FILIERE MP

SESSION 1997

T P E

FILIERE MP

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES. 2 ème épreuve

Question préliminaire

Quandntend vers+∞, an=ln

(n+1)^α n^α

+ln

un+1

un

=αln

1+ 1 n

+ln

1−α

n+O( 1 n²

) = α

n−α

n+O( 1

n²) =O( 1 n²).

Par suite, la série de terme généralan =bn+1−bn est absolument convergente et donc convergente. On en déduit que la suite(bn)converge et donc que la suite(n^αun) = (e^bn)converge vers un réel strictement positifK. On a montré que

∃K > 0/ un ∼

n→+∞

K n^α.

Première partie

1) a)Soit x réel fixé non dans Z⁻. La suite 1

n+x

n∈N

est définie, décroisante et positive à partir d’un certain rang (pourn > −x) et tend vers0. Donc la série proposée converge en vertu du critère spécial aux séries alternées. Ainsi, la série de fonctions de terme généralfn : x7→ (−1)ⁿ

n+x converge simplement sur E.

Soit[a, b]un segment inclus dansE( et donc soit inclus dans]0,+∞[, soit dans un intervalle de la forme] − (p+1),−p[

oùpest un entier naturel).

Pour n entier naturel donné strictement supérieur à −a et x réel élément [a, b], posons Rn(x) = X+∞

k=n+1

(−1)^k

k+x. x étant fixé, la suite numérique

1 k+x

k≥n+1

est décroissante (car n+1 >−a) et d’après une majoration classique du reste d’ordrend’une série alternée, on a

∀n >−a, ∀x∈[a, b], |Rn(x)|≤

(−1)ⁿ⁺¹ n+1+x

= 1

n+1+x ≤ 1 n+1+a. On en déduit encore que

∀n >−a, sup{|Rn(x)|, x∈[a, b]}≤ 1 n+1+a.

Comme 1

n+1+a tend vers0quandntend vers+∞, il en est de même de la suite(sup{|Rn(x)|, x∈[a, b]})n>−a. Ainsi, la suite des restes(Rn)converge uniformément vers la fonction nulle sur tout segment inclus dansEou encore la série de teme généralfn converge uniformément vers sa somme sur tout segment inclus dansE.

Comme chaque fonctionfn est continue sur tout segment inclus dansE,gest continue sur tout segment inclus dansEen tant que limite uniforme sur un tel segment d’une suite de fonctions continues sur ce segment et finalement

gest continue surE.

http ://www.maths-france.fr 1 ^c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.

b)Soitx∈E. Tout d’abord la suite 1

n − 1 n+x

n≥1

est définie.

Soit maintenant[a, b]un segment inclus dansE. Pourn >−aet x∈[a, b],

1 n− 1

n+x

= |x|

n|n+x| = |x|

n(n+x)≤ Max(|a|,|b|) n(n+a) . Comme la série de terme général Max(|a|,|b|)

n(n+a) converge, on en déduit que la série de fonctions de terme général x7→ 1

n − 1

n+x est normalement convergente sur tout segment inclus dans E et par suite uniformément et simplement convergente sur tout segment inclus dansE.

Puisque chaque fonction x 7→ 1 n− 1

n+x est continue sur E, la fonction x 7→

X+∞

n=1

1 n− 1

n+x

est continue sur tout segment deEet donc surEen tant que limite uniforme sur tout segment inclus dansEd’une suite de fonctions continues surE. Enfin, comme la fonctionx7→−1

x est continue surE,

fest continue surE.

2) Soit x ∈ E. Tout d’abord x

2 et x+1

2 sont dans E (car si x

2 = k ∈ Z⁻ ou x+1

2 = k ∈ Z⁻ alors x = 2k ∈ Z⁻ ou x=2k−1∈Z⁻). De plus,

1 2

f

x+1 2

−fx 2

= 1 2 − 2

x+1 +

+∞

X

n=1

1

n− 2

2n+1+x

+ 2 x−

+∞

X

n=1

1 n− 2

2n+x !

= 1 x− 1

x+1 + X+∞

n=1

1

2n+x− 1 2n+1+x

=

+∞X

n=0

1

2n+x− 1 2n+1+x

=

+∞

X

n=0

(−1)²ⁿ

2n+x + (−1)²ⁿ⁺¹ 2n+1+x

=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

n+x =g(x), (puisque la série de sommegconverge , on peut associer deux à deux les termes de cette série).

