H141. Les séquences primophiles
La somme des trois numéros obtenus est comprise entre 3 et 18.
Enumérons d’abord les termes adjacentsa−bavec 16a < b618 et tels que a+bet a2+b2 sont deux nombres premiers : 1-2, 1-4, 1-6, 1-10, 1-16, 2-3, 2-5, 2-15, 2-17, 3-8, 3-10, 4-9, 4-15, 5-6, 5-8, 5-18, 6-11, 7-10, 7-12, 9-10, 9-14, 10-13, 12-17, 14-15.
Considérons le graphe formé des 18 sommets 1 à 18, une arête reliant deux sommets ssi leurs numéros sont deux termes adjacents cités. Nous cherchons alors un chemin hamiltonien.
Les sommets 11, 13, 16 et 18 étant de degré 1, nous écartons les casn= 18 à 16. Mais alors en déconnectant 12-17, le sommet 12 est aussi de degré 1 et nous écartons les casn= 15 à 13.
Le cas n = 10 est illustré par la séquence 7-10-9-4-1-2-3-8-5-6. D’où le cas n= 11 en suffixant 6-11 et le casn= 12 en préfixant 12-7.
En déconnectant 7-10, le sommet 7 est isolé et nous écartons les casn= 9 à 7.
Le casn= 6 est illustré par la séquence 4-1-6-5-2-3.
Le casn= 5 est à écarter car les sommets 3, 4 et 5 sont de degré 1.
La séquence 1-2-3 illustre le casn= 3. D’où le casn= 4 en préfixant 4-1.
En résumé, seuls les cas n = 3, 4, 6, 10, 11 et 12 fournissent des séquences n-primophiles.
A l’aide de
x6+x5+x4+x3+x2+x1 6
3
, nous obtenons la probabilité d’obtenir la sommeides trois numéros en lisant le coefficient dexi.
La probabilité cherchée vaut alors 1+3+10+27+27+25
216 = 21693 ≈43%.
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