H141. Les séquences primophiles
Par convention, la séquence des entiers naturels de 1 à n est appelée « n-primophile » si l’on par- vient à arranger les entiers sur une seule ligne de telle sorte que la somme de deux termes adjacents et la somme de leurs carrés sont l’une et l’autre des nombres premiers. Par exemple la séquence (1,2) est 2-primophile car les sommes 1 + 2 = 3 et 12 + 22 = 5 sont deux nombres premiers On lance trois dés à 6 faces supposés parfaits. Quelle est la probabilité que la somme s des trois numéros obtenus permette d’établir une séquence s-primophile ?
Solution proposée par Claudio Baiocchi La probabilité cherchée vaut 5/12.
En fait la somme s peut prendre les valeurs de 3 à 18 mais pour beaucoup de ces nombres il n’existe pas de séquence primophile. Pour s’en convaincre on va appeler «n-voisin de x» un nombre y compris entre 1 et n tel que x+y et x2+y2 sont premiers. Dans une séquence n-primophile tout nombre de 1 à n doit avoir au moins un n-voisin; et au plus deux nombres (le point de départ et celui de fin de la séquence) peuvent avoir seulement un n-voisin. En particulier:
Pour n=7, 8 et 9 il existe des éléments qui n’ont pas de n-voisins.
Pour n=5, 13, 14, 15, 16, 17 et 18 on a au moins trois éléments qui ont un seul n-voisin.
Il ne reste donc que 3, 4, 6, 10, 11 et 12 comme candidats pour des séquences primophiles.
Naturellement la recherche des n-voisins ainsi que celle des séquences peut former l’objet d’un programme pour ordinateur; programme qui montrerait que les six candidats donnent en fait lieu à des solutions. Par exemple:
(1,2,3) est 3-primophile;
(4,1,2,3) est 4-primophile;
(4,1,6,5,2,3) est 6-primophile;
(6,5,8,3,2,1,4,9,10,7) est 10-primophile;
(11,6,5,8,3,2,1,4,9,10,7) est 11-primophile;
(11,6,5,8,3,2,1,4,9,10,7,12) est 12-primophile.
La probabilité, multipliée par 63, qu’un lancer de trois dés donne lieu à somme 3,4,6,10,11,12 vaut respectivement 1,3,10,27,27,25; pour une probabilité totale de 93/63=31/72.