∀x∈E, g(x) = 1 2

f

x+1 2

−fx 2

.

Soitx∈E.

f(x+1) −f(x) = − 1 x+1 +

+∞

X

n=1

1

n− 1

n+x+1

+ 1 x−

+∞

X

n=1

1

n− 1

n+x+1

= 1 x− 1

x+1+

+∞X

n=1

1

n+x− 1 n+x+1

=

+∞X

n=0

1

n+x − 1 n+x+1

= lim

N→+∞

XN

n=0

1

n+x− 1 n+x+1

= lim

N→+∞

1

x− 1

N+x+1

= 1 x.

∀x∈E, f(x+1) = 1 x+f(x).

Soitx∈Efixé.

f(x) = −γ− 1 x+

+∞

X

n=1

1 n− 1

n+x

n→=+∞ − Xn

k=1

1 k −lnn

!

− 1 x+

n−1X

k=1

1 k− 1

k+x

+o(1)

=lnn−1 x−

n−1X

k=1

1

k+x+o(1) =lnn−

n−1X

k=0

1

k+x+o(1)

= lim

n→+∞ ln(n) −

n−1X

k=0

1 k+x

! .

∀x∈E, f(x) = lim

n→+∞ ln(n) −

n−1X

k=0

1 k+x

! .

3)Soient[a, b]un segment inclus dansEetr un naturel non nul.

•Tout d’abord, chaque fonctionfn : x7→ 1 n− 1

n+x est de classeC^∞ sur[a, b].

•Ensuite, la série de fonctions de terme généralfn converge simplement sur [a, b]vers la fonction x7→f(x) +γ+1 x.

•Vérifions alors que chacune des séries de fonctions de terme généralf^(r)n est uniformément convergente sur [a, b].

Pourx∈[a, b]etn >−a,

|f^(r)n (x)|=

− (−1)^rr!

(n+x)^r+1

= r!

(n+x)^r+1 ≤ r!

(n+a)^r+1. et donc

sup{|f^(r)n (x)|, x∈[a, b]}≤ r!

(n+a)^r+1. Puisque r+1≥2, la série numérique de terme général r!

(n+a)^r+1 est convergente. Par suite, la série de fonctions de terme généralf^(r)n est normalement et donc uniformément convergente sur [a, b].

D’après une généralisation du théorème de dérivation terme à terme, la fonctionx7→f(x) +γ+ 1

x est de classe C^∞ sur [a, b]et il en est de même de f. fétant de classeC^∞ sur tout segment contenu dans E, f est de classe C^∞ sur E et ses dérivées successives s’obtiennent par dérivation terme à terme.

fest de classeC^∞ surEet ∀x∈E, ∀r∈N^∗, f^(r)(x) = (−1)^r+1r!

+∞

X

n=0

1 (n+x)^r+1.

Maintenant, chaque série de fonctions de terme généralx 7→ (−1)^r+1r!

(n+x)^r+1, n∈ N, converge normalement et donc unifor- mément sur [1,+∞[ car les majorations précédentes ne font intervenir que la borne infèrieureade [a, b]. De plus, pour chaque entier naturelret chaque entier natureln, la fonctionx7→ (−1)^r+1r!

(n+x)^r+1 a une limite réelleℓn,r =0 quandxtend vers+∞.

Le théorème d’interversion des limites permet d’affirmer que chaque fonctionf^(r),r∈N^∗ a une limite réelle quandxtend vers+∞et que

x→+∞lim f^(r)(x) = (−1)^r+1r!

+∞

X

n=0

x→lim+∞ℓn,r=0.

∀r∈N^∗, lim

x→+∞f^(r)(x) =0.

4)Soitx∈]0,+∞[.

Xn

k=0

1 x+k−ln

1+ 1

k+x

= Xn

k=0

1 x+k −

Xn

k=0

(ln(k+1+x) −ln(k+x)) = Xn

k=0

1

x+k −ln(n+1+x) +lnx

n→=+∞ (lnn−f(x)) −ln(n+1+x) +lnx+o(1) (d’après 2))

=h(x) −ln

1+x+1 n

+o(1) =h(x) +o(1).

Ainsi, pour tout réel strictement positifx, la série numérique de terme général 1 n+x−ln

1+ 1

n+x

,n∈N, converge versh(x).

