() Toutes les réponses devront être justifiées. CONTROLE N°3 TES2-L.

CONTROLE N°3 TES2-L.

Jeudi 3 décembre 2015.

1 heure

Toutes les réponses devront être justifiées.

I. 2 points

f est la fonction définie sur par f( x) 2,5

e

2e 0,5x e

. Montrer que pour tout réel x, f (x ) (2,5 x) e

.

II. 4 points

Soit f la fonction définie sur par f( x) e

2x.

1. Résoudre l inéquation e

1.

2. Construire le tableau de variation de f sur . III. 11 points

Soit f la fonction définie sur [0 10] par f (x ) x e

. Partie A.

Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

1. En s’appuyant sur les résultats ci-dessus, déterminer les variations de la fonction f puis dresser son tableau de variation.

2. En déduire que la fonction f admet un minimum dont on précisera la valeur.

Partie B.

Une entreprise fabrique des objets. Sa capacité de production est limitée, compte tenu de l’outil de production utilisé, à mille objets par semaine.

Le coût de revient est modélisé par la fonction f étudiée dans la partie A, où x est le nombre d’objets fabriqués exprimé en centaines d’objets et f( x) le coût de revient exprimé en milliers d’euros.

1. Quel nombre d’objets faut-il produire pour que le coût de revient soit minimum ?

2. Un objet fabriqué par cette entreprise est vendu 12€. On appelle marge brute pour x centaines d’objets, la différence entre le montant obtenu par la vente de ces objets et leur coût de revient.

a. Justifier que le montant obtenu par la vente de x centaines d’objets est 1,2x milliers d’euros.

b. Montrer que la marge brute pour x centaines d’objets, notée g( x), en milliers d’euros, est donnée par : g (x ) 0,2 x – e

.

c. Montrer que la fonction g est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 10].

3.

a. Montrer que l’équation g( x) 0 possède une unique solution α sur l’intervalle [0 ; 10].

b. Déterminer un encadrement de α d’amplitude 0,01.

4.

a. Donner le tableau de signes de g (x ) sur [0 10].

b. En déduire la quantité minimale d’objets à produire afin que cette entreprise réalise une marge brute positive sur la vente de ces objets.

IV. 3 points

f est la fonction définie sur par f( x) ( ^x

^{x 1} ) ^e

. Construire le tableau de variations de la fonction f sur

.

CORRECTION DU CONTROLE N°3 TES2-L.

I. Voir DM n°4.

II. Soit f la fonction définie sur par f (x ) e

2 x.

1. e

1  e

e

 2x 3 0  x 3 2 : S

 

  3

2 .

2. f est dérivable sur . f ( x) 2e

2 2 ( ^e

¹ )

D après la question 1, f ( x) 0 ssi x 3 2 . On a donc le tableau suivant :

x 3/2 +

f  

  3

2 e

2

 

  3 2 4

signe de f ( x) +

variations de f

4

III. Soit f la fonction définie sur [0 ; 10] par f (x) = x + e- x 1.

Partie A.

1. D après les résultats ci-dessus, f ( x) e

1 et f (x ) 0 pour x 1.

2. On a donc le tableau suivant :

x 1 +

f(1) 1 e

2

signe de f ( x) +

variations de f

2

3. Le minimum de la fonction f est 2. Il est atteint pour x 1.

Partie B.

Une entreprise fabrique des objets. Sa capacité de production est limitée, compte tenu de l’outil de production utilisé, à mille objets par semaine.

Le coût de revient est modélisé par la fonction f où x est le nombre d’objets fabriqués exprimé en centaines d’objets et f( x) le coût de revient exprimé en milliers d’euros.

1. D après la partie A, il faut produire 100 objets pour que le coût de revient soit minimum. Ce coût est alors de 2000€.

2. Un objet fabriqué par cette entreprise est vendu 12€. On appelle marge brute pour x centaines d’objets, la différence entre le montant obtenu par la vente de ces objets et leur coût de revient.

a. Le montant obtenu par la vente de x centaines d objets est 12 100x = 1200x , soit 1,2x milliers d euros.

b. On a g (x ) 1,2x f ( x) 1,2x ( ^{x e}

) ^{1,2x x e}

^{0,2x e}

^.

c. g est dérivable sur [0 10]. g ( x) 0,2 e

0 car e

0 donc la fonction g est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 10].

3.

a. g est continue et strictement croissante sur [0 ; 10] ; g(0) e 2,718 et

g(10) 2 e

2 et 0  [ ^{e 2 e}

] . Alors l équation g (x ) 0 possède une unique solution α sur l’intervalle [0 ; 10].

b. f (1,94) 0,003 0 et f(1,95) 0,003 0 donc 1,94 1,95.

4. On a donc le tableau de signes suivant :

x 0 10

signe de g( x) +

L entreprise doit fabriquer au moins 195 objets afin de réaliser une marge brute positive.