Interrogation Écrite n

Interrogation Écrite n

3 : corrigé

PTSI B Lycée Eiffel 6 novembre 2015

1. I₁= e^2x

2 − e^−3x 3

1 0

= e² 2 −e⁻³

3 −1 2 +1

3 = e² 2 − 1

3e³ −1 6. 2. I₂=

− 1 2t²

2 1

=−1 8+ 1

2 = 3 8. 3. I3=

−1 2e^−x2

√ 2 1

=−e⁻² 2 +e⁻¹

2 = 1 2e − 1

2e².

4. On fait une IPP en posantu⁰(t) = 2t, doncu(t) =t², etv(t) = ln(t) donc v⁰(t) = 1 t. On obtientI₄ = [t²ln(t)]^e₁−

Z e

1

t dt=e²− t²

2 e

1

=e²−e² 2 +1

2 = e²+ 1 2 .

5. On fait une IPP en posantu⁰(x) = sin(x), doncu(x) =−cos(x), etv(x) =x, doncv⁰(x) = 1.

On obtientI₅ = [−xcos(x)]^π₀ + Z π

0

cos(x) dx=π+ [sin(x)]^π₀ =π.

6. Posons donc u=√

t, soit t=u². Les bornes deviennent 1et√

2, etdt= 2u du, donc I₆ =

Z

√ 2 1

1

u²+u ×2u du = Z

√ 2 1

2

u+ 1 du = [2 ln(u+ 1)]

√2

1 = 2 ln(1 +√

2)−2 ln(2) = 2 ln 1 +√

2 2

! .

7. La valeur absolue étant paire,I₇ = 2 Z ₂

0

|x|dx= 2 Z ₂

0

x dx= [x²]²₀= 4.

8. On fait une double IPP en dérivant à chaque fois le cosinus : I₈= [cos(t)e^t]^π₀+

Z π

0

sin(t)e^tdt=−e^π−1 + [sin(t)e^t]^π₀− Z π

0

cos(t)e^tdt=−e^π−1−I₈, donc 2I8 =−e^π−1, etI8 =−e^π+ 1

2 .

9. On fait une IPP en posantu⁰(x) = 1

cos²(x), donc u(x) = tan(x), et v(x) =x doncv⁰(x) = 1.

On obtient I9 = [xtan(x)]

π 4

0 − Z ^π

4

0

tan(x) dx = π 4 −

Z ^π

4

0

sin(x)

cos(x) dx = π

4 + [ln(cos(x))]

π 4

0 =

π 4 + ln

√2 2

!

= π 4 −1

2ln(2).

10. On factorise le dénominateur sous la forme t²−3t+ 2 = (t−1)(t−2). Puis on effectue la décomposition en éléments simples : t

(t−1)(t−2)= a

t−1 + b

t−2. En multipliant part−1 puis en prenant t = 1, on trouve 1

−1 = a, soit a = −1. En multipliant par t−2 puis en prenantt= 2, on trouve 2

1 =b, soit b= 2. Il ne reste plus qu’à calculer l’intégrale :

1

I₁₀= Z ₀

−1

2

t−2− 1

t−1 dt= [2 ln(2−t)−ln(1−t)]⁰₋₁ = 2 ln(2)−2 ln(3) + ln(2) = 3 ln(2)− 2 ln(3) = ln

8 9

(qui est légèrement négatif, ce qui est normal).

2