∀x∈]0,+∞[, h(x) =

+∞

X

n=0

1 n+x−ln

1+ 1

n+x

.

Pourx > 0etn∈N, posonsvn(x) = 1 n+x−ln

1+ 1

n+x

.

vn(x) = 1

n+x− (ln(n+x+1) −ln(n+x)) = 1 n+x−

Zx+n+1 x+n

1 t dt=

Zn+x+1 n+x

1 n+x− 1

t

dt

=

(t− (n+x+1)) 1

n+x−1 t

n+x+1 n+x

−

Zn+x+1 n+x

t− (n+x+1) t² dt=

Zn+x+1 n+x

(n+x+1) −t

t² dt.

Donc, pourx > 0etn∈N^∗,

0≤vn(x)≤

Zn+x+1 n+x

1

t² dt≤ 1

(n+x)² ≤ 1 n², et donc

∀n∈N^∗, sup{|vn(x), x∈]0,+∞[}≤ 1 n². Comme la série numérique de terme général 1

n² converge, la série de fonctions de terme général vn, n ∈ N^∗ converge normalement et donc uniformément sur]0,+∞[. D’après le théorème d’interversion des limites,

x→lim+∞

h(x) = lim

x→+∞

1

x−ln(1+ 1 x+1)

+

X+∞

n=1 x→lim+∞

1

x+n−ln(1+ 1 x+n)

=

+∞X

n=0

0=0

x→lim+∞h(x) =0.

5) a)Il s’agit, d’après la question 3), de vérifier que pourx∈]1,+∞[, h(x) =lnx−f(x) =

+∞

X

k=2

1

k!f^(k−1)(x) =

+∞

X

k=2

1

k!(−1)^k(k−1)!

+∞

X

n=0

1 (n+x)^k =

+∞

X

k=2 +∞

X

n=0

(−1)^k k(n+x)^k

! .

Pour cela, vérifions tout d’abord la sommabilité de la suite doublewn,k= (−1)^k

k(n+x)^k,k≥2,n≥0(pour x > 1fixé).

Soientn∈Netx∈]1,+∞[fixés.

+∞

X

k=2

|wn,k|=

+∞

X

k=2

1 k(n+x)^k =

+∞

X

k=1

1

k(n+x)^k − 1 n+x

= −ln

1− 1 n+x

− 1

n+x (car −1 < 1

n+x < 1).

Ensuite,

+∞

X

k=2

|wn,k|= −ln

1− 1 n+x

− 1 n+x =

n→+∞

1 n− 1

n+O 1

n²

=O 1

n²

.

On en déduit que la série de terme général

+∞

X

k=2

|wn,k||wn,k|, n∈Nconverge et donc pour tout réel x > 1la suite double (wn,k)k≥2,n≥0est sommable.

D’après le théorème deFubini,

+∞

X

k=2 +∞

X

n=0

(−1)^k k(n+x)^k

!

=

+∞

X

n=0 +∞

X

k=2

(−1)^k k(n+x)^k

!

=

+∞

X

n=0

1 n+x−

+∞

X

k=1

(−1)^k−1 k(n+x)^k

!

=

+∞

X

n=0

1 n+x−ln

1+ 1

n+x

=h(x).

Finalement,

∀x > 1, lnx=

+∞X

n=1

f⁽ⁿ⁻¹⁾(x) n! .

b)Soientn≥2et x∈]1,+∞[,

f⁽ⁿ⁻¹⁾(x) n!

=

(−1)ⁿ n

+∞X

k=0

1 (k+x)ⁿ

= 1 n

+∞X

k=0

1 (k+x)ⁿ.

Maintenant, pour x > 1fixé, la suite 1 n

+∞

X

k=0

1 (k+x)ⁿ

!

n≥2

décroît (puisquex > 1, ∀k ∈N, 1

k+x ∈]0, 1[et chaque suiten7→ 1

(k+x)ⁿ est décroissante) et tend vers0quandntend vers+∞(puisque la série de terme général f⁽ⁿ⁻¹⁾(x) n! , n≥2converge).

D’après une majoration classique du reste d’ordrend’une série alternée, pourn≥2et x > 1, on a

+∞X

k=n+1

f^(k−1)(x) k!

≤

f⁽ⁿ⁾(x) (n+1)!

