ℝℝ ·¨ (0;0) R ℝ ℝ ℝ

CC N° 5 Math. Sup. 2012-2013 2 h

I) Soit g : ℝ² → ℝdéfinie par g(x ;y)

{ }

2 y *

x sin si (x; y) x

0 si (x; y) 0

 ∈ ×



=

 ∈ ×



ℝ ℝ

ℝ 1) Montrer que g est continue sur ℝ².

D’après les théorèmes généraux, g est continue sur ℝ^*×ℝ Pour tout réel b :

{ }

(0; y) 0 : g(0; y) g(0; b)

∀ ∈ ×ℝ − = 0,

(x;y) *

∀ ∈ℝ ×ℝ : ^{2 2 2}

2

g(x; y) g(0; b) x siny x (x; y) (0; b)

− = x ≤ ≤ −

Donc : ∀ >ε ^0,

(

(x; y) (0; b)− ²< ε

)

⇒

⁽

g(x; y)−g(0; b) <ε

⁾

. g est donc continue en (0 ; b).

On en déduit que g est continue sur ℝ²_.

2) Montrer que g admet des dérivées partielles sur ℝ².

D’après les théorèmes généraux, g admet des dérivées partielles sur ℝ^*×ℝ _et

pour tout (x ; y) dans ℝ^*×ℝ _:

( ) ( )

g y y

x; y 2x sin y cos

x x x

g y

x; y x cos

y x

∂ =   −   

∂    



∂  

 =  

∂  



Pour tout réel b : ^{h 0 h 0}

h 0

g(h;b) g(0;b) b

lim lim h sin 0

h h

g(0;b h) g(0;b)

lim 0

h

→ →

→

 −  

=  =

  

 + −

 =



donc ^g

( )

^{0; b g}

( )

^{0; b 0.}

x y

∂ =∂ =

∂ ∂

On en déduit que g admet des dérivées partielles (nulles) sur

{ }

^{0 ×ℝ.}

3) g est-elle de classe C¹ sur ² ?

D’après les théorèmes généraux, g est de classe C¹ sur ℝ^*×ℝ_.

Si y≠0, en posant ^x=_{2 nπ}^y

(

^{avec n∈ℕ*}

)

^{, on a :∂}_∂^g_x

^{( )}

^{x; y = −y} on en déduit que g x

∂

∂ n’est continue en aucun couple de

{ }

^{0 ×ℝ*.}

Pour tout réel b : ^g

( )

^{0; b g}

( )

^0;0 0 et ^g

( )

0; b ^g(0;0) 0

x x y y

∂ −∂ = ∂ −∂ =

∂ ∂ ∂ ∂

Pour tout (x ; y) dans ℝ^*×ℝ_:

( ) ( ) ( )

2

2

g g y y

x; y 0;0 2x sin y cos 2 x y 3 (x; y)

x x x x

g g y

x; y (0;0) x cos x (x; y)

y y x

∂ ∂    

− =  −   ≤ + ≤

∂ ∂    

∂ ∂  

− =   ≤ ≤

∂ ∂  

On en déduit que g est de classe C¹ sur ℝ^*× ∪ℝ (0; 0). R

4) Déterminer, si elles existent, les dérivées partielles d’ordre 2 de g en (0 ; 0).

On a :

( ) ( )

2

h 0 2

g g

0; h 0;0

g

y y

lim 0 donc (0;0) 0

h y

→

∂ −∂

∂

∂ ∂ = =

∂

( ) ( )

2

h 0

g g

h;0 0;0

y y g

lim 1 donc (0;0) 1

h x y

→

∂ −∂

∂

∂ ∂ = =

∂ ∂

( ) ( )

²

h 0

g g

0; h 0;0

x x g

lim 0 donc (0;0) 0

h y x

→

∂ −∂ ∂

∂ ∂ = =

∂ ∂

( ) ( )

²

h 0 2

g g

h;0 0;0 g

x x

lim 0 donc (0;0) 0

h x

→

∂ −∂ ∂

∂ ∂ = =

∂

II) Soit la fonction f définie de ℝ² dans ℝ² par :

4 4

( ; )= + −4 f x y x y xy . 1) Montrer que (0 ; 0) est un point critique de f.

