 contient deux boules noires et trois boules rouges, l’urne U2 contient une boule noire et quatre boules rouges et l’urne U3 contient trois boules noires et quatre boules rouges.

Une expérience consiste à tirer au hasard une boule de U1 et une boule de U2, à les mettre dans U3, puis à tirer au hasard une boule de U₃.

Pour i prenant les valeurs 1, 2 et 3, on désigne par N_i (resp. R_i) l’événement "on tire une boule noire (resp.

rouge) de l’urne Ui".

1. Complétons l’arbre de probabilités suivant :

2.

a. Calculons la probabilité des événements N₁∩N₂∩N₃ et N₁∩R₂∩N₃ D’après la question précédente : p (N1∩N2∩N3)=2

5×1 5×5

9= 2

45 et p(N1∩R2∩N3)=2 5×4

5×4 9= 32

225 La probabilité de tirer 1 boule noire dans chaque urne est 2

45 et

la probabilité de tirer une noire dans les urnes 1 et 2 et une rouge dans l’urne 2 est 32 225

b. Déduisons-en la probabilité de N₁∩N₃.

L’événement N1∩N3 est la réunion des événements incompatibles N1∩N2∩N3 et N1∩R2∩N3. Ainsi p(N1∩N3)=p(N1∩N2∩N3)+p(N1∩R2∩N3)= 2

45+ 32 225=14

75

Dons la probabilité de tirer une noire dans l’urne 1 et une dans l’urne 3 est 14 75 . R1

N1

R₂ N2

R₂ N2

R3

N3

R3

N₃ N3

R3

R3

N₃

5 9

4 4 9 9

5 4 9 9

5 3 9 9

6 9 3

5 2 5

4 5 1 5 4 5 1 5

C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD Proba – Correction ex 13 2/2 c. Calculons la probabilité de R₁∩N₃

L’événement R1∩N3 est la réunion des événements incompatibles R1∩N2∩N3 et R1∩R2∩N3

Or, p (R1∩N2∩N3)=3 5×1

5×4 9= 4

75 et p (R1∩R2∩N3)=3 5×4

5×3 9= 4

25 Ainsi p(R1∩N3)=p (R1∩N2∩N3)+p(R1∩R2∩N3)= 4

75+ 4 25=16

75

Donc la probabilité de tirer une rouge dans l’urne 1 et une dans l’urne 3 est 16 75

3. Déduisons-en la probabilité de l’événement N3

L’événement N3 est la réunion des événements incompatibles R1∩N3 et N1∩N3

donc p

( )

(

)

(

)

75+14 75=2

5 La probabilité de tirer une boule noire de l’urne 3 est 2

5 . 4. Les événements N1 et N3 sont-ils indépendants ? p

(

)

( )

( )

5×2 5= 4

25 donc p

(

)

( )

( )

ne sont pas indépendants.

5. Sachant que la boule tirée dans U3 est noire, quelle est la probabilité que le boule tirée de U1 soit rouge ?

pN3

( )

(

)

p

( )

= 16 75 2 5

= 8 15

La probabilité que la boule tirée de U₁ soit rouge sachant que la boule tirée de U₃ est noire est 8 15 .