= 1 n+1

+∞X

k=0

1 (k+x)ⁿ⁺¹

≤ 1 n+1

+∞

X

k=0

1

(k+1)ⁿ⁺¹ ≤ 1 n

+∞

X

k=0

1

(k+1)² = π² 6n.

Ainsi,

∀n∈N^∗, sup

f⁽ⁿ⁻¹⁾(x) n!

, x∈]1,+∞[

≤ π² 6n, et donc sup

f⁽ⁿ⁻¹⁾(x) n!

, x∈]1,+∞[

tend vers0 quandntend vers+∞. Finalement

la série de fonctions de terme général f⁽ⁿ⁻¹⁾

n! converge uniformément sur]1,+∞[.

6) a)Soitx > 0. D’après 2)

h(x) −h(2x) =lnx−f(x) −ln(2x) +f(2x)

= −ln2+ lim

n→+∞ ln(2n−1) −

2n−1X

k=0

1 k+2x

!

− lim

n→+∞ ln(n) −

n−1X

k=0

1 k+x

!

= −ln2+ lim

n→+∞ln

2n−1 n

+ lim

n→+∞

n−1X

k=0

1 k+x−

2n−1X

k=0

1 k+2x

!

= lim

n→+∞ n−1X

k=0

1 k+x−

n−1X

k=0

1 2k+2x −

n−1X

k=0

1 2k+1+2x

!

= lim

n→+∞ n−1X

k=0

1

2k+2x− 1 2k+1+2x

!

= lim

n→+∞ 2n−1X

k=0

(−1)^k 1 k+2x

!

=g(2x).

Donc

∀x > 0, h(x) −h(2x) =g(2x).

b)Soientn∈N^∗ et x > 0.

h(x) =

n−1X

k=0

(h(2^kx) −h(2^k+1x)) +h(2ⁿx) =

n−1X

k=0

g(2^k+1x) +h(2ⁿx) Xn

k=1

g(2^kx) +h(2ⁿx).

Or , d’après la fin de 4), lim

n→+∞(h(2ⁿx)) =0 (carx > 0). Donc la série de terme généralg(2^kx)converge et de plus

∀x > 0, h(x) =

+∞

X

n=1

g(2ⁿx).

Soient α > 0, x ∈ [α,+∞[ et n ∈ N^∗. On a |g(2ⁿx)| =

+∞

X

k=0

(−1)^k k+2ⁿx

. n et x étant fixés, la suite 1

k+2ⁿx

k∈N

est décroissante et la somme de la série alternée précédente est majorée en valeur absolue par la valeur absolue de son premier terme. Donc

|g(2ⁿx)|≤ 1

2ⁿx ≤ 1 2ⁿα. Ainsi

sup{|g(2ⁿx)|, x∈[α,+∞[}≤ 1 2ⁿα.

Comme la série de terme général 1

2ⁿα, n ∈ N^∗ converge, la série de fonctions de terme général x 7→ g(2ⁿx), n ≥ 1, converge normalement sur[α,+∞[vershet ceci pour tout réel strictement positifα.

Deuxième partie

1) a)Soitx∈] −1,+∞[\{0}.

La fonctionu : t7→ 1−t^x

1−t est continue sur]0, 1[ et donc localement intégrable sur]0, 1[.

• Quandt tend vers0,u(t)∼

−t^xsix∈] −1, 0[

1six > 0 . Six > 0, uest prolongeable par continuité en 0 et donc intégrable sur un voisinage de0 à droite et si−1 < x < 0, la fonctiont7→−t^x est de signe constant sur un voisinage de 0à droite et intégrable sur un voisinage de0 à droite de sorte queuest intégrable sur un voisinage de0 à droite.

•Quandttend vers1,

u(t) = e^xlnt−1

t−1 ∼ xlnt t−1 ∼x,

Ainsi,use prolonge par continuité en1à gauche et est donc intégrable sur un voisinage de1 à gauche.

Finalement,

∀x∈] −1, 0[∪]0+∞[, la fonction t7→ 1−t^x

1−t est intégrable sur]0, 1[.

b)Soientx∈] −1,+∞[\{0}et n∈N^∗. Pourt∈]0, 1[, on a

1−t^x

1−t = (1−t^x) Xn

k=0

t^k+ (1−t^x)tⁿ⁺¹ 1−t =

Xn

k=0

(t^k−t^k+x) + 1−t^x 1−t tⁿ⁺¹. Au vu de l’intégrabilité des fonctions considérées, on obtient alors

J(x) =

n−1X

k=0

Z1 0

(t^k−t^k+x)dt+ Z1

0

1−t^x

1−t tⁿ dt=

n−1X

k=0

1

k+1 − 1 k+x+1

+

Z1 0

1−t^x 1−t tⁿdt

= Xn

k=1

1 k− 1

k+x

+ Z1

0

t−t^x+1

1−t tⁿ⁻¹dt.

