ℝ . Éléments de réponse:

Dernière colle

Trigonalisation

Calcul de A

^, n ∈ ℕ , pour A =  ^{– 7 4 6 – 3 2 2 – – 5 4 1}  matrice de M

ℝ _. Éléments de réponse:

Le calcul du polynôme caractéristique donne : 

 X =1 – X 

2 – X  E

 2=Vect  c

 _avec c

=1,1,2

E

 1=Vect  c

 _avec c

= – 1,2,0

Matrice semblable à A la plus simple : T =  ^{2 0 0 0 1 1 0 0 1} 

Réponse : A

⁼  ^{2 2}

²

^{ – 4 8n – – n – 4 2 1 2}

^{2 2 }

^{2n – – – 4 n 2 1 – – 2 2 –}

^{2  –}

^{3 6 n n    3 1 1} 

Espace euclidien

Dans ℝ

euclidien, on considère l'ensemble des vecteurs x = x

x

x

x

 tels que :

∑

x

=0 et ∑

k=1 4

kx

=0

Former la matrice, dans la base canonique de ℝ

, de la réflexion de plan F . Éléments de réponse:

Base orthogonale de F : w

w

 _avec w

= 1,– 2,1,0 _et w

=2, – 1, – 4,3

p projection orthogonale sur F : pour tout x de ℝ

_, p x = x∣w

 w

∥ ^w

∥

^{x∣ w}

^

w

∥ ^w

∥

Lien entre réflexion s et p ?

Réponse : M

= 1

5  ^{– – – 2 2 4 1 – – – 2 4 2 1 – – – 2 1 2 4 – – – 2 1 4 2} 

Séries à termes quelconques

Étudier suivant les valeurs du réel strictement positif  la nature de la série de terme général :

u

= – 1

 ⁿ

^{– 1}

Éléments de réponse:

Examiner l'absolue convergence.

Développement asymptotique de u

au voisinage de ∞ : u

=  – 1

n

– 1

2 n

o  n

¹ 

Interprétations.

Réponse : La série de termes général u

converge pour  2 3 ^.

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Dernière colle

Série entière

Déterminer le rayon de convergence R de la série entière de la variable réelle x :

∑

n!

1.3. . 2 n1 x

Montrer que la fonction somme h est solution d'une équation différentielle du premier ordre. En déduire une expression explicite de h .

Éléments de réponse:

Attention série lacunaire, revenir au critère de d'Alembert pour les séries de fonctions.  R=  2

Poser h x = ∑

n=0

∞

a

x

pour x ∈ [ –  2;  2 ] et partir de 2 n3 a

=n1a

_pour n0 . Équation différentielle :  x

– 2h ' x xh x 2=0

Utiliser la technique de la variation de la constante.

Réponse : h x = 2

 ^{2 – x}

^arcsin   ^x 2 

Intégrale dépendant d'un paramètre

Définition et calcul de : f : x ∫

0 1

t

– 1

lnt d t

Éléments de réponse:

On pose h : t t

– 1

lnt . Intégrabilité de h sur ]0 ; 1[ .

 : t , x t

– 1

lnt est de classe C

^sur ]0,1 [×]– 1;∞[ amène à f de classe C

et calculer f ' x  .

Réponse : f x =ln 1 x  , x – 1 Série de Fourier

Soit  ∈ ℝ et f : ℝ ℝ , 2  périodique telle que f  x =ch  x sur [ – ; ]

Développer f en série de Fourier.

En déduire ∑

n=1

∞

1

n



^, ∑

n=1

∞

−1 

n



^, ∑

n=1

∞

1

n





Éléments de réponse:

b

=0 et a

= 2  sh  

n



  – 1

_pour n≠ 0

Réponse : ch  x= sh  

   2  sh  

 ∑

n=1

∞

– 1

cosnx

n



^, x ∈ [– ; ]

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