E121‐La séquence cordiale
On considère la suite d’entiers positifs telle que a1 = 1,a2 = 2 et le terme général an pour n > 2 est le plus petit entier naturel qui n’est pas dans la séquence et qui a un diviseur commun supérieur à 1 avec le terme précédent .
Démontrer que :
Q1 : 2012 appartient à la séquence.
Q2 : tout entier naturel appartient à la séquence.
Q3 : les nombres premiers apparaissent dans l’ordre croissant.
Solution proposée par Vincent Derouet Q1 : 2012 appartient à la séquence.
Voir Q2
Q2 : tout entier naturel appartient à la séquence.
1) Supposons que est fini.
Alors il existe un entier M tel que tous les pairs supérieurs ou égaux à M ne sont pas atteints par la suite : On choisit
On pose le rang à partir duquel plus aucun terme de la suite n’est inférieur à M : .
- Si p, un nombre premier, est atteint par la suite après le rang , alors .
Or est le plus petit entier non premier avec . Mais pourtant est pair, et on a posé M tel qu’il n’existe aucun entier pair supérieur à M. Il y a contradiction.
Donc il n’y a plus aucun nombre premier atteint par la suite après le rang .
On pose maintenant ; est l’ensemble des nombres premiers qui ont été atteints par la suite avant le rang .
- On prend . Supposons que n’est multiple d’aucun des nombres premiers compris dans . (décomposition en produit de facteurs premiers) et : Alors n’appartient pas à ; donc il n’a pas été atteint par la suite avant le rang et il ne sera jamais atteint d’après ce qu’on a vu précédemment.
Or est le plus petit entier non premier avec , donc . Il y a contradiction.
Donc tous les termes de la suite de rang supérieur à sont multiples d’un nombre premier compris dans .
Et ; si alors .
D’abord A est pair car 2 est dans ( ). Donc n’est pas atteint par la suite.
Soit ; Alors . D’après précédemment on sait que admet comme multiple un nombre premier p compris dans . Or A Aussi est un multiple de p, donc A et ne sont pas premier entre eux. Comme A n’est pas atteint alors (puisque est le plus petit entier non premier avec ) .
Or , donc . Il y a contradiction.
Donc la suite s’arrête en .
C’est impossible puisque pour chaque entier il y a une infinité d’entiers non premiers avec lui.
Donc n’est pas fini. Il y a une infinité d’entiers pairs dans la suite .
2) Supposons qu’il existe des entiers qui ne sont pas atteint par la suite .
Soit x un entier qui n’apparait pas dans la suite et on pose : - Si x est pair :
D’après ce qu’on a vu, on peut toujours trouver tel que soit pair.
Si alors et .
Or x et ne sont pas premiers entre eux (tous les deux pairs), donc comme x n’est pas apparu dans la suite on en déduit que . Il y a contradiction.
Donc x n’est pas pair. Donc tous les entiers pairs sont dans la suite . - Si x est impair :
D’après ce qu’on vient de voir, tous les multiples pairs de x apparaissent dans la suite . Il y a une infinité de ces entiers (de la forme avec h un entier quelconque ). Donc on peut trouver tel que . Comme on à .
Or x, qui n’est pas apparu dans la suite, n’est pas premier avec . Donc . Il y a contradiction.
Donc x n’est pas impair.
Donc tous les entiers apparaissent dans la suite .
Q3 : les nombres premiers apparaissent dans l’ordre croissant.
la propriété suivante : Lorsque que le n-ième nombre premier apparait dans la suite , tous les nombres premiers inférieurs sont déjà tombés dans l’ordre croissant et aucun multiple des autres (c'est-à-dire ceux supérieurs) n’est apparu.
Montrons par récurrence que est vrai pour tout n.
- 2 est le premier nombre premier, il apparait au rang 2. .
On voit donc que est vrai.
- Supposons :
Soit le n-ième nombre premier et k tel que .
Alors tous les nombres premiers inférieurs à sont apparus à des rangs inférieur à k et tous les multiples des nombres premiers supérieurs à ne sont pas encore apparus.
Soit le premier rang à partir duquel un tel multiple apparait.
où p est un nombre premier supérieur à et d quelconque.
est premier avec p, car est le premier terme de le suite multiple d’un nombre premier supérieur à .
Or et ne sont pas premiers entre eux. Donc d ne peut pas être premier avec . Ainsi n’est pas premier avec . Or m est le premier rang à partir duquel des multiples de nombres premiers supérieurs à apparaissent dans la suite.
Donc n’est pas apparu avant le rang m. Donc . Or .
Ainsi forcément . Donc n’est pas multiple de nombres premiers supérieurs à . Montrons que d est un nombre premier :
Si d n’est pas premier alors il existe tel que .
Or d n’est pas premier avec , donc forcément b ou c n’est pas premier avec .
On dit arbitrairement que b n’est pas premier avec . Donc n’est pas premier avec
et n’est pas encore apparu dans la suite avant le rang m. Donc , mais et . Il y a contradiction. Donc d est un nombre premier.
Si d est premier et d n’est pas premier avec , alors est un multiple de d.
Donc est le produit de deux nombres premiers. Donc , qui n’est pas premier avec , est forcément un multiple de l’un des deux.
On sait que n’est pas encore apparu dans la suite, donc .
est un multiple de d, donc tous les multiples de d sont non premiers avec lui.
Mais , donc tous les multiples de d inférieurs à sont apparus dans la suite avant le rang m. Et , donc tous les multiples de d inférieurs à sont déjà apparus dans la suite avant le rang m. Donc est le plus petit entier non premier avec .
Donc .
Ainsi apparait dans la suite au rang m+1 et aucun multiple de nombres premiers supérieurs à
n’est apparu avant ce rang.
Donc est vrai
Donc les nombres premiers apparaissent dans la suite par ordre croissant