Maintenant, puisquex+1 > 0, la fonctiont7→t−t^x+1

1−t est continue sur]0, 1[et se prolonge par continuité en0et en 1.

Cette fonction est en paticulier bornée sur]0, 1[. Soit alorsMun majorant de la fonctiont7→

t−t^x+1 1−t

sur]0, 1[.

Pournentier naturel non nul donné, on a

Z1 0

t−t^x+1

1−t tⁿ⁻¹dt

≤ Z1

0

t−t^x+1 1−t tⁿ⁻¹

dt≤ Z1

0

Mtⁿ⁻¹dt= M n. Comme M

n tend vers0quandntend vers+∞, il en est de même de Z1

0

t−t^x+1

1−t tⁿ⁻¹dt. On en déduit que J(x) =

+∞X

n=1

1 n− 1

n+x

=f(x) +γ+ 1 x. Finalement,

∀x∈] −1,+∞[\{0}, J(x) =f(x) +γ+1 x. 2) a)Soientn∈N^∗ et x∈] −1, 1[.

+∞X

k=1

(−1)^k+1x^k n^k+1

= 1 n

X+∞

k=1

|x]

n k

= 1 n×|x|

n × 1

1−|x|

n

(car |x|

n < 1)

= |x|

n(n−|x|.

De plus, quandntend vers+∞, |x|

n(n−|x| =O 1

n²

et la série de terme général

+∞X

k=1

(−1)^k+1x^k n^k+1

,n≥1, est convergente.

On en déduit que

la suite double

(−1)^k+1x^k n^k+1

n≥1, k≥1

est sommable.

b)D’après le théorème deFubini,

+∞X

k=1

(−1)^k+1ζ(k+1)x^k=

+∞X

k=1

(−1)^k+1x^k

+∞X

n=1

1 n^k+1 =

X+∞

n=1

X+∞

k=1

(−1)^k+1x^k n^k+1

=

+∞X

n=1

−1 n

+∞X

k=1

−x n

^k

!

=

+∞X

n=1



−1 n ×−x

n× 1 1+ x

n





=

+∞X

n=1

x n(n+x) =

+∞X

n=1

1 n− 1

n+x

=J(x) (d’après 1)b)).

∀x∈] −1, 1[, J(x) =

+∞X

k=0

(−1)^k+1ζ(k+1)x^k.

3) a)Soitx∈] −1, 1[. Pourt∈]0, 1[, 1−t^x

1−t = 1

1−t(1−e^xlnt) = 1 1−t 1−

X+∞

n=0

xⁿlnⁿt n!

!

= −

+∞X

n=1

lnⁿt 1−t

xⁿ n!. Soitn∈N^∗. La fonctionjn : t7→−lnⁿt

1−t xⁿ

n! est continue sur ]0, 1[, négligeable devant 1

√t quand tend vers0par valeurs supérieures et prolongeable par continuité en1 à gauche. Donc la fonctionjn est intégrable sur]0, 1[et chaque intégrale In,n∈N^∗, existe.

Vérifiions maintenant que

+∞X

n=1

Z

]0,1[

|jn|<+∞. Soitn∈N^∗. La fonctiont 7→ |lnt|

1−t est continue sur [1

2, 1[, se prolonge par continuité en 1 et est donc bornée sur [1

2, 1[. Soit M un majorant de cette fonction sur[1

2, 1[. On alors Z1

0

|lnt|ⁿ 1−t dt=

Z1/2 0

|lnt|ⁿ 1−t dt+

Z1 1/2

|lnt|ⁿ 1−t dt≤2

Z1/2 0

|lnt|ⁿdt+M

Z1 1/2

|lnt|ⁿ⁻¹dt

≤2 Z1

0

(−lnt)ⁿdt+M Z1

0

(−lnt)ⁿ⁻¹dt.

Maintenant, en posantu= −lnt, on obtient Z1

0

(−lnt)ⁿ dt= Z0

+∞

uⁿ×−e^−udu= Z+∞

0

uⁿe^−udu=Γ(n+1) =n!.

