St. Joseph/ICAM Toulouse
CB n
◦11 - SURFACES - CORRECTION
Exercice 1
On considère la surface S paramétrée par
x(u, v) =u3+v2 y(u, v) =u+v2 z(u, v) =v2+v+ 1 1. S est-elle régulière ?
On noteϕle paramétrage de S.
∂ϕ
∂u(u, v) =
3u2
1 0
et ∂ϕ
∂v(u, v) =
2v 2v 2v+ 1
donc ∂ϕ
∂u(u, v)∧∂ϕ
∂v(u, v) =
2v+ 1
−3u2(2v+ 1) 2v(3u2−1)
.
∂ϕ
∂u(u, v)∧ ∂ϕ
∂v(u, v) =
0 0 0
⇔
v=−1 2 u=± 1
√ 3
.
On en déduit que S admet des points singuliers, elle n’est donc pas régulière.
2. Déterminer l’équation du plan tangent à S au pointA(u= 1, v= 1).
∂ϕ
∂u(1,1)∧∂ϕ
∂v(1,1) =
3
−9 4
, donc l’équation du plan tangent enA(2,2,3)est : 3(x−2)−9(y−2) + 4(z−3) = 0, soit encore :3x−9y+ 4z= 0
Exercice 2
SoitS la surface d’équation cartésiennex2−y2+ 2z2= 2.
1. Montrer que S est régulière.
On noteF(x, y, z) =x2−y2+ 2z2−2.−−−→
GradF(x, y, z) =
2x
−2y 4z
=−→
0 ⇔x=y=z= 0.
OrO /∈S donc la surface est régulière.
2. Déterminer une équation cartésienne du plan Πtangent à S au pointA(1,−1,1).
−−−→GradF(A) =
2 2 4
, donc l’équation du plan tangent en A est2(x−1) + 2(y+ 1) + 4(z−1) = 0, soit encore : x+y+ 2z−2 = 0.
3. Déterminer les points de S en lesquels le plan tangent est orthogonal à la droiteD:
x(t) =t y(t) = 1−t z(t) =t
.
Dest dirigée par ~u=
1
−1 1
, et le planΠ0 tangent en M0(x0, z0, y0) a pour vecteur normal
x0
−y0 2z0
.
Ainsi, Π0 est orthogonal à Dsi, et seulement si
1
−1 1
∧
x0
−y0 2z0
=
0 0 0
.
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Comme M0∈S, on en déduit :
x0=y0
y0 = 2z0
x20−y02+ 2z02 = 2
⇔
x0 =y0
y0 = 2z0
z20 = 1 .
Finalement, les deux plans satisfaisant le problème sont tangents àSenM1(2,2,1)etM2(−2,−2,−1).
Exercice 3
Former une équation cartésienne du cône de sommet O et de directrice d’équations x2+y2−xy−1 = 0
z= 1 .
On noteΣ le cône recherché etC la directrice.
M(x, y, z)∈Σ⇔ ∃t∈R, O+t−−→
OM ∈C⇔ ∃t∈R,
(tx)2+ (ty)2−(tx)(ty)−1 = 0
tz= 1 .
On obtient Σ :x2+y2−xy−z2= 0.
Exercice 4
Donner une équation cartésienne de la surface de révolution engendrée par la rotation de la courbe C:
x=t
y= 1 + cost z= 2−sint
autour de la droite (Ox).
On noteΣ la surface recherchée. L’axe(Ox) est dirigé par −→
i et passe par O.
M(x, y, z)∈Σ⇔ ∃M0(t)∈C,
( OM =OM0
−−−→M0M·−→
i = 0 ⇔
x2+y2+z2 =t2+ (1 + cost)2+ (2−sint)2
x−t= 0 .
On en déduitΣ :y2+z2−2 cosx+ 4 sinx−6 = 0.
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