St. Joseph/ICAM Toulouse
CB n
◦11 - SURFACES - CORRECTION
Exercice 1
On considère la surface S paramétrée par
x(u, v) =u2+uv y(u, v) =u3−v2 z(u, v) =u3+ 1 1. S est-elle régulière ?
On noteϕle paramétrage de S.
∂ϕ
∂u(u, v) =
2u+v
3u2 3u2
et ∂ϕ
∂v(u, v) =
u
−2v 0
donc ∂ϕ
∂u(u, v)∧∂ϕ
∂v(u, v) =
6u2v 3u3
−2v(2u+v)−3u3
.
∂ϕ
∂u(u, v)∧ ∂ϕ
∂v(u, v) =
0 0 0
⇔u=v= 0.
On en déduit que S admet un point singulier, elle n’est donc pas régulière.
2. Déterminer l’équation du plan tangent à S au pointA(u= 1, v= 1).
∂ϕ
∂u(1,1)∧∂ϕ
∂v(1,1) =
6 3
−9
, donc l’équation du plan tangent enA(2,0,2)est : 6(x−2) + 3y−9(z−2) = 0, soit encore :2x+y−3z+ 2 = 0
Exercice 2
On considère la surface Σd’équation cartésienne
z2−4xz2−xz+y+ 3 = 0 1. Montrer que Σest une surface réglée.
Σ = [
λ∈R
∆λ où ∆λ :
−λ(4λ+ 1)x+y+ 3 +λ2 = 0
z=λ .
Σest la réunion de droites, c’est donc une surface réglée.
Autre méthode :
On peut paramétrer la surface avecψ:
x=t
y=−3−λ2+t λ(4λ+ 1) z=λ
On reconnait un paramétrage de surface réglée.
2. Justifier que le point Ade coordonnées(1,1,1)est un point régulier deΣ, et déterminer une équation cartésienne du plan tangent à Σen A.
On note F(x, y, z) = z2 −4xz2 −xz+y + 3. −−−→
GradF(x, y, z) =
−4z2−z 1 2z−8xz−x
6= −→
0 donc Σ est régulière, et en particulier A est un point régulier deΣ.
−−−→GradF(A) =
−5 1
−7
donc l’équation du plan tangent en A est : −5(x−1) + (y−1)−7(z−1) = 0, soit encore5x−y+ 7z−11 = 0.
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Exercice 3
Donner une équation cartésienne de la surface de révolution engendrée par la rotation de la courbe C:
x= cost y=t z= sint
autour de la droite(Oy).
Quelle est la nature de cette surface ?
On noteΣ la surface recherchée. L’axe(Oy)est dirigé par −→
j et passe parO.
M(x, y, z)∈Σ⇔ ∃M0(t)∈C,
( OM =OM0
−−−→M0M·−→
j = 0 ⇔
x2+y2+z2 = cos2t+t2+ sin2t
y−t= 0 .
On en déduitΣ :x2+z2= 1.
Il s’agit d’un cylindre.
Exercice 4
Former une équation cartésienne du cône de sommet S(3,0,3)et de directrice d’équations x2+y2−2x= 0
y=z .
On noteΣ le cône recherché etC la directrice.
M(x, y, z)∈Σ⇔ ∃t∈R, S+t−−→
SM ∈C ⇔ ∃t∈R,
(3 +t(x−3))2+ (ty)2−2(3 +t(x−3)) = 0 ty= 3 +t(z−3)
⇔ ∃t∈R,
t(y−z+ 3) = 3
t2((x−3)2+y2) + 4t(x−3) + 3 = 0
On obtient Σ : 3x2+ 4y2+z2+ 4xy−4xz−2yz−6x−6y+ 6z= 0.
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