Par suite,

Z1 0

|jn|≤(2n! +M(n−1)!)|x|ⁿ

n! ≤(M+2)|x|ⁿ. Puisque|x|< 1, la série de terme général(M+2)|x|ⁿ converge et donc

+∞X

n=1

Z

]0,1[

|jn|<+∞. En résumé,

• chaque fonctionjn est continue et intégrable sur]0, 1[,

• la série de fonction de terme généraljn converge simplement sur]0, 1[vers la fonctiont7→ 1−t^x

1−t qui est continue sur]0, 1[,

•

+∞X

n=1

Z

]0,1[

|jn|<+∞.

D’après un théorème d’intégration terme à terme, J(x) =

Z1 0

−

+∞X

n=1

lnⁿt 1−t

xⁿ n!

!

dt= − X+∞

n=1

Z1 0

lnⁿt 1−t dt

!xⁿ n! = −

+∞X

n=1

In

n!xⁿ.

∀x∈] −1, 1[, J(x) = −

+∞X

n=1

In

n!xⁿ.

b)D’après la question 2)b) et par unicité des coefficients d’une série entière, on a

∀n∈N^∗, −In

n! = (−1)ⁿ⁺¹ζ(n+1), et donc

∀n∈N^∗, In= (−1)ⁿn!ζ(n+1).

4)a) En posantt=1−u, on obtient pourx >−1 J(x) =

Z1 0

1−t^x 1−t dt=

Z0 1

1− (1−u)^x

1− (1−u) −du= Z1

0

1− (1−u)^x

u du.

∀x >−1, J(x) = Z1

0

1− (1−u)^x

u du.

b)Pouru∈]0, 1[etx >−1, on a 1− (1−u)^x

u = 1

u 1−

+∞X

n=0

x n

(−u)ⁿ

!

=

+∞X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ x

n

uⁿ⁻¹.

Etudions alors la nature de la série numérique de terme général Z1

0

|(−1)ⁿ⁻¹

x n

uⁿ⁻¹|du= 1 n

x n

. Pour n∈N^∗ et x∈] −1,+∞[\{0}, posonsun = 1

n

x n

(l’égalité est immédiate pourx=0).

un+1

un

= n n+1

n!

(n+1)!

|x(x−1). . .(x− (n−1))(x−n)|

|x(x−1). . .(x− (n−1))| = n(n−x)

(n+1)² pournsuffisament grand.

Mais alors, quandntend vers+∞ un+1

un

= 1− x

n

(1+ 1

n)⁻²= 1− x

n

1− 2

n+O( 1 n²)

=1− x+2

n +O( 1 n²).

D’après la question préliminaire, il existe une constante réelle strictement positiveK(dépendant dex) telle que un ∼

n→+∞

K n^x+2.

Puisquex+2 > 1, la série de terme généralun converge. On peut donc intégrer terme à terme et on obtient

∀x >−1, J(x) =

+∞X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n

x n

.

c) Soitx∈] −1, 1[. σ(n, n) = 1 et plus généralement, pour1 ≤k ≤n, σ(n, k) = (−1)^n−k|σ(n, k)|. Donc, pourn∈ N^∗ donné

+∞

X

k=1

(−1)ⁿ⁻¹

n×n! σ(n, k)x^k

= 1

n×n!

+∞

X

k=1

(−1)^n−kσ(n, k)|x|^k= (−1)ⁿ n×n!

+∞

X

k=1

σ(n, k)(−|x|)^k= (−1)ⁿ n

−|x|

n

. Puis, comme−|x|>−1,

X+∞

n=1 +∞X

k=1

(−1)ⁿ⁻¹

n×n! σ(n, k)x^k

= X+∞

n=1

(−1)ⁿ n

−|x|

n

= −J(−|x|)<+∞, et la suite double de l’énoncé est sommable pourx∈] −1;1[.

d)Le théorème deFubinifournit alors pour x dans ] −1, 1[

J(x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n

x n

=

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n×n!

+∞

X

k=1

σ(n, k)x^k

=

+∞

X

k=1 +∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n×n! σ(n, k)

! x^k

Par unicité des coefficients d’une série entière et d’après 3) b)

∀k∈N^∗, (−1)^k+1ζ(k+1) =

+∞X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n×n! σ(n, k).