Interrogation écrite n°05
NOM : Prénom : Note :
1. SoitA = (1 1
0 1). Calculer exp(A).
On remarque queA = I2+NavecN = (0 1
0 0).I2etNcommutent doncexp(A) =exp(I2)exp(N). D’une part,exp(I2) = (𝑒 0 0 𝑒) et d’autre part,N2= 0doncexp(N) = I2+ N = A. Finalement, on obtientexp(A) = (𝑒 𝑒
0 𝑒).
2. On poseA = ( 1 2
−1 4). CalculerA𝑛pour tout𝑛 ∈ ℕ.
On calculeχA = X2− 5X + 6 = (X − 2)(X − 3). NotonsR𝑛= 𝑎𝑛X + 𝑏𝑛le reste de la division euclidienne deX𝑛parχA. Alors R𝑛(2) = 2𝑎𝑛+ 𝑏𝑛= 2𝑛etR𝑛(3) = 3𝑎𝑛+ 𝑏𝑛= 3𝑛. Ainsi𝑎𝑛= 3𝑛− 2𝑛et𝑏𝑛= 2𝑛− 2𝑎𝑛= 3 ⋅ 2𝑛− 2 ⋅ 3𝑛. On en déduit que
A𝑛= R𝑛(A) = (3𝑛− 2𝑛)A + (3 ⋅ 2𝑛− 2 ⋅ 3𝑛)I2
3. Déterminer les matricesM ∈ ℳ𝑛(ℝ)vérifiantM2− 3M + 2I𝑛= 0et tr(M) = 2𝑛.
SoitMune telle matrice. CommeX2− 3X + 2 = (X − 1)(X − 2)annuleM,Mest diagonalisable etSp(M) ⊂ {1, 2}. En notant𝑚1et 𝑚2les multiplicités respectives des valeurs proppres1et2, on a donc𝑚1+ 𝑚2 = 𝑛et𝑚1+ 2𝑚2= 2𝑛. On en déduit que𝑚1= 0 et𝑚2= 𝑛. AinsiSp(M) = {2}. CommeMest diagonalisable,Mest donc semblable à2I𝑛et finalementM = 2I𝑛. Réciproquement,
2I𝑛convient.
4. On pose𝑓𝑛∶ 𝑥 ↦ 𝑥𝑛(1 − 𝑥). La suite de fonctions(𝑓𝑛)converge-t-elle simplement sur[0, 1]? uniformément sur[0, 1]?
Remarquons que𝑓𝑛(1) = 0et que pour𝑥 ∈ [0, 1[, la suite géométrique(𝑓𝑛(𝑥))converge vers0. Ainsi(𝑓𝑛)converge simplement vers la fonction nulle sur[0, 1]. Une étude de fonctions montre que𝑓𝑛est positive et atteint son maximum en 𝑛
𝑛 + 1. Par conséquent,
‖𝑓𝑛‖∞,[0,1]= 𝑓𝑛( 𝑛
𝑛 + 1) ≤ 1 𝑛 + 1 Ainsi lim
𝑛→+∞‖𝑓𝑛‖∞,[0,1]= 0i.e.(𝑓𝑛)converge uniformément vers la fonction nulle sur[0, 1].
5. On pose𝑓𝑛∶ 𝑥 ↦ 𝑛𝑥𝑒−𝑛𝑥. La suite de fonctions(𝑓𝑛)converge-t-elle simplement surℝ+? uniformément surℝ+? On remarque que𝑓𝑛(0) = 0et pour𝑥 ∈ ℝ∗+, lim
𝑛→+∞𝑓𝑛(𝑥) = 0par croissances comparées. La suite(𝑓𝑛)converge donc simplement vers la fonction nulle surℝ+. De plus,𝑓𝑛(1/𝑛) = 𝑒−1donc(𝑓𝑛(1/𝑛))ne converge pas vers0. La suite(𝑓𝑛)ne converge donc pas
uniformément.
