Interrogation écrite n°02
NOM : Prénom : Note :
1. On pose pour(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2,N(𝑥, 𝑦) = |𝑥 + 𝑦|.Nest-elle une norme surℝ2? Justifier.
On constate queN(1, −1) = 0mais(1, −1)n’est pas le vecteur nul.Nn’est donc pas une norme surℝ2. 2. On pose pour(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2,N(𝑥, 𝑦) = √𝑥4+ 𝑦2.Nest-elle une norme surℝ2? Justifier.
On constate queN(1, 0) = 1maisN(2, 0) = 4. AinsiN(2 ⋅ (1, 0)) ≠ 2N(1, 0), ce qui contredit l’homogénéité.Nn’est donc pas
une norme surℝ2.
3. On pose pour(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2,N(𝑥, 𝑦) = (√|𝑥| + √|𝑦|)2.Nest-elle une norme? Justifier.
N(1, 0) = N(0, 1) = 1maisN(1, 1) = 4. AinsiN(1, 1) > N((1, 0) + (0, 1)).Nn’est donc pas une norme surℝ2.
4. La fonction𝑓 ∶ 𝑥 ∈ ℝ∗+↦ 𝑥ln(𝑥)est-elle convexe? concave? ni l’un ni l’autre?
Par opérations,𝑓est deux fois dérivable surℝ∗+et
∀𝑥 ∈ ℝ∗+, 𝑓′(𝑥) = 1 +ln(𝑥) puis
∀𝑥 ∈ ℝ∗+, 𝑓″(𝑥) = 1 𝑥 ≥ 0
La fonction𝑓est donc convexe surℝ∗+.
5. Donner la définition de la convexité d’une fonction𝑓sur un intervalleI.
𝑓est convexe surIsi
∀(𝑎, 𝑏) ∈ E2, ∀𝑡 ∈ [0, 1], 𝑓 ((1 − 𝑡)𝑎 + 𝑡𝑏) ≤ (1 − 𝑡)𝑓(𝑎) + 𝑡𝑓(𝑏)
6. Enoncer la propriété de convexité généralisée d’une fonction𝑓sur un intervalleI.
𝑓est convexe surIsi et seulement si
∀(𝑥1, … , 𝑥𝑛) ∈ I𝑛, ∀(λ1, … , λ𝑛) ∈ (ℝ+)𝑛,
𝑛
∑
𝑖=1
λ𝑖 = 1 ⟹ 𝑓 (
𝑛
∑
𝑖=1
λ𝑖𝑥𝑖) ≤
𝑛
∑
𝑖=1
λ𝑖𝑓(𝑥𝑖)
7. SoitEunℝ-espace vectoriel normé. Donner la définition d’un segment deEpuis la définition de la convexité d’une partie deE.
Soit(A, B) ∈ E2. On appelle segment[A, B]l’ensemble{(1 − λ)A + λB, λ ∈ [0, 1]}.
Soit𝒞une partie deE.𝒞est convexe si pour tout(A, B) ∈ 𝒞2,[A, B] ⊂ 𝒞.
