Interrogation écrite n°03

Interrogation écrite n°03

NOM : Prénom : Note :

1. Déterminer les éléments propres (valeurs propres et sous-espaces propres) de la matriceA = (2 3 1 4).

Le polynôme caractéristique estχ_A= X²−tr(A)X +det(A) = X²− 6X + 5 = (X − 1)(X − 5). AinsiSp(A) = {1, 5}.

De plus,

E1(A) =Ker(A − I2) =Ker(1 3

1 3) =vect(( 3

−1))

E₅(A) =Ker(A − 5I2) =Ker(−3 3

1 −1) =vect((1 1))

2. Déterminer l’ordre de la permutationσ ∈ S₅définie par

σ(1) = 4 σ(2) = 3 σ(3) = 2 σ(4) = 5 σ(5) = 1

Remarquons queσ = (1, 4, 5)(2, 3). Comme(1, 4, 5)et(2, 3)sont d’ordres respectifs2et3et commutent,σ⁶=IdS5. Ainsi l’ordre de𝑐divise6et vaut donc1,2,3ou6. De plus,

σ ≠IdS₅ σ²= (1, 5, 4) ≠IdS₅ σ³= (2, 3) ≠IdS₅

Donc l’ordre deσest6.

Remarque. De manière générale, si𝑥et𝑦sont deux éléments qui commutent d’ordres respectifs𝑝et𝑞et si𝑝 ∧ 𝑞 = 1,𝑥𝑦est d’ordre𝑝𝑞.

Remarque. On aurait aussi pu calculerσ^𝑘pour𝑘 ∈J1, 6Kmais c’était un peu plus fastidieux.

3. On considère9comme un élément du groupe(ℤ/12ℤ, +). Déterminer son ordre.

Il est clair que4 ⋅ 9 = 36 = 0donc l’ordre de9divise4. Or9 ≠ 0et2 ⋅ 9 = 18 = 6 ≠ 0. Ainsi l’ordre de9est4.

Remarque. A nouveau, on aurait pu calculer les mutiples successifs de4jusqu’à obtenir0.

4. On fixeP ∈ GL_𝑛(𝕂). Montrer que l’applicationφ ∶ M ∈ GL_𝑛(𝕂) ↦ P⁻¹MPest un automorphisme de groupe.

Remarquons queφest bien à valeurs dansGL_𝑛(𝕂)car le groupeGL_𝑛(𝕂)est stable par produit.

Soit(M, N) ∈ GL𝑛(𝕂)². Alors

φ(M)φ(N) = P⁻¹MPP⁻¹NP = P⁻¹MNP = φ(MN)

Enfin, en posantψ ∶ M ∈ GL𝑛(𝕂) ↦ PMP⁻¹, on vérifie queψ ∘ φ = φ ∘ ψ =IdGL_𝑛(𝕂)doncφest bijective.

On en conclut queφest bien un automorphisme du groupeGL𝑛(𝕂).

5. Soient FetGdeux sous-espaces vectoriels supplémentaires non nuls d’un espace vectoriel E. On note𝑝 le projecteur surF parallélement àG. Déterminer les éléments propres de𝑝(valeurs propres et sous-espaces propres).

Soitλune éventuelle valeur propre de𝑝. Il existe𝑥 ∈ Enon nul tel que𝑝(𝑥) = λ𝑥. Alors𝑝²(𝑥) = λ²𝑥. Comme𝑝²= 𝑝,λ²𝑥 = λ𝑥 puisλ²= λcar𝑥 ≠ 0_E. Ainsiλ ∈ {0, 1}. Ensuite

Ker(𝑝) = G Ker(𝑝 −IdE) = F

DoncSp(𝑝) = {0, 1}et les sous-espaces propres associés aux valeurs propres0et1sont respectivementGetF.

6. SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels supplémentaires non nuls d’un espace vectorielE. On note𝑠la symétrie par rapport à Fparallélement àG. Déterminer les éléments propres de𝑠(valeurs propres et sous-espaces propres).

Soitλune éventuelle valeur propre de𝑠. Il existe𝑥 ∈ Enon nul tel que𝑠(𝑥) = λ𝑥. Alors𝑠²(𝑥) = λ²𝑥. Comme𝑠²=IdE,λ²𝑥 = 𝑥 puisλ²= 1car𝑥 ≠ 0E. Ainsiλ ∈ {−1, 1}. Ensuite

Ker(𝑠 −IdE) = F Ker(𝑠 +IdE) = G

DoncSp(𝑠) = {−1, 1}et les sous-espaces propres associés aux valeurs propres−1et1sont respectivementFetG.