( )

^{; 4 3 4 ;}

( )

^{; 4 3 4}

f f

x y x y x y y x

x y

∂ = − ∂ = −

∂ ∂

( )

^0;0

( )

^{0;0 0}

f f

x y

∂ = ∂ =

∂ ∂ donc (0 ; 0) est un point critique de f.

2) f admet-elle un extremum en (0 ; 0) ?

f(x ; 0) – f(0 ; 0) = x⁴ ≥0 ; f(x ; x) – f(0 ; 0) = 2x² (x² – 2) ≤0 dès que x ≤ 2^. Il n’y a donc pas d’extremum en (0 ; 0) (point col).

III) Soient E un espace vectoriel sur ℝde dimension 3 et B = {e1 ; e2 ; e3 } une base de E.

On considère f l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est :

























−

−

−

=

3 3 1 3 1

3 0 8 3 1

3 1 1 3 4

A

On note

f ²

=

f f

et pour tout λ ∈ℝ, _{on pose}

^E

_λ =

{ ^x

∈

^{E , f ( x )}

=λ

^x }

^.

1) Montrer que f est un automorphisme de E.

detA = 12 ≠0 donc f est un automorphisme de E

2) Montrer que, pour tout λ ∈ℝ,

E

_λest un sous espace vectoriel de E.

( ) ( )

²

, 0 E et u; v E , , f (u v) f (u) f (v) (u v)

∀λ ∈ _λ ∀ ∈ _λ α∈ℝ +α = +α =λ +α ^{donc u}+α^v∈^E_λ.

E_λ est donc un sev de E.

3) Montrer que

E

_λ ^≠

{ }

⁰ si et seulement si det(f −λ.Id_E) =0

E_λ ^≠

{ }

⁰ si et seulement si il existe u≠0tel que f(u) = λu ce qui équivaut à Ker(f− λ.Id )E ≠

{ }

0 ce qui équivaut à det(f − λ.Id )_E =0.

4) Déterminer une base B1 de E3 = ker( f −

3.

Id_E

)

^. E3 = Vect{(1 ; -1 ; 2)}. On note u1 = (1 ; -1 ; 2).

5) Déterminer une base B2 de E2 = ker( f −

2.

Id_E

)

^. E2 = Vect{(2 ; 1 ; 1)}. On note u2 = (2 ; 1 ; 1).

6) a) Ecrire la matrice de ( f −

2.

Id_E

)

² dans la base B.

( )

(

²

)

1 1

0 3 3

1 1

mat 2. 0

3 3

2 2

0 3 3

B f IdE

 

 − 

 

 

− = − 

 

 − 

 

 

7) b) On note C2 = ker(( f −

2.

Id_E

)

^²).

Montrer que E2⊂C2 , et compléter la base B2 pour obtenir une base B3 de C2. Si u∈E₂ , alors (f – 2IdE) (u) = 0 donc (f – 2IdE)² (u) = 0, donc u∈C₂.

E3 = Vect{(2 ; 1 ; 1) ; (1 ; 0 ; 0)}. On note u3 = (1 ; 0 ; 0).

8) Démontrer que E = E₃⊕C₂

Soit u∈E₃∩C₂ , alors f (u) = 3u et (f – 2IdE)² (u) = 0, donc f(u) = 3u et f ² (u) – 4f(u) + 4u = 0 ce qui donne u = 0. Donc E3∩C2 =

{ }

0 .

Comme de plus dim(E3) + dim(C2) = 3, on a bien E=E₃⊕C₂

9) Exprimer la matrice de f dans la base B’ composée des vecteurs de B1 et B3.

{u ;u ;u1 2 3}

( )

3 0 0

mat 0 2 1

3

0 0 2

f

 

 

 

= − 

 

 

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