Interrogation écrite n°06
NOM : Prénom : Note :
1. Déterminer le polynôme minimal deA =
⎛
⎜⎜
⎝
1 2 −2 2 1 −2 2 2 −3
⎞
⎟⎟
⎠ .
χA=
||
||
|
X − 1 −2 2
−2 X − 1 2
−2 −2 X + 3
||
||
|
=
||
||
|
X − 1 −2 2 X − 1 X − 1 2 X − 1 −2 X + 3
||
||
|
C1← C1+ C2+ C3
= (X − 1)
||
||
|
1 −2 2
1 X − 1 2 1 −2 X + 3
||
||
|
= (X − 1)
||
||
|
1 −2 2
0 X + 1 0 0 0 X + 1
||
||
|
L2← L2− L1
L3← L3− L1
= (X − 1)(X + 1)2
On en déduit queSp(A) = {−1, 1}. Ainsi−1et1sont les racines deπA. De plus,πAdiviseχAet est unitaire doncπA= (X−1)(X+1) ouπA= (X − 1)(X + 1)2. On remarqueA2= I3donc(X − 1)(X + 1)annuleA. Finalement,πA= (X − 1)(X + 1).
2. Montrer queF = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2, cos(𝑥 + 𝑦) ≤ 𝑒−𝑥2−𝑦2}est un fermé deℝ2.
Posons𝑓 ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ↦ 𝑒−𝑥2−𝑦2−cos(𝑥 + 𝑦). AlorsF = 𝑓−1(ℝ+). L’application(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2↦ −𝑥2− 𝑦2est polynomiale donc continue surℝ2. De plus,expest continue surℝdonc(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ↦ 𝑒−𝑥2−𝑦2est continue surℝ2 par composition. De même, (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ↦ 𝑥 + 𝑦est polynomiale donc continue surℝ2 etcosest continue surℝdonc(𝑥, 𝑦) ↦cos(𝑥 + 𝑦)est continue sur ℝ2par composition. On en déduit que𝑓est continue surℝ2. Finalement,F = 𝑓−1(ℝ+)est fermé en tant qu’image réciproque du
ferméℝ+par l’application continue𝑓.
3. La fonction𝑓 ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2⧵ {(0, 0)} ↦ 𝑥𝑦
𝑥2+ 𝑦2 admet-elle une limite en(0, 0)?
Remarquons que𝑓(𝑡, 0) = 0 ⟶
𝑡→0 0et𝑓(𝑡, 𝑡) = 1
2 ⟶
𝑡→0
1
2. Comme(𝑡, 0) ⟶
𝑡→0 (0, 0)et(𝑡, 𝑡) ⟶
𝑡→0 (0, 0),𝑓n’admet pas de limite en
(0, 0).
4. On considère l’espace vectorielEdes suites réelles bornées que l’on munit de la norme infinie‖ ⋅ ‖∞. Montrer que l’applicationD qui à(𝑢𝑛) ∈ Eassocie la suite(𝑢𝑛+1− 𝑢𝑛)est continue.
Dest clairement un endomorphisme deE. De plus, pour tout𝑛 ∈ ℕ,
|𝑢𝑛+1− 𝑢𝑛| ≤ |𝑢𝑛+1| + |𝑢𝑛| ≤ 2‖𝑢‖∞
donc
‖D(𝑢)‖∞≤ 2‖𝑢‖∞
On en déduit queDest continu via la caractérisation de la continuité pour les applications linéaires.
5. On considère l’espace vectoriel des applications bornées de ℝdans ℝ que l’on munit de la norme infinie. Montrer queF = {𝑓 ∈ E, ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥) ≥ 0}est un fermé deE.
Soit(𝑓𝑛)une suite de vecteurs deFconvergeant vers𝑓 ∈ E. Alors lim
𝑛→+∞‖𝑓𝑛− 𝑓‖∞= 0i.e.(𝑓𝑛)converge uniformément vers𝑓 surℝ. A fortiori,(𝑓𝑛)converge simplement vers𝑓surℝ. Soit𝑥 ∈ ℝ. Alors lim
𝑛→+∞𝑓𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥). Or pour tout𝑛 ∈ ℕ,𝑓𝑛(𝑥) ≥ 0 donc𝑓(𝑥) ≥ 0par passage à la limite. Ainsi𝑓 ∈ FetFest un fermé deE.
6. Soit𝑓un endomorphisme continu du groupeℝ+. Montrer que𝑓(𝑟) = 𝑓(1)𝑟pour tout𝑟 ∈ ℚpuis que𝑓(𝑥) = 𝑓(1)𝑥pour tout 𝑥 ∈ ℝ.
Soit𝑟 ∈ ℚ. Il existe donc(𝑝, 𝑞) ∈ ℤ × ℕ∗tel que𝑟 = 𝑝
𝑞. Comme𝑓est un endomorphisme de(ℝ, +), 𝑞𝑓(𝑟) = 𝑓(𝑞𝑟) = 𝑓(𝑝) = 𝑝𝑓(1)
et donc𝑓(𝑟) = 𝑓(1)𝑟. Les applications𝑓et𝑥 ↦ 𝑓(1)𝑥sont continues et coïncident surℚ, qui est dense dansℝ, donc elles sont
égales i.e.𝑓(𝑥) = 𝑓(1)𝑥pour tout𝑥 ∈ ℝ.
