Sorbonne Université M1 de Mathématiques
4M002 (Algèbre et théorie de Galois) Automne 2020
TD n
◦1.
1 Anneaux et algèbres
Exercice 1. Montrer qu’il n’y a pas de morphisme d’anneaux : a) deCdansR,
b) deRdansQ, c) deQdansZ,
d) deZ/nZdansZ, pour toutn >0.
Exercice 2. Montrer qu’il existe un morphisme d’anneaux deZ/nZdansZ/mZsi et seulement simdivisen.
Montrer que dans ce cas il existe un unique morphisme d’anneau.
Exercice 3. Montrer queZ/nZest un corps si et seulement sinest un nombre premier.
Exercice 4. Soitkun corps. Montrer qu’unek-algèbre commutative de dimension finieintègreest un corps.
Exercice 5. Soitα∈C. On dit queαest unnombre algébrique(sous-entendu “surQ”) s’il existe un polynôme non nul f(X)∈Q[X] tel quef(α) = 0.
a) Montrer que les affirmations suivantes sont équivalentes : i) αest algébrique surQ,
ii) les puissances deαsont linéairement dépendantes surQ, iii) laQ-algèbreQ[α] engendrée parαest de dimension finie, iv) laQ-algèbreQ[α] engendrée parαest un corps.
b) Montrer que siα,β sont algébriques, alorsα+β etαβ sont algébriques, et en déduire que l’ensembleQ des nombres complexes algébriques est un sous-corps deC. Concrètement, comment chercheriez-vous un polynôme annulateur deα+β, connaissant des polynômes annulateursfαetfβdeαetβrespectivement ? Exercice 6. Identifions Cau plan euclidienR2. On dit qu’un complexe z est “constructible” si le point sous- jacent deR2 est “constructible à la règle et au compas” à partir des seuls points 0 de coordonnées (0,0) et 1 de coordonnées (1,0). Montrer que l’ensemble des complexes constructibles est un sous-corps deC.
Exercice 7. SoitAun anneau commutatif unitaire.
a) A-t-on toujours deg(f g) = deg(f) + deg(g) pourf, g∈A[X] ? b) Montrer que siAest intègre alorsA[X] l’est aussi.
c) Montrer que sif ∈Z[X] unitaire se factorise enf =ghavecg, h∈Q[X] unitaires, alorsg, h∈Z[X].
d) Montrer que si f, g∈Q[X] avecg6= 0, il existe un unique couple (q, r)∈Q[X]2 tel quef =qg+r et deg(r)<deg(g). Cette propriété est-elle encore vraie dansZ[X] ?
Exercice 8. Soit N un monoïde commutatif et Q[N] la Q-algèbre associée. On rappelle que Q[N] est un Q-espace vectoriel de base (eν)ν∈N dont le produit est déterminé par les égalités eνeν0 = eν+ν0 pour tous ν, ν0∈ N.
a) SiN =Nn, rappeler pourquoi HomQ−alg(Q[N], A)'Anpour touteQ-algèbreAet montrer queQ[N]' Q[X1,· · ·, Xn].
b) SiN =Z/nZ, montrer que HomQ−alg(Q[N], A)'µn(A) :={ζ∈A, ζn= 1}, puis montrer qu’il existe un unique isomorphisme deQ-algèbreQ[N] ∼
−→Q[X]/(Xn−1) qui envoie l’élémente1de la base canonique deQ[N] surX.
Exercice 9. SoitAun anneau, montrer que l’ensembleRdes éléments réguliers deA(c’est-à-dire non diviseurs de 0 dansA) est une partie multiplicative, c’est-à-dire : 1∈Ret si retssont des éléments deRalorsrs∈R.
Exercice 10. Polynômes vs fonctions polynomiales. Soitkun corps. Pour tout entiernon peut associer à un polynômef ∈k[X1,· · ·, Xn] une fonctionkn−→k, (x1,· · · , xn)7→f(x1,· · ·, xn).
a) Vérifier qu’on obtient ainsi un morphisme dek-algèbres dek[X1,· · · , Xn] dans lak-algèbre des fonctions dekn dansk.
b) Montrer que ce morphisme est injectif si et seulement sikest infini.
1
2 Idéaux
Exercice 11. Pour un sous-ensembleV ⊂Cn, on noteIV :={f ∈C[X1,· · ·, Xn],∀z∈V, f(z) = 0}l’ensemble des polynômes qui s’annulent surV.
a) Montrer queIV est un idéal radiciel.
b) SiV est un singleton, montrer queIV est un idéal maximal.
c) DécrireI{0} et en donner des générateurs.
