Interrogation écrite n°04
NOM : Prénom : Note :
1. Soit𝑢un endomorphisme nilpotent d’un espace vectorielE. Montrer que Sp(𝑢) = {0}.
Soit𝑝l’indice de nilpotence de𝑢. Alors𝑢𝑝−1≠ 0et𝑢𝑝= 0. En particulier, il existe un vecteur𝑥tel que𝑢𝑝−1(𝑥) ≠ 0E. En posant 𝑦 = 𝑢𝑝−1(𝑥), on a𝑢(𝑦) = 0Eet donc0 ∈Sp(𝑢).
Soitλ ∈ Sp(𝑢)et𝑥un vecteur propre associé. Alors𝑢𝑛(𝑥) = λ𝑛𝑥pour tout𝑛 ∈ ℕ. Or il existe𝑛 ∈ ℕ∗tel que𝑢𝑛 = 0donc
λ𝑛𝑥 = 0E. Comme𝑥 ≠ 0E,λ𝑛= 0puisλ = 0. AinsiSp(𝑢) = {0}.
2. Soitλ ∈ 𝕂. La matriceA = (λ 1
0 λ)est-elle diagonalisable? Justifier.
On trouveχA = (X − λ)2doncSp(A) = {λ}. SiAétait diagonalisable, elle serait semblable àλI2et donc égale àλI2, ce qu’elle
n’est pas. AinsiAn’est pas diagonalisable.
3. SoitA = ( 4 1
−2 1). DéterminerP ∈ GL2(ℝ)etD ∈ ℳ2(ℝ)diagonale telles queA = PDP−1. On calcule successivement :
• χA= X2−tr(A)X +det(A) = X2− 5X + 6 = (X − 2)(X − 3);
• E2(A) =vect(( 1
−2));
• E3(A) =vect(( 1
−1)).
Ainsi en posantP = ( 1 1
−2 −1)etD = (2 0
0 3), on a bienA = PDP−1etPinversible puisquedet(P) = 1 ≠ 0.
4. Calculerφ(360).
Puisque360 = 23⋅ 32⋅ 5,
φ(360) = 360 (1 −1
2) (1 − 1
3) (1 −1 5) = 96
5. Résoudre dansℤle système{𝑥 ≡ 10[15]
𝑥 ≡ 5[20] .
Remarquons que25est solution particulière. Ainsi {𝑥 ≡ 10[15]
𝑥 ≡ 5[20] ⟺ {𝑥 ≡ 25[15]
𝑥 ≡ 25[20] ⟺ {15 ∣ 𝑥 − 25
20 ∣ 𝑥 − 25 ⟺ 15 ∨ 20 ∣ 𝑥 − 25 ⟺ 60 ∣ 𝑥 − 25 ⟺ 𝑥 ≡ 25[60]
L’ensemble des solutions est donc25 + 60ℤ.
6. Résoudre dansℤ2l’équation8𝑥 + 12𝑦 = 20.
L’équation équivaut à2𝑥+3𝑦 = 5. On remarque que(1, 1)est solution particulière. Ainsi l’équation équivaut à2(𝑥−1) = 3(1−𝑦).
Comme2 ∧ 3 = 1, le lemme de Gauss montre que cette équation équivaut à l’existence de𝑘 ∈ ℤtel que(𝑥 − 1, 1 − 𝑦) = (3𝑘, 2𝑘) i.e.(𝑥, 𝑦) = (1 + 3𝑘, 1 − 2𝑘). L’ensemble des solutions est donc(1, 1) + (3, −2)ℤ.
7. Donner la liste des inversibles de l’anneauℤ/15ℤ.
On cherche donc les éléments deJ0, 14Kpremiers avec15. Ainsi
(ℤ/15ℤ)×= {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}
8. Donner la décomposition en facteurs irréductibles deX4+ 1dansℂ[X]et dansℝ[X].
Les racines complexes deX4+ 1sont les racines quatrièmes de−1. Ainsi X4+ 1 = (X − 𝑒
𝑖π
4) (X − 𝑒−
𝑖π
4) (X − 𝑒
3𝑖π
4 ) (X − 𝑒−
3𝑖π
4 ) = (X2− √2X + 1)(X2+ √2X + 1)
