Université Paris Diderot
UFR de mathématiques
Licence de Chimie
L1 – Interactions Mathématiques-Physique
Interrogation écrite n
o2
Contôle continu 2, partie mathématiques.
Temps conseillé : 45 minutes.
Tous ces exercices doivent être traités sans document ni calculatrice. Les réponses doivent être justifiées.
Exercice 1. Calculer les limites suivantes:
1. lim
x→+∞
x3−4x2+ 7x+ 6 x2 +x+ 1 2. (a) lim
x→−∞
x2+x+ 1 x3−4x2+ 7x+ 6
(b) Donner l’équation de l’asymptote associée.
3. lim
x→+∞
exp(x2)−exp(x); on rappelle la notation exp(y) =ey.
Exercice 2.
1. Soit f la fonction f(x) = x4−2x2+ 7 définie sur R.
(a) Montrer quef est une fonction paire. Que peut-on en déduire sur le graphe f ? (b) Déterminer les extréma locaux de f. Pour chacun d’entre eux, dire s’il s’agit d’un maximum ou minimum local. La fonction f a-t-elle un minimum sur R ? La fonctionf a-t-elle un maximum sur R ?
2. On définit surR la fonction g(x) = f(x+ 4) + 5.
(a) Quel est le minimum de g surR, et en quel point est-il atteint ? (b) Le graphe deg est-il symétrique par rapport à une droite verticale ? 3. Donner l’équation de la tangente au graphe de g au point d’abscisse −4.
Exercice 3. On considère la fonction f :x7→ex1. 1. Donner le domaine de définition de f.
2. Calculer les limites de f(x) en +∞,−∞,0+ et 0−.
3. Étudier les variations de f sur son domaine de définition.
4. Esquisser le graphe de f.
Année 2019-20