Exercice 12. Pour une famillef1,· · ·, fm∈C[X1,· · ·, Xn] de polynômes ànindéterminées, on noteVf1,···,fm :=
{z∈Cn,∀i= 1,· · ·, m, fi(z) = 0} le lieu d’annulation de ces polynômes dansCn. a) Montrer queVf1,···,fm ne dépend que de l’idéal (f1,· · ·, fm) engendré par les fi.
Plus généralement, pour un idéalI deC[X1,· · ·, Xn], on poseVI :={z∈Cn,∀f ∈I, f(z) = 0}. Montrer que : b) l’applicationϕ7→(ϕ(X1),· · · , ϕ(Xn)) induit une bijection
HomC−alg(C[X1,· · · , Xn]/I,C) ∼
−→VI.
c) I⊂J ⇒VI ⊃VJ, puisVI+J=VI∩VJ et VIJ=VI∩J=VI∪VJ.
Exercice 13. DansZ, que sontI·J,I∩J etI+J lorsqueI=nZetJ =mZ?
Exercice 14. SoientAun anneau etI,J et Ldes idéaux deA. Montrer les assertions suivantes : a) I·J⊂I∩J, etI+J =A⇒I·J =I∩J.
b) SiA est principal,I·J =I∩J ⇒I+J =A. Donner un contre-exemple en général.
c) (I·J) + (I·L) =I·(J+L),
d) (I∩J) + (I∩L)⊂I∩(J+L), avec égalité siA est principal e) siJ est contenu dansI, alorsJ+ (I∩L) =I∩(J+L),
f) supposons que A = k[X, Y] avec k un corps et posons I = (X), J = (Y) et L = (X +Y). Calculer (I∩J) + (I∩L) et I∩(J+L), puis les comparer.
Exercice 15. Montrer qu’un anneau intègreApossédant un nombre fini d’idéaux est un corps.
Indice : prendre x∈A et considérer les idéaux (xn).
Exercice 16. Dans un anneau fini, tous les éléments réguliers sont inversibles.
Exercice 17. SoitA=C[X, Y]/(XY −1) ; on posexl’image deX dansA.
a) Montrer que xest inversible et que tout élément anon nul de A peut s’écrire de façon unique sous la formea=xmP(x) oùm∈ZetP est un polynôme de terme constant non nul. On notee(a) = deg(P).
b) Soienta, b∈A montrer qu’il existeq, r∈Atels quea=bq+ret :r= 0 oue(r)< e(b).
c) En déduire queA est principal.
Exercice 18. SoitA=A1× · · · ×An un produit d’anneaux et soitI un idéal deA.
a) Montrer queI est égal à un produit d’idéauxI1× · · · ×In. b) Déterminer les idéaux premiers et maximaux deA.
c) Supposons que lesAi soient des corps, montrer que l’anneauAn’a qu’un nombre fini d’idéaux.
Exercice 19. SoientIetJ deux idéaux d’un anneauA. On suppose queI+J =A(deux tels idéaux sont dits comaximaux), montrer queIn+Jn=A.
Exercice 20. Si I, J sont deux idéaux de A, on note (I:J) :={a∈A, aJ ⊂I} (c’est un idéal de A). SoitI et J deux idéaux comaximaux deA(c’est-à-dire I+J =A). Montrer que (I:J) =I. SoitL un idéal tel que I·L⊂J; montrer queL⊂J.
Exercice 21. Étant donnéI un idéal d’un anneauA, on note√
I={a∈A|∃n∈N∗, an ∈I}(vérifier que√ I est bien un idéal). SoientI,J etL des idéaux deA, montrer les assertions suivantes :
a) siI⊂J, alors√ I⊂√
J, b) √
I·J =√ I∩J, c) √
I∩J =√ I∩√
J,
2
d) p√
I=√ I,
e) sipest un idéal premier, alors √ p=p, f) √
I+√ J ⊂√
I+J, g) √
I+J =p√
I+√ J, h) p
(I∩J) + (I∩L) =p
I∩(J+L),
i) soient (pi)16i6n des idéaux premiers deA, supposons que
I⊂
n
\
i=1
pi⊂√ I,
montrer que
√ I=
n
\
i=1
pi.
Exercice 22. Montrer queA=k[X, Y]/(X2−Y3) est intègre et s’identifie à un sous-anneau dek[T].
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