H141. Les séquences primophiles
Par convention, la séquence des entiers naturels de 1 à est appelée « -primophile » si l’on parvient à arranger les entiers sur une seule ligne de telle sorte que la somme de deux termes adjacents et la somme de leurs carrés sont l’une et l’autre des nombres premiers. Par exemple la séquence est -primophile car les sommes et
sont deux nombres premiers.
On lance trois dés à 6 faces supposés parfaits. Quelle est la probabilité que la somme des trois numéros obtenus permette d’établir une séquence -primophile ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Séquences primophiles
Etudions les séquences pour entre 3 et 18 et établissons pour chacune si elle est -primophile.
On cherche tout d’abord les entiers et compris entre 1 et 18 inclus, qui vérifient premier et premier. Pour cela, on dresse le tableau suivant. On remarque tout d’abord que si et sont de même parité, alors est nécessairement composé. Un premier crible permet ensuite d’éliminer les couples tels que composé, marqués d’un « X ». Un second crible permet enfin d’éliminer les couples tels que composé, marqués d’un
« x ».
a 1 3 5 7 9 11 13 15 17 a² 1 9 25 49 81 121 169 225 289 b b²
2 4 X x x X
4 16 x X x X x X
6 36 X x X x X x
8 64 X X x x X x X
10 100 X X X X
12 144 x X x X x X X
14 196 X x x X X X x
16 256 x X x X X x x X 18 324 x X X X x x X X
On peut se représenter les résultats obtenus sous la forme d’un graphe dont on numérote les sommets de 1 à 18, et dans lequel un arc relie les sommets et si et seulement si premier et premier.
Lorsqu’on s’intéresse précisément à une séquences où entre 3 et 18, on élimine de ce graphe tous les sommets de numéro strictement supérieur à , pour ne conserver que les couples qui figurent réellement dans la séquence. Notons ce nouveau graphe .
La séquence est -primophile si et seulement s’il existe un chemin qui passe exactement une fois par chaque sommet du graphe .
Si le graphe possède un sommet ne possédant aucun arc, ou s’il possède strictement plus de deux sommets ne possédant qu’un seul arc, on peut aussitôt conclure par la négative. Dans le cas contraire, on tentera d’exhiber un chemin qui convient.
Le tableau qui suit résume graphiquement l’étude de ces cas lorsque est compris entre 3 et 18.
1 2 3 7
8 9
13
14 15 4
5 6 10
11
12
16
17
18
On en conclut que dans l’intervalle 3 à 18 considéré, seules les valeurs correspondent à des séquences -primophiles.
Lancer de dés
Lancer trois dés à 6 faces supposés parfaits engendre combinaisons possibles équiprobables.
Le tableau suivant donne le nombre de combinaisons dont la somme des trois numéros vaut . 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1
D’après le résultat du chapitre précédant, on a . La probabilité demandée est donc :
Il y a environ 43% de chances que la somme des trois numéros obtenus permette d’établir une séquence - primophile.
3 4 6
10
11 12
1 2 3
1 2 3
4 1
2 3 4
5
1 2 3 7
4 5 6
1 2 3 4
5 6
1 2 3 7
8 4
5
6 1
2 3 7
8
9 4
5
6 1
2 3 7
8
9 4
5 6 10
1 2 3 7
8
9 4
5 6 10
11
12 1
2 3 7
8
9 4
5 6 10
11 1
2 3 7
8 9
13 4
5 6 10
11
12
1 2 3 7
8 9
13
14 4
5 6 10
11
12
1 2 3 7
8 9
13
14 15 4
5 6 10
11
12
1 2 3 7
8 9
13
14 15 4
5 6 10
11
12
16
17 1
2 3 7
8 9
13
14 15 4
5 6 10
11
12
16
1 2 3 7
8 9
13
14 15 4
5 6 10
11
12
16
17
18
