H 141. Les séquences primophiles.
Par convention, la séquence des entiers naturels de 1 à n est appelée « n-primophile » si l’on parvient à arranger les entiers sur une seule ligne de telle sorte que la somme de deux termes adjacents et la somme de leurs carrés sont l’une et l’autre des nombres premiers. Par exemple la séquence (1,2) est 2-primophile car les sommes 1 + 2 = 3 et 12 + 22 = 5 sont deux nombres premiers
On lance trois dés à 6 faces supposés parfaits. Quelle est la probabilité que la somme s des trois numéros obtenus permette d’établir une séquence s-primophile ?
Solution proposée par Michel Lafond:
Définissons dans E = {1, 2, - - - , 18} la relation binaire de voisinage, en déclarant deux entiers distincts a et b voisins si les deux sommes a + b et a2 + b2 sont des nombres premiers.
Dans E, le tableau des voisins possibles est :
entier Voisins possibles entier Voisins possibles
1 [2, 4, 6, 10, 16] 10 [1, 3, 7, 9, 13]
2 [1, 3, 5, 15, 17] 11 [6]
3 [2, 8, 10] 12 [7, 17]
4 [1, 9, 15] 13 [10]
5 [2, 6, 8, 18] 14 [9, 15]
6 [1, 5, 11] 15 [2, 4, 14]
7 [10, 12] 16 [1]
8 [3, 5] 17 [2, 12]
9 [4, 10, 14] 18 [5]
Le graphe de voisinage est le suivant :
16 1
4 5
9
10
6 11
15 2
14 8
7
12
17
3 13
18
Quelles sont les séquences s-primophile ?
(1, 2, --- , n) est n-primophile s’il existe un chemin dans le graphe précédent dont les sommets sont à l’ordre près 1, 2 --- , n.
(1, 2, 3) convient avec le chemin (1, 2, 3).
(1, 2, 3, 4) convient avec le chemin (4, 1, 2, 3).
(1, 2, 3, 4, 5) ne convient pas car le sous graphe correspondant (ci-dessous) a trois "bouts" alors qu’un chemin n’a que deux bouts. :
(1, 2, 3, 4, 5, 6) convient avec le chemin (3, 2, 5, 6, 1, 4).
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) ne convient pas car la présence de 7 entraîne celle de 10 ou de 12 seul voisins de 7.
Il en est de même pour 8 ou 9.
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) convient avec le chemin (7, 10, 9, 4, 1, 2, 3, 8, 5, 6).
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11) convient avec le chemin (7, 10, 9, 4, 1, 2, 3, 8, 5, 6, 11).
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) convient avec le chemin (12, 7, 10, 9, 4, 1, 2, 3, 8, 5, 6, 11).
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13) ne convient pas car le sous graphe correspondant a trois "bouts" : Il en est de même pour 14, 15, 16, 17 ou 18 pour lesquels le sous graphe a 3 ou 4 bouts.
Lors d’un lancer de trois dés, la somme S varie de 3 à 18, et les seules sommes donnant lieu à une séquence s-primophile sont pour S {3, 4, 6, 10, 11, 12}.
La distribution de probabilité de la somme S est :
s 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 216 Prob (S = s) 1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1 La probabilité demandée est donc égale à :
Prob (S {3, 4, 6, 10, 11, 12}) = (1 + 3 + 10 + 27 + 27 + 25) / 216 = 93 / 216 = 31 / 72.
1
4 5
2
3
