G 166. Les spaghettis de Claudio.
L’assiette de Claudio contient 60 spaghettis longs et fins de calibre n°5.
Avant d’y ajouter « ajo, ojo e peperoncino », comme les spaghettis sont brûlants, Claudio décide de prendre au hasard les extrémités de deux spaghettis et de les nouer.
Il continue le processus en prenant au hasard deux extrémités libres et en les nouant jusqu’à ce que son assiette ne contienne plus que des spaghettis en forme de cerceaux. Quelle est l’espérance mathématique arrondie à l’entier le plus proche du nombre de cerceaux dans son assiette ?
Le petit-fils de Claudio demande à sa grand’mère de lui remplir son assiette avec le même type de spaghetti afin d'avoir deux fois plus de cerceaux que son grand-père. Ne risque-t-il pas d’être déçu par la réponse de sa grand’mère ?
* * * * * * * * ** * * * * * * * * * * * * * * * * * Solution proposée par Michel Lafond
Notons En l’espérance mathématique du nombre de cerceaux avec n spaghettis au départ.
On a E1 = 1 et si n > 1 alors :
Il y a une chance sur 2n – 1 pour que le premier nœud fasse un cerceau et 2n – 2 chances sur 2n – 1 pour que le premier nœud ne fasse que rallonger un spaghetti.
Donc En = On en déduit En = .
Posons Hn = .
On sait que Hn = ln (n+1) + C – 1 / (2n+2) avec une erreur qui ne dépasse pas 1 / (12 n2).
(La constante d’Euler C vaut environ 0,577216).
Donc En = H2n – 1/2 Hn vaut environ ln (2n+1) + C – 1 / (4n+2) – 1/2 (ln (n+1) + C – 1 / (2n+2) ).
En ln (2n+1) – 1/2 ln (n+1) + 1/2 C.
Avec n = 60, Claudio peut espérer E60 3,0289 c’est-à-dire 3 cerceaux seulement.
(L’erreur dans l’approximation précédente est de l’ordre de 10-5)
Pour que le petit fils de Claudio puisse espérer 6 cerceaux, il faudrait ln (2n+1) – 1/2 ln (n+1) + 1/2 C 6 ce qui nécessiterait pas loin de 23000 spaghettis.
On entend d’ici le Mamma mia ! de la grand-mère.
