Interrogation écrite

(1)

T experts

Interrogation écrite

du mercredi 18 novembre 2020

Durée : 40 minutes À disposition : - fiche

- calculatrice

Numéro : ….. Prénom et nom :……….……….

Note : ….. / 20

I. (2 points)

Résoudre dans l’équation



^z^²ⁱ



² ^{ }⁹

 

¹ ^.

…..………

II. (12 points : 1°) 8 points : 2 points par calcul ; 2°) a) 2 points ; b) 2 points)

Soita etb deux nombres complexes. On considère les matrices 0 A 0

a b

 

  

  et 0

B 0

b a

 

  

 . 1°) Calculer AB, BA, A et² B . Écrire un calcul par ligne.²

2°) On pose C A B.

a) Démontrer que ^C² ^



^a^^b



^C^.

b) On pose 1 U 1

   

  et ^V^



^a ^b



. Calculer UV. Que constate-t-on ?

…..………

(2)

III. (5 points : 1°) 2 points ; 2°) 3 points)

1°) On pose 1 1 A i 1

  

  

 .

Calculer le déterminant de A. En déduire que A est inversible et déterminer son inverse.

…..………

2°) À l’aide de la question précédente, résoudre le système

 

' i 1 i ' 1 2 z z

z z

   

  





 d’inconnue



^{z z}^{; '}



^^²^.

On donneraz et z' sous forme algébrique.

…..………

IV. (1 point)

On considère la matrice

1 2 0

A 1 0 1

1 0 0

 

 

  

 

 

. On admet que A est inversible.

À l’aide de la calculatrice, déterminer son inverse en écrivant les coefficients sous forme fractionnaire.

……….…...

(3)

Corrigé de l’interrogation écrite du 18-11-2020

I.

Résoudre dans l’équation



^z^²ⁱ



² ^{ }⁹

 

¹ ^.

 

¹ ^Û ^z^{ }²ⁱ ³ⁱ^ou ^z^{  }²ⁱ ³ⁱ

 

¹ ^Û ^z^⁵ⁱ^ou ^z^{ }ⁱ

SoitS l’ensemble des solutions de

 

¹ ^.



^{5i ;} ⁱ



S  

On ne développe surtout pas le membre de gauche.

II.

Soita etb deux nombres complexes. On considère les matrices 0 A 0

a b

 

  

  et 0

B 0

b a

 

  

 . 1°) Calculer AB, BA, A et² B . Écrire un calcul par ligne.²

2°) On pose C A B.

a) Démontrer que ^C² ^



^a^^b



^C^.

b) On pose 1 U 1

   

  et ^V^



^a ^b



. Calculer UV. Que constate-t-on ?

1°)

0 0 0

AB 0 0 0

a b ab

b a ab

    

    

    

2 2

0 0 0

BA 0 0 0

b a b

a b a

 

  

    

    

2 2

2

0 0 0

A 0 0 0

a a a

b b b

 

  

    

    

2 0 0 0

B 0 0 0

b b ab

a a ab

    

    

    

(4)

2°) a)

On a C a b a b

 

  

 . C2 a b a b

a b a b

   

   

   

2 2

C a ab ab b2

a ab ab b

   

  

 

 

   

C2 a a b b a b a a b b a b

 

 

    

 

C2 a b

a b a b

 

   

 

 

C2  ab C

b)

 

UV 1

1 a b

   

  [On effectue le produit d’une matrice de format (2, 1) par une matrice de format (1, 2). On obtient donc une matrice de format (2, 2)]

V 11

U a 11 b

a b

 

 

    

UV a b a b

 

  

 

On constate que le produit matriciel UV est égal à la matrice C.

III.

1°) On pose 1 1 A i 1

  

  

 .

Calculer le déterminant de A. En déduire que A est inversible et déterminer son inverse.

 

det A      1 1 i 1 1 i

det A0 donc A est inversible.

Dans ce cas, on peut écrire ¹ 1 1 1 A 1 i i 1

  

    (formule de l’inverse d’une matrice carrée d’ordre 2).

(5)

Il n’est pas obligatoire à ce stade d’écrire ¹

1 i sous forme algébrique.

2°) À l’aide de la question précédente, résoudre le système

 

' i 1 i ' 1 2 z z

z z

   

  





 d’inconnue



^{z z}^{; '}



^^²^.

On donneraz et z' sous forme algébrique.

 

1 2



 Û i

A ' 1 z z

   

   

   

 

1 2



 Û ¹ i

' A 1 z

z

    

   

   

 

1 2



 Û 1 1 1 i

' 1 i i 1 1 z

z

    

     

    

 

1 2



 Û 1 1 i

' 1 i 2 z

z

    

    

   

 

1 2



 Û

1 ' 2

1 i z

z

 

   

   

    

 

1 2



 Û 1

' 1 i z

z

   

    

   

 

1 2



 Û 1

' 1 i z z

 

  



La solution du système est le couple



^{1 ; 1 i}^



^.

IV.

On considère la matrice

1 2 0

A 1 0 1

1 0 0

 

 

  

 

 

. On admet que A est inversible.

À l’aide de la calculatrice, déterminer son inverse en écrivant les coefficients sous forme fractionnaire.

1

0 0 1

1 1

A 0

2 2

0 1 1



 

 

 

 

  

 