1) s’appelle l’ensemble des entiers naturels.

CORRIGE – La Merci - Montpellier

Exercice 1 : QCM :  Si la réponse est FAUX, donner un contre exemple ou la bonne réponse.

1) s’appelle l’ensemble des entiers naturels.

 FAUX :

ensemble des entiers relatifs.

2) s’appelle l’ensemble des entiers relatifs.

 FAUX :

ensemble des entiers naturels.

3) D l’ensemble des nombres pouvant s’écrire: a

10

ⁿ

avec a entier relatif et n entier naturel.  VRAI 4) l’ensemble des nombres pouvant s’écrire :

^a

b

avec a entier relatif et b entier naturel non nul  VRAI

5) est inclus dans D.

 FAUX : D 

6) Un nombre irrationnel s’écrit à l’aide d’une racine.

 FAUX :





7) « Un nombre entier naturel est un nombre premier » signifie qu’il admet exactement 2 diviseurs entiers naturels : 1 et lui-même.  VRAI

Exercice 2 : Simplifier au max ces nombres, et donner le plus petit ensemble auquel ils appartiennent.

a) 24, 6 246 2 3 41 41 10,8 108 2 3 18 18

     

  b)

^{56 4 2 7 2 2 7 2 7 7}

2 40 2 4 2 5 2 2 2 5 2 2 5 2 5

  

    

   

c)

^{15 2 3 5 2 3 2 9 2 7}

25 15 5 5 15 5 15 15 15 15

         



d) 21 7 7 3 7 7(3 ) 7

33 11 11 3 11 11(3 ) 11

  

  

       

   

e) ^{3 3 3}  ^{ 48}  

²

^{ 3 3 3  16 3 }  

²

^{ 3 3 3 4 3 }   

²

^{  3 3}

²

^{    3 3 9}

Exercice 3 :

3) a) 234    2 3

²

13 180  2

²

  3

²

5 b)

2

2 2

234 2 3 13 13 13

180 2 3 5 2 5 10

G      

  

c)

2

2 2

234 5 2 3 13 5 3 2 13 5 2 13 2

13 180 13 2 3 5 13 2 3 5 13 2 2

H       

    

      

4)

^{35 2 51 7 5 2 17 3 5 2 3 6 5 2 2 27 3 30 4 81 30 4 81 47}

63 27 34 7 9 27 17 2 9 27 2 54 54 54 54 54 54

I                         

 

5 2 4 2 2

288 162 2 3 2 3 2 3 2 3 2 12 2 9 2 21 2 21 7 3

98 2 49 7 2 7 2 7 2

J       

      



Exercice 4 : Faites une étude graphique

a)   

^{2;5 3;12}

  

^{ 3;5}

^b)   

^{2;5 3;12}

 

^{ 2;12}

 ^c) 

^;3

 

^5;10

 

^{ 5;3}



d) 

^;3

 

^5;10

 

^{ ;10}

 ^e) 

 

  f) 

 

     ^; 

Exercice 5 : Compléter le tableau suivant :

INTERVALLE INEGALITE(S) REPRESENTATION GRAPHIQUE

CET INTERVALLE SE LIT

...

intervalle borné ou non

borné ?



^{ 5; 0, 5}

 ^{    5 x 0,5}

intervalle semi-ouvert

de –5 à –0,5 borné



^{  3;}



^{ 3 x< +} intervalle semi-ouvert

de –3 à + non borné



^{; 4}



^{<x 4} intervalle ouvert de –  à 4 non borné



^3;6



^{ 3 x< 6} intervalle semi-ouvert

de –3 à 6 borné

Exercice 6 :

1. Développer puis réduire:

2 2

1 1 1 1

3 3 3

3 3 9 3

A    x    x       x     x 

    

  

²

 ^{ } 

^{3 2}



^{3 2}

8 1 7 1 2 3 8 8 7 2 3 2 3 8 8 14 21 14 21

B  x    x x   x   x   x  x  x   x   x  x

3 2

14 21 6 13

B  x  x  x 

 ^{3 1}  ²   ^{2 3} 

²

 ³

²

^{6 2}  ^{ 2 3 2  3 }

C  x  x   x   x  x   x  x  x 

 ³

²

^{5 2}   ⁴

²

^{6 6 9}  ³

²

^{5 2 4}

²

^{6 6 9}

²

^{7 11}

C  x   x  x  x  x   x   x  x  x  x    x  x  2. Factoriser au maximum:

 ^{2 6}  ³   ^{1 2}  

²

²   ^{3 2 1}   ^{2 1}  

²

^{2 1}   ²  ³  ^{2 1} 

D  x  x    x  x   x   x   x    x    x   



^{2 1 3}

 

