Universit´e de Pau et des Pays de l’Adour Master 1 MMS, 2015-2016 D´epartement de Math´ematiques Analyse Num´erique Fondamentale
TD 2 - Discr´etisation des ´equations diff´erentielles ordinaires.
Exercice 1. Etude de sch´emas d’Euler.
Soita∈R+. On consid`ere l’EDO suivante
y0(t) =−ay(t), t >0 (1)
avec la condition initialey(0) =y0∈R.
1. Montrer que les sch´emas d’Euler explicite et d’Euler implicite sont consistants d’ordre 1. On pourra utiliser le fait que la solutiony est de classeC2.
2. Etude de stabilit´e des sch´emas d’Euler implicite et explicite: montrer que le sch´ema d’Euler implicite est inconditionnellement stable puis que le sch´ema explicite est conditionnellement stable. Pour ce dernier, on pr´ecisera la condition de stabilit´e.
3. D´emontrer que les deux sch´emas sont convergents d’ordre au moins 1.
4. Cas vectoriel. Soit A ∈ Rn×n une matrice sym´etrique positive. On consid`ere `a pr´esent l’EDO suivante
y0(t) =−Ay(t), t >0 (2)
avec la condition initialey(0) =y0∈Rn.
Expliciter les sch´emas d’Euler explicite et implicite associ´es. Etudier la consistance, stabilit´e et convergence de ces sch´emas.
Exercice 2. Etude de stabilit´e et sch´ema du point milieu.
Soita >0 et h >0. On consid`ere le sch´ema du point milieu
y0 =α, yn+1
2 =yn+h2F(tn, yn), yn+1 =yn+hF(tn+1
2, yn+1
2),
(3)
o`u tn+1
2 =tn+h2, pour discr´etiser le probl`eme
( y0(t) =F(t, y(t)), t >0 y(0) =α.
D´eterminer sous quelle condition ce sch´ema (3) esta-stable siF(t, y) =−ay.
Exercice 3.
Pour tracer un cercle C de centre (0,0) et de rayon r = 1, on peut tracer la courbe param´etr´ee {(x(t) = cost, y(t) = sint), t ∈ [0,2π[} en utilisant un grand nombre de valeurs det.
1
1. Montrer que l’on obtient le cercleC en consid´erant le syst`eme diff´erentiel suivant
x0(t) =−y(t), y0(t) =x(t), x(0) = 1, y(0) = 0.
(4)
2. On poseh= 2πn. Montrer que la m´ethode d’Euler explicite appliqu´ee `a (4) conduit `a calculer les pointsPk de coordonn´ees (xk, yk)T tels que (xk+1, yk+1)T =Ah(xk, yk)T o`uAh=
1 −h
h 1
.
3. Montrer queAThAh =AhATh =
1 +h2 0 0 1 +h2
.
4. Montrer quex2k+1+y2k+1= (1 +h2)(x2k+y2k). En d´eduire que les coordonn´ees dePk
v´erifientx2k+yk2 = (1 +h2)k. Les pointsPk sont-ils sur le cercleC?
5. Montrer que la m´ethode d’Euler implicite conduit `a calculer les points Qk dont les coordonn´ees v´erifient dans ce casx2k+y2k= (1+h12)k.
6. On peut r´esoudre le probl`eme
( u0(t) =f(t, u(t)), t >0 u(0) =u0,
avec la m´ethode implicite du trap`eze en posant, pourk>0 : uk+1=uk+h
2(f(tk, uk) +f(tk+1, uk+1)) .
Montrer qu’en l’utilisant pour le probl`eme (4), les pointsMkque l’on calcule ont des coordonn´ees qui v´erifient pour tout k,x2k+y2k= 1.
Exercice 4. Etude de stabilit´e et sch´ema d’Euler On consid`ere le syst`eme diff´erentiel suivant
u0(t) =−7u(t) + 3v(t), t >0 v0(t) = 6u(t)−4v(t), t >0 u(0) =α,
v(0) =β.
1. Ecrire ce syst`eme sous la forme Y0(t) =AY(t) o`u Y(t) = (u(t), v(t))T.
2. Calculer la solution exacte de ce syst`eme, apr`es avoir diagonalis´e la matriceA.
3. Donnez la condition de stabilit´e pour la m´ethode d’Euler explicite appliqu´ee `a ce probl`eme.
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