H141 : Les séquences primophiles
Par convention, la séquence des entiers naturels de 1 à n est appelée « n-primophile » si l’on parvient à arranger les entiers sur une seule ligne de telle sorte que la somme de deux termes adjacents et la somme de leurs carrés sont l’une et l’autre des nombres premiers. Par exemple la séquence (1,2) est 2-primophile car les sommes 1 + 2 = 3 et 12+22= 5 sont deux nombres premiers
On lance trois dés à 6 faces supposés parfaits.Quelle est la probabilité que la somme s des trois numéros obtenus permette d’établir une séquence s-primophile ?
Une paire d’entier ne peut donner une somme et une somme des carrés qui soient des nombres premiers, que s’ils sont de parité différente; le tableau ci-dessous indique (par un 1) ces paires d’entiers, pour les nombres inférieurs à 18.
1 3 5 7 9 11 13 15 17
2 1 1 1 1 1
4 1 1 1
6 1 1 1
8 1 1
10 1 1 1 1 1
12 1 1
14 1 1
16 1
18 1
Lorsqu’un seul 1 apparaît dans la ligne ou la colonne k (dans le tableau complet ou les sous-tableaux) le nombre k doit se trouver en bout de chaîne. Si trois nombres doivent être des bouts, il n’existe pas de séquence primophile : ainsi pour n≥16 11,13,16 doivent être des bouts, pour 13≤n<17, c’est 11,12,13 : il n’existe pas de séquence pour n≥13. De même, 7 ne peut s’apparier à aucun nombre inférieur à 10 ; donc pas de solution pour 7≤n<10. Pour n=5, 3,4,5 doivent être des bouts... On ne peut donc construire que les séquences suivantes : n=3 : 1,2,3 ; n=4 : 4,1,2,3; n=6 : 4,1,6,5,2,3; n=10 : 2,3,8,5,6,1,4,9,10,7 ; n=11 : 11,6,5,8,3,2,1,4,9,10,7 ; n=12 : 11,6,5,8,3,2,1,4,9,10,7,12 ; c’est impossible pour tout autre nombre inférieur à 18.
Sur 216 tirages possibles, 1+3+10+27+27+25=93 sont favorables, soit plus de 43%.
