Interrogation écrite n°01
NOM : Prénom : Note :
1. Justifier la convergence de la série ∑
𝑛∈ℕ∗
(−1)𝑛(ln(𝑛 + 1) −ln(𝑛)).
Remarquons queln(𝑛 + 1) −ln(𝑛) =ln(1 + 1
𝑛). Ainsi la suite(ln(𝑛 + 1) −ln(𝑛))𝑛∈ℕ∗est décroissante et de limite nulle. La série
∑
𝑛∈ℕ∗
(−1)𝑛(ln(𝑛 + 1) −ln(𝑛))converge d’après le critère spécial des séries alternées.
2. Déterminer un équivalent du reste de la série∑ 1 𝑛2. On sait que 1
𝑛2 ∼
𝑛→+∞
1
𝑛(𝑛 + 1) = 1 𝑛 − 1
𝑛 + 1. Comme la série∑ 1
𝑛2 est un série à termes positifs convergente,
+∞
∑
𝑘=𝑛+1
1 𝑘2 ∼
𝑛→+∞
+∞
∑
𝑘=𝑛+1
1 𝑘− 1
𝑘 + 1 = 1 𝑛 + 1 ∼
𝑛→+∞
1 𝑛
3. Justifier la convergence de la série∑ 2𝑛+2⋅ 31−𝑛et calculer+∞∑
𝑛=2
2𝑛+2⋅ 31−𝑛. Remarquons que2𝑛+2⋅ 31−𝑛= 12 ⋅ (2
3)
𝑛. La série∑ 2𝑛+2⋅ 31−𝑛est donc une série géométrique de raison 2
3 ∈ [0, 1[donc une série convergente. De plus,
+∞
∑
𝑛=2
2𝑛+2⋅ 31−𝑛= 12
+∞
∑
𝑛=2
(2 3)
𝑛
= 12 (2 3)
2 +∞
∑
𝑛=0
(2 3)
𝑛
= 12 ⋅ 4 9⋅ 1
1 −2
3
= 16
4. Justifier la convergence et calculer la valeur deI = ∫
+∞
0
𝑡𝑒−𝑡 d𝑡.
Remarquons que𝑡 ↦ 𝑡𝑒−𝑡est continue surℝ+. De plus,𝑡𝑒−𝑡 =
𝑡→+∞𝑜 (1 𝑡
2
)par croissances comparées. Or𝑡 ↦ 1
𝑡2 est intégrable sur[1, +∞[donc𝑡 ↦ 𝑡𝑒−𝑡est intégrable surℝ+i.e.Iconverge.
Les fonctions𝑡 ↦ 𝑡et𝑡 ↦ −𝑒−𝑡sont de classe𝒞1surℝ+et lim
𝑡→+∞−𝑡𝑒−𝑡donc, par intégration par parties, I = − [𝑡𝑒−𝑡]+∞
0 + ∫
+∞
0
𝑒−𝑡 d𝑡 = ∫
+∞
0
𝑒−𝑡 d𝑡 = [−𝑒−𝑡]+∞
0 = 1
5. Justifier la convergence et calculer la valeur deI = ∫
+∞
0
𝑒𝑡 d𝑡
1 + 𝑒2𝑡 par un changement de variable.
On effectue le changement de variable𝑢 = 𝑒𝑡 i.e.𝑡 = ln(𝑢). Commelnest une bijection strictement croissante de[1, +∞[sur [0, +∞[,Iest de même nature queJ = ∫
+∞
1
d𝑡
1 + 𝑡2 etI = Jen cas de convergence. Comme une primitive de𝑡 ↦ 1 1 + 𝑡2 est arctanqui admet une limite finie en+∞,Jconverge et
I = J = [arctan(𝑡)]+∞1 =π 2 −π
4 = π 4
6. Déterminer un équivalent de𝑥 ↦ ∫
1
𝑥
ln(1 + 𝑡)
𝑡2+ 𝑡3 d𝑡en0+. Remarquons queln(1 + 𝑡)
𝑡2 ∼
𝑡→0+
1
𝑡. Or𝑡 ↦ 1
𝑡 est positive sur]0, 1]et∫
1
0
1
𝑡 d𝑡diverge. Ainsi
∫
1
𝑥
ln(1 + 𝑡) 𝑡2 d𝑡 ∼
𝑥→0+∫
1
𝑥
d𝑡 = −ln(𝑥)
