exercice de synthèse : ex 72 p 351

Externat Notre Dame exercices sur les probabilités conditionnelles novembre 2015

exercice de synthèse : ex 72 p 351

1. a. v_n+1=u_n+1−2 5=1

6u_n+1 3−2

5=1 6u_n− 1

15=1 6

³ v_n+2

5

´

− 1 15=1

6u_n+ 1 15− 1

15=1 6v_n Cela montre que la suite (v_n) est géométrique, de raison1

6

b. Pour déterminerv_n, on doit connaître son premier terme :v₁=u₁−2 5=1

2−2 5= 1

10 On a donc,pour tout entiernsupérieur ou égal à 1 : v_n= 1

10 1 6ⁿ⁻¹ On en déduit : u_n=2

5+ 1 10

1 6ⁿ⁻¹

2. a. a1est la probabilité d’utiliser le déAau premier lancer ; cette probabilité vaut1

2: a1=1 2 b. D’après la formule des probabilités totales :P(R₁)=P(A₁∩R₁)+P(A₁∩R₁)

Cela donne :r₁=1 2×1

2+1 2+4

6= 7

12 r₁= 7 12

c. Rn=(Rn∩An)∪(Rn∩An) est une relation sur les événements ; cela donne en terme de pro- babilités :

r_n=P(R_n∩A_n)+P(R_n∩A_n) ; on fait évoluer ces écritures en utilisant les probabilités condi- tionnelles :

r_n=P(A_n)×P_An(R_n)+P(A_n)×P_A

n(R_n) D’où :rn=an×1

2+(1−an)×2 3

En faisant évoluer cette écriture, on obtient : rn= −1 6an+2

3 d. A_n+1=(R_n∩A_n)∪(A_n∩R_n)

Comment obtenir le déAaun+1^èmelancer ? Deux cas de figure :

– on avait un déAau lancer précédent (len^ième) et on est tombé sur une face rouge ; – on avait un déBau lancer précédent et on est tombé sur une face blanche.

Écrire cette situation en notations mathématiques donne : A_n+1=(R_n∩A_n)∪(A_n∩R_n) Cette relation ne fait finalement que traduire la « règle du jeu ».

e. En passant aux probabilités dans la relation précédente, on obtient : P(A_n+1)=P(R_n∩A_n)+P(A_n∩R_n) (car les événements sont incompatibles) D’où :an+1=P(An)×PA_n(Rn)+P(An)×P_A

n(Rn)=an×1

2+(1−an)×1 3 En faisant évoluer cette écriture, on obtient : a_n+1=1

6a_n+1 3 On constate que la suite (a_n) vérifie :

– le premier termea₁est égal à1 2;

– la relation de récurrence suivante :a_n+1=1 6a_n+1

3.

La suite (a_n) est donc la suite décrite dans la partie 1 de l’exercice, et donc, pour tout entier n>^{1, a}n=2

5+ 1 10

1 6ⁿ⁻¹

f. ainsi,r_n= −1 6

³2 5+ 1

10 1 6ⁿ⁻¹

´ +2

3= −1 10

1 6ⁿ +3

5; on a bien : r_n− 1 10

1 6ⁿ+3

5 Comme−1<1

6<1, on sait que lim 1

6ⁿ =0, et on conclut donc que : limr_n=3 5

Cela signifie qu’après « un grand nombre d’étapes », la probabilité d’avoir une face rouge à un lancer sera proche de3

5.