^{6 2 1}

 

^{2 1}



⁷



D x x  x  x x

         

2 2 2

1 1 1 1 1 1

E  x x     x x x     x x  x 



^{10 5}



²

 

¹



^{2 1}



⁵



^{2 1}



²

 

¹



^{2 1}



F x x  x x   x x  x x

¨

 ^{2 1 5}   ²   ¹   ^{2 1 5}  ^{10 1}   ^{2 1 4}  ¹¹ 

F  x        x x    x  x    x  x  x  On considère l’équation suivante :

^{4 1}

5 5

x  x

 

1. Cette équation existe si x   5 0 et x   5 0 , soit si : x   5 et x  5 2. Produit en croix (sans oublier les parenthèses) :

   

4    x 5 1 x 5

, soit :

4x20 x 5

Ainsi :

3x25

donc

²⁵

x 3

Exercice 7 :

Soit x et y deux réels tels que : –2  x  3 et –5  y  6 1) encadrer 1

x  y valeurs interdites : il faut que x   y 0 soit

x y

–5  y  6 donc 5     y 6 soit     6 y 5

Ainsi :       2 6 x y 3 5 soit     8 x y 8 Si 8     x y 0 alors 1 1

8  x y  

  soit 1 1

8 x y

   



Si 0    x y 8 alors 1 1 8 x y

  

 soit 1 1

8  x y  



2) encadrer x ² ^{ y}

Si

  2 x 0

alors   ^{ 2}

²

^{ x}

²

^{ 0}

²

^soit

^0x24

Si

0 x 3

alors

0²x²3²

soit

0x²9

Donc si

  2 x 3

alors

0x²9

Si 5    y 0 alors ^{9   }   ^{5 x}

²

^{   y 9 0 soit}

^{ 45 x2 y 0}

Si 0   y 6 alors

9 0 x²  y 9 6

soit

0x² y 54

AINSI : si –2  x  3 et –5  y  6 alors

 45 x² y 54

Exercice 8 :

   

  ^{   }  

     

  ^{ }  

   

5 3 4 5 8 3 5 3 4

5 8 3

5

6 6 4 6 5 6

4

50 7 50 49 14 35 50 7 50

49 14 35 A

42 10 25 2

25 2

42 10

           

   

   

    

  

  

  ^{   }

   

   

 

5 8 3 5 4

2 2 3 2

5 8 3 5 3 4

5

4 6 5 6 4 6 2 6

7 7 2 7 5 5 2 7 5 2

49 14 35 50 7 50 A

42 10 25 2 7 2 3 5 2 5 2

       

    

    

      

 

^{2 5 5 3}

 

^{2 4 4}

10 8 8 3 3 21 8 3 10 9 3 8

4 4 4 6 6 10 6 4 10 4 6 10 6

5 2 7 5 2

7 7 2 7 5 7 2 5 5 2 7 5

A

7 2 3 5 2 5 2 7 2 3 5 5 2

   

        

     

        

17 11 3 3 3 8 2 4 3 3 11 5 4 11 3

3 3 8

2 4 3 2 4 3 2 4

7 7 5 2 7 5 2 3 5 5 7 2 3 5 7

A 2 7 5

2 3 5 2 3 5 2 3

             

      

    

Exercice 9 :

Soit n un entier naturel non nul

1)   

    

     

   

1 2 2 2 1

1 2 1

1 2 1 2 1 2 2 1

n n n n n n

n n n n n n n n n n n n

   

    

       

        

2

2 2 2

2

4

2

1 2 1 2 1 2

n n n n n n n

n n n n n n n n n

    

  

     

   

  

2

2 2 2

2

4

2

1 2

n n n n n n n

n n n

      

  

  

2

2 2 2

2

4

2

1 2

n n n n n n n

n n n

      

  

 ^{1 2}  ² 

n n n

   2) D’après le 1), on a :



¹¹



²



^{1 12 21 12}

n n n n n n

 

    

     

1 1 1 1

S ...

2 3 4 3 4 5 4 5 6 30 31 32

   

       

1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1

2 2 3 4 2 3 4 5 2 4 5 6 2 5 6 7 ... 2 29 30 31 2 30 31 32

           

                              

           

1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1

2 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 7 ... 29 30 31 30 31 32

 

                    

 

1 1

1 2 1

1 2 1 1 2 1 1 2 1

2 2 6 6 7 ... 29 30 30 31 31 3

1 2

5 5

2

1

4 5

2

3 4

1

4 3

 

 

    

          



 





1 2

31

1

3

1 1

2 2 3

2 1

3 1

2

3

 

   



 





1 31

1 1 1

2 2

3

2

1

3

 

 











