E550. Deux énigmes pour une seule ligne
Sur une première ligne, on écrit les entiers naturels de 1 à ( ) pas nécessairement dans cet ordre.
1ère énigme : sur une deuxième ligne, on écrit une permutation de ces mêmes nombres de manière à obtenir paires de nombres placés l’un au dessus de l’autre. Sur une troisième ligne, on écrit les sommes des paires de nombres.
Pour quelles valeurs de cette troisième ligne peut-elle être constituée exclusivement de carrés parfaits ? Application numérique : prend successivement les valeurs 9, 17, 2011 et 1000000.
2ème énigme : sur une deuxième ligne, on écrit en dessous de chaque terme de la première ligne le nombre d’entiers de cette première ligne situés à sa droite et strictement supérieurs à lui. De cette manière, on obtient une deuxième ligne constituée de entiers. On répète l’opération sur une troisième ligne,... jusqu’à obtenir une dernière ligne remplie exclusivement de zéros. A l’exclusion de la première ligne et de cette dernière ligne, quel est le plus grand nombre de lignes qu’il est possible d’écrire ?
Application numérique : pour et donner une écriture de la première ligne qui permet d’écrire ensuite le maximum de lignes.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Première énigme
On dira que est solution du problème, s’il existe une permutation de telle que pour tout compris entre 1 et , soit un carré parfait.
(avec ) est solution du problème.
En effet, on prend En particulier, sont solutions du problème.
9,13 et 17 sont solutions du problème.
Pour ces valeurs de , les permutations suivantes conviennent :
Si est solution du problème, et , alors est solution du problème.
Soit une permutation qui convient pour la solution . On prend En particulier : pour et , on a ; pour 4 et , on a ; pour et , on a ; pour et , on a . En remarquant que , et 2000 , on obtient :
est solution du problème
Montrons par récurrence que sont solutions au problème. C’est vrai pour , d’après ce qui précède.
Prenons , et posons et . On a alors . On sait alors que est solution du problème d’après l’hypothèse de récurrence. On déduit du paragraphe précédant que est alors également solution du problème.
Les solutions du problème sont les entiers strictement positifs différents de 1, 2, 4, 6 ,7 ,11
On a déjà établi dans les paragraphes précédents que tous les entiers strictement positifs différents de 1, 2, 4, 6 ,7 ,11 convenaient. Il ne reste donc plus qu’à montrer que 1, 2, 4, 6, 7, 11 ne sont pas solutions.
Pour , on vérifie facilement qu’aucune des permutations possibles ne convient. Pour , il n’existe aucun nombre compris entre 1 et 4, qui ajouté à 4, puisse donner un carré. Pour , on constate que 3 est le seul nombre qui ajouté 1 ou 6 puisse former un carré, mais il ne peut pas être utilisé deux fois. Pour , on constate que 5 est le seul nombre qui ajouté à 4 ou 11 puisse former un carré, mais il ne peut pas être utilisé deux fois.
Deuxième énigme
On observe tout d’abord que la deuxième ligne finit nécessairement par un zéro puisqu’il n’y a aucun nombre à droite du dernier nombre de la première ligne. De même, la troisième ligne finit par un moins par deux zéros puisqu’à droite de l’avant-dernier nombre de la deuxième ligne figure un zéro qui ne peut être supérieur à aucun entier positif. Ainsi de suite, la ième ligne comporte au moins zéros, et la ligne est nécessairement une ligne de zéros. On peut donc écrire, au maximum lignes, en excluant la première et la dernière ligne.
Montrons qu’il existe effectivement, pour tout , une écriture de la première ligne permettant d’atteindre ce maximum.
Si
Par exemple, pour , on écrira la ligne : 13, 1, 12, 2, 11, 3, 10, 4, 9, 5, 8, 6, 7
Si
Par exemple, pour , on écrira la ligne : 1, 14, 2, 13, 3, 12, 4, 11, 5, 10, 6, 9, 